初中数学解题技巧——怎样进行因式分解之提公因式法与公式法

提公因式法、公式法是因式分解最基础的两类实操手段。提公因式法是乘法分配律的逆向使用；公式法是平方差、完全平方乘法公式逆向套用。

公因式寻找方法：系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的公共字母，取字母最低次幂；相同多项式整体，也可以当作公因式提取。

规范：多项式首项为负时，优先提取负号，保证括号内多项式首项系数为正数。

理解：ma+mb+mc=m(a+b+c)，逆向使用乘法分配律，把公共的因式统一提取出来。

平方差公式逆用：a² - b² = (a+b)(a-b)（适用于二项式，两项均为平方项，符号一正一负）

理解：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差。

完全平方公式逆用：a²±2ab+b² = (a±b)²（适用于三项式，首末两项是平方项，中间项是两底数乘积的 2 倍）

理解：两个数的平方和，加上（或减去）这两数乘积的 2 倍，等于这两个数和（或差）的平方。

常用公式

• a²-b² = (a+b)(a-b)

• a²±2ab+b²=(a±b)²

拓展公式

• a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)²

• a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)

• a³±3a²b+3ab²±b³=(a±b)³

• a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)·(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

① 观察多项式，一次性提取全部公因式（系数、字母、整体公因式不能遗漏）；

② 观察提取公因式后剩余多项式的项数：二项式优先平方差，三项式优先完全平方；

③ 匹配公式结构，完成变形；

④ 检查每一个因式，判断是否还能继续分解，保证分解彻底；

⑤ 验算（可选）：展开因式，核对结果等于原式。

• 跳过提公因式直接套公式，公因式遗留，分解不彻底；

• 首项为负不提取负号，书写格式扣分；

• 公式识别错误，二项式套完全平方，三项式套平方差；

• 提取公因式后括号内漏掉常数 1；

• 完全平方公式中间项符号判断出错。

1、因式分解：3x²-6xy

【解析】

基础提公因式题型，提取系数公因数 3 和字母公因式 x，提取后无法继续分解。

【答案】

解：原式=3x(x-2y)

2、因式分解：2a²-8

【解析】

先提取系数公因式 2，剩余二项式符合平方差结构，继续分解，不可停留在第一步。

【答案】

解：原式=2(a²-4)

3、因式分解：-x² + 4xy - 4y²

【解析】

首项为负，先提取负号，括号内三项符合完全平方结构，注意符号处理。

【答案】

解：原式=-(x²-4xy+4y²)=-(x-2y)²

4、因式分解：3(1-x)³+2(x-1)²+(1-x)

【解析】

观察式子：(x-1)²=(1-x)²，先统一底数，发现每一项都含有公因式(1-x)，先提取公因式；提取后剩下的二次多项式计算判别式小于 0，实数范围内无法继续分解。

多项式首项为负时，优先提取负号，保证括号内多项式首项系数为正数。

【答案】

解：原式=(1-x)[3(1-x)²+2(1-x)+1]=-(x-1)(3x²-8x+6)

5、因式分解：-2x²+y²/2

【解析】

先提取公因式-1/2，将式子变形为平方差形式，再利用平方差公式：(a²-b²=(a+b)(a-b)分解。

【答案】

解：原式=-(1/2)(4x²-y²)=-(1/2)[(2x)²-y²]=-(1/2)(2x+y)(2x-y)

6、因式分解：a³+b³+3ab-1

【解析】

本题用到立方和公式与经典恒等式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

观察式子，原式可看成 (a³+b³+(-1)³-3ab(-1)，对应 c=-1，直接套用恒等式分解。

【答案】

解：原式

=a³+b³+(-1)³-3·a·b·(-1)

=(a+b-1)[a²+b²+(-1)²-ab-b(-1)-a(-1)]

=(a+b-1)(a²+b²+1-ab+b+a)