高中数学选择性必修一第三章圆锥曲线最值问题教学建议(1)

圆锥曲线中的最值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点.

圆锥曲线中的最值问题以及变量的取值范围问题的求解

由于此类问题大都是综合性问题,解题灵活,技巧性强,涉及代数、三角函数、平面几何方面的知识.

（1）代数法:运用函数思想建立目标函数,求解最值或参变量的取值范围,常把有关问

题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用配方法,均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等解之.求参数的范围时,往往是先根据已知条件建立等式或不等式,再求参数的范围.

（2）几何法:注意题中图形的几何特征,充分考虑图形的性质,常须扣住圆锥曲线的定点并和平面几何有关结论巧妙结合.

一、基础知识

1.圆锥曲线标准方程：椭圆 x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)、双曲线 x2/a2−y2/b2=1(a>0,b>0)、抛物线 y2=2px(p>0)，熟练掌握基本性质；

2.直线设参：优先设斜截式 y=kx+m（斜率 k、截距 m 为核心参数），斜率不存在时单独验证 x=t；过定点 (x0,y0) 设点斜式 y−y0=k(x−x0)；

3.韦达定理核心：直线与圆锥曲线联立消元得 Ax2+Bx+C=0(A≠0)，设交点 P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则 x1+x2=−BA，x1x2=CA，且 y1+y2=k(x1+x2)+2m，y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2（y 的韦达式必背，直接套用）；

4.判别式：Δ=B2−4AC>0（保证交点存在，解答题必须写，后续验证参数范围）；

5.核心思想：设而不求，全程不求解具体交点坐标，仅用韦达定理表示边、角、向量的代数关系，减少计算量。

二、解题步骤

1.设参建模：设直线方程和交点坐标，明确题目中的变化参数（如 k、m、动点参数 t）和定值目标（如 k1+k2、|PQ|/|MN|、S△OPQ、AP⋅AQ）；

2.联立化简：直线与圆锥曲线联立，消去 y（优先）或 x，写出韦达定理（x1+x2、x1x2、y1+y2、y1y2）和 Δ>0 的参数约束条件；

3.代数转化：将定值目标转化为含 x1,x2,y1,y2 的代数表达式，代入韦达定理进行化简，逐步消去参数；

4.求最值：化简后得到以参数为变量的函数，验证斜率不存在/参数取特殊值时结论仍成立，最终确定最值。

题型一：直线与圆的最值问题

1求解直线与圆的最值问题的两种基本思路

(1)代数法:利用平面几何中的有关公式,构造函数,把问题转化为函数的最值,然后根据函数最值的求法进行求解,在转化过程中常用到向量的数量积、韦达定理、换元等知识和方法.

（2）几何法:找到所求式的几何意义,在坐标系中与圆建立联系,分析其与圆的位置变化情况,找到最大值、最小值的取值点.

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（未完待续）

栾树花开，秋天到来，作者拍摄.