📊 方法结构图

题目

已知 ，且 ，求  的最小值。

方法一：直接利用基本不等式

观察目标式 ，拆成 ：

由基本不等式 ，代入得：

当且仅当  时取等，代入原条件 ，得 。

📌

关键：

把目标式拆成约束式的倍数 + 一个能用基本不等式的余项。

方法二：待定系数法

由基本不等式，对任意 ：

代入约束条件：

要使右边恰好是  的倍数，令系数比等于 ：

解得 ，代入：

故 。

📌

关键：

用

消去根号，令 >> 系数比匹配目标式，解出。

方法三：齐次化 + 分离常数法

第一步：为什么可以齐次化？

约束  和目标  都是关于  的一次齐次式（每项次数相同），因此比值

是一次齐次式，只与  有关，与  的具体取值无关。

第二步：换元化为单变量。

令 （），则 ，代入比值：

因此 ，求  的最小值等价于求  的最小值。

第三步：分离常数。

将分子凑成分母的倍数，把假分式化为 "常数 + 真分式"：

（验证：，减去  即得 ） 所以：要求  的最小值，即求  的最大值。

第四步：求  的最大值。

方法 A：换元 + 基本不等式。 令 （），则 ，代入分母：

所以：

由基本不等式 ：

当且仅当  即 ， 时取等。

方法 B：判别式法。 令 ，整理为：

有实数解，判别式 ：

解得 。

⚠️

注意验证：

 时，方程为   ，解得，满足 的前提，有效； 时方程为  ，解得，不满足   ，舍去。故，此时。

两种方法均得 ，故 ，即 。

📌

关键：

分离常数后，剩余真分式求最大值 —— 换元法用基本不等式秒杀，判别式法通法通用，两种方法互为补充。

答案

当  时取等号。