AI聊数学:5.4.4三角函数的图象与性质综合运用题(人教社普高必修第一册)

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小昊，前面两轮我们把正弦、余弦、正切函数的基础性质和图象都复习了一遍，又做了不少巩固练习题。今天可要上"综合运用"了——题目更灵活，知识点交叉更多，你准备好了吗？

准备好了！综合运用题其实就是把我们学的几块知识——值域、周期、单调性、奇偶性、不等式——串起来用。每种题型都有固定的分析思路，只要摸清了门道，再综合的题也不怕。来吧，先看第10题！

第10题：求值域

先看第10题。第一小问，y等于赛因埃克斯，埃克斯属于4分之派到4分之5派，求值域。这个范围挺大的，跨了差不多一个周期吧？

没错，4分之派到4分之5派刚好是派弧度，过了正弦函数的一个高峰和一个低谷。求值域的关键就是把这个区间内赛因埃克斯的最大值和最小值找出来。

那怎么找呢？区间端点代入行不行？

区间端点代入只是一个起点，关键要看区间里有没有极值点。正弦函数的极大值点在2分之派，极小值点在2分之3派。咱们检查一下：2分之派≈1.57，在区间4分之派≈0.79到4分之5派≈3.93之间吗？是的！2分之3派≈4.71，也在区间内。所以最大值就在2分之派处取得——赛因2分之派等于1。最小值在2分之3派处取得——赛因2分之3派等于负1。

那端点值呢？赛因4分之派和赛因4分之5派分别是多少？

赛因4分之派等于2分之根号2，约等于0.707。赛因4分之5派等于负的2分之根号2，约等于负0.707。这两个都不如极值大或小，所以值域就是从负1到1。

解题要点：求正弦型函数在闭区间上的值域，关键是在区间内找到极值点（2分之派、2分之3派等），比较极值和端点值，取最大最小值。

好，第二小问——y等于扣赛因埃克斯加3分之派，埃克斯属于0到2分之派。

这题多了个相位变换，扣赛因里面是埃克斯加3分之派。咱们用换元法：令优等于埃克斯加3分之派。那么当埃克斯从0到2分之派时，替就从3分之派到6分之5派。这样原函数就变成了y等于扣赛因替，替属于3分之派到6分之5派。

换元之后就好办了！扣赛因函数在0到派上是单调递减的，对吧？

对，扣赛因在0到派上单调递减。所以当替取最小值3分之派时，得到最大值——扣赛因3分之派等于2分之1；当替取最大值6分之5派时，得到最小值——扣赛因6分之5派等于负的2分之根号3。所以值域就是从负的2分之根号3到2分之1。

解题要点：对复合三角函数求值域，用换元法把内层函数整体视为新变量，再在对应区间上分析外层函数的值域。

第11题：解三角不等式

第11题来了，这回要写不等式的解集。第一问：赛因埃克斯大于等于2分之根号3，埃克斯属于全体实数。

解三角不等式，最直观的方法就是画图。在正弦函数图像上画一条水平线y等于2分之根号3，看正弦曲线在哪段在这条线上方或重合。

赛因埃克斯等于2分之根号3的时候，埃克斯是多少？

赛因3分之派等于2分之根号3，赛因3分之2派也等于2分之根号3。在一个周期0到2派里，赛因埃克斯大于等于2分之根号3的部分就是从3分之派到3分之2派之间的那一段弧。

然后再加上周期对吧？

没错！正弦函数的周期是2派，所以全体解集就是：埃克斯属于3分之派加2开派到3分之2派加2开派，开属于整数集。

第二小问：根号2加2倍扣赛因埃克斯大于等于0——这个看起来不太一样。

先移项化简：根号2加2倍扣赛因埃克斯大于等于0，就是2倍扣赛因埃克斯大于等于负根号2，也就是扣赛因埃克斯大于等于负的2分之根号2。

那扣赛因埃克斯等于负的2分之根号2的时候呢？

扣赛因4分之3派等于负的2分之根号2。在扣赛因图像上，在一个周期负派到派里，扣赛因大于等于负的2分之根号2的部分是从负的4分之3派到4分之3派。所以全体解集是：埃克斯属于负的4分之3派加2开派到4分之3派加2开派，开属于整数集。

解题要点：解形如赛因埃克斯大于等于a或扣赛因埃克斯大于等于a的不等式，画出函数图像并作水平线，在一个周期内找出满足条件的区间，再加上周期2开派。

第12题：周期与单调性综合判断

第12题是选择题，问哪个函数以派为最小正周期，且在区间2分之派到派上单调递减。四个选项分别是y等于赛因埃克斯的绝对值、y等于扣赛因埃克斯、y等于谭俊特埃克斯、y等于扣赛因2分之埃克斯。

好，咱们逐个分析。先看B选项，y等于扣赛因埃克斯，它的最小正周期是2派，不是派——排除。再看D选项，y等于扣赛因2分之埃克斯，周期是2派除以2分之1等于4派，也不是派——排除。

剩下A和C了。C是y等于谭俊特埃克斯，它的周期确实是派。不过谭俊特函数在区间2分之派到派上，它的图像是从负无穷增大到0，是单调递增的，不是递减。所以C也排除了。

对，那就剩A选项y等于赛因埃克斯的绝对值了。绝对值的作用是把赛因图像中y为负的部分翻折到正半轴，这样原来2派为周期的赛因图像就变成了以派为周期。再看单调性：当埃克斯在2分之派到派之间时，赛因埃克斯从1降到0，是递减的，加了绝对值后赛因埃克斯本身就为正，所以y等于赛因埃克斯的绝对值也是递减的。符合条件！

解题要点：做函数性质选择题，用排除法逐条检验——先周期后单调性。对带绝对值的函数，理解图像翻折后周期减半是关键。

第13题：正切不等式

第13题说埃克斯是斜三角形的一个内角，写出使不等式成立的埃克斯集合。第一问：1加谭俊特埃克斯小于等于0。

移项得谭俊特埃克斯小于等于负1。斜三角形的内角意味着埃克斯属于0到派，且埃克斯不等于2分之派。在0到2分之派上，谭俊特埃克斯是正的，怎么可能小于等于负1呢？所以这段没有解。

那在2分之派到派之间呢？

在2分之派到派之间，谭俊特埃克斯是负的，且从负无穷增加到0。谭俊特埃克斯等于负1时，埃克斯等于4分之3派。由于谭俊特是递增的，谭俊特埃克斯小于等于负1的区间就是从2分之派到4分之3派。所以解集是埃克斯属于2分之派到4分之3派。

第二问：谭俊特埃克斯减根号3大于等于0，就是谭俊特埃克斯大于等于根号3。

谭俊特埃克斯等于根号3时，埃克斯等于3分之派。在0到2分之派上，谭俊特递增，所以谭俊特埃克斯大于等于根号3就是从3分之派到2分之派。但斜三角形内角不能是2分之派，所以是3分之派到2分之派，左闭右开。在2分之派到派上，谭俊特是负的，不可能大于等于根号3。所以解集就是埃克斯属于3分之派到2分之派。

解题要点：解正切不等式要注意定义域（不能取2分之派加开派），同时注意在0到2分之派区间上正切为正，在2分之派到派上正切为负——分区间讨论。

第14题：求单调区间

第14题——求函数y等于负的谭俊特括号2埃克斯减4分之3派的单调区间。

这道题是复合函数求单调性。先看内层是优等于2埃克斯减4分之3派，外层是y等于负的谭俊特优。正切函数谭俊特优在它的定义域内是单调递增的，那y等于负的谭俊特优就是单调递减的——因为负号会把增减性反转。

所以这道题其实就是求谭俊特括号2埃克斯减4分之3派的定义域内的区间，只是外层多了个负号，对吧？

对！先求定义域：谭俊特的定义域要求自变量不能等于2分之派加恩派。所以2埃克斯减4分之3派不能等于2分之派加恩派，解得埃克斯不能等于8分之5派加2分之恩派。

再求单调区间：谭俊特优在负2分之派加恩派到2分之派加恩派上递增。所以令负2分之派加恩派小于2埃克斯减4分之3派小于2分之派加恩派。解得：8分之派加2分之恩派小于埃克斯小于8分之5派加2分之恩派。

那由于外层有个负号，递增变递减，所以这些区间就是原函数的递减区间？

完全正确！所以y等于负的谭俊特括号2埃克斯减4分之3派的递减区间是8分之派加2分之恩派到8分之5派加2分之恩派，恩属于整数集。而且这个函数没有递增区间——因为正切函数在定义域内处处递增，加负号后处处递减。

解题要点：求复合三角函数的单调区间，先判断内层和外层的增减性（同增异减），再代入公式解不等式。注意正切型函数的定义域限制。

第15题：奇偶性与周期性综合

第15题有意思——已知函数y等于埃夫埃克斯是定义在全体实数上周期为2的奇函数，且埃夫0.5等于1，求埃夫1和埃夫3.5的值。

这道题把周期性和奇偶性结合起来了。先看埃夫1：因为周期是2，所以埃夫1等于埃夫1减2等于埃夫负1。又因为函数是奇函数，奇函数满足埃夫负埃克斯等于负的埃夫埃克斯，所以埃夫负1等于负的埃夫1。这样就得到方程：埃夫1等于负的埃夫1——那埃夫1只能等于0。

巧妙！周期把埃夫1转化到埃夫负1，奇偶性又得到埃夫负1等于负的埃夫1，两式联立就得零了。那埃夫3.5呢？

埃夫3.5用周期性减两次2：埃夫3.5等于埃夫3.5减2等于埃夫1.5。再减2：埃夫1.5减2等于埃夫负0.5。再用奇函数性质：埃夫负0.5等于负的埃夫0.5。已知埃夫0.5等于1，所以埃夫3.5等于负1。

解题要点：遇到同时有周期性和奇偶性的函数，先用周期性把自变量转化为方便的范围，再用奇偶性处理符号——两步走，不混淆。

第16题：周期与最值综合

最后一题——已知埃夫埃克斯等于2分之1倍的赛因括号2埃克斯减3分之派，埃克斯属于全体实数。第一问求最小正周期。

周期公式T等于2派除以奥米伽的绝对值。这里奥米伽等于2，所以最小正周期T等于2派除以2等于派。

第二问求在区间负4分之派到4分之派上的最大值和最小值——这个得仔细算一下。

用换元法。令优等于2埃克斯减3分之派当埃克斯从负4分之派到4分之派时，优就从负的6分之5派到6分之派。现在y等于2分之1倍的赛因优，优属于负的6分之5派到6分之派。

我最关心赛因优在这个区间上的最值。赛因优在优等于负2分之派时取最小值负1——负2分之派在区间内。赛因优在优等于6分之派时取最大值2分之1——6分之派也在区间内。

所以最小值是2分之1乘以负1等于负2分之1，最大值是2分之1乘以2分之1等于4分之1？

没错！最小值负2分之1，最大值4分之1。

解题要点：求复合三角函数在闭区间上的最值，用换元法转化为基本三角函数在对应区间上的最值问题，代回系数即得结果。

总结：按题型分类回顾解题方法

小昊，这7道综合题做下来，你帮大家捋一捋——每种题型的关键方法是什么？

好，咱们按题型分类回顾一下。

第一类——求值域（第10题）：在给定区间上求正弦型或余弦型函数的值域，核心是找到区间内的极值点。先把区间端点和极值点（正弦的2分之派、2分之3派，余弦的0、派等）都代入函数，比较大小，取最大最小值。复合型函数先换元再分析。

第二类——解三角不等式（第11、13题）：核心方法是"画图找范围"。在一张三角函数图像上画水平线，找到交点的横坐标，然后在区间内找出满足不等式的部分，最后加上周期通项。正切函数要注意定义域限制，分区间讨论正负。

第三类——函数性质综合判断（第12题）：选择题用排除法——先验证周期，再检验单调性或其他条件。带绝对值的函数要理解图像翻折后的周期变化。

第四类——求复合函数单调区间（第14题）：先判断内外层函数的增减性，再用"同增异减"法则。正切型函数还要注意定义域——自变量不能落在正切的间断点上。

第五类——奇偶性与周期性综合（第15题）： "周期缩范围，奇偶定符号"——先用周期性把自变量缩小到方便计算的区间，再用奇偶性处理正负号，两步配合就能求解。

第六类——周期与最值综合（第16题）：利用周期公式求周期，利用换元法求最值。先换元把复合函数转化成基本三角函数，在对应区间上找极值，再带回原系数得到最终答案。

说得太好了！每一种题型都有清晰的思路，不是死记硬背，而是掌握了函数图像和性质的"工具"——值域看极值、不等式看图解、周期用公式、单调性用复合函数法则、奇偶周期结合用两步转化。把这些工具都装进工具箱，再综合的题也不怕了！

没错，三角函数这一章说到底就是"图像加性质"四个字。图象帮我们直观理解，性质帮我们严格推理。两者一结合，什么题都难不倒我们！

好，今天的综合运用题就讲到这里，下次见！