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小学数学最易错:方阵问题一张图讲透,3个法宝直接套用
小学数学最易错:方阵问题一张图讲透,3个法宝直接套用大家好！我是陪你一起学数学思维的木木老师。 前面我们学习了植树问题、重叠问题和两步应用题，今天我们一起来学习方阵问题。 方阵问题融合了植树问题、重叠问题、两步应用题及等差数列求和等几个方面的知识点。 方阵最外层的计算原理，就是封闭型植树问题，同时会用到重叠问题“减去重复数量”的思想，题目也属于典型的两步应用题。 一、什么是方阵问题？ 1. 实心方阵（如图1，中心区域没有空缺）： 
实心方阵又分为奇数型实心方阵和偶数型实心方阵。 
2. 空心方阵（中心区域有空缺）： 如图4、图5，分别是一层的空心方阵和二层的空心方阵。 
三、方阵问题核心公式 公式1：实心方阵总人数 总人数=每行人数×每列人数 （也就是：边长×边长） 公式2：方阵最外层总人数 最外层人数=（每边人数 − 1）×4 因为四个角的人被重复计算了两次，所以每条边要先减1。 公式3：方阵每边人数（公式2的逆推公式） 每边人数=最外层总人数÷4+1 公式4：空心方阵总人数 方法一：空心方阵总人数=大实心方阵人数－小空心方阵人数 方法二：空心方阵总人数=（最外层边长 − 层数）×层数×4 四、方阵问题解题步骤 五、例题精讲 题型一：实心方阵 例1：同学们排队做操，排成一个实心正方形方阵，每边有8人，请问整个方阵一共有多少人？最外层有多少人？ 解： 总人数=8×8=64（人） 最外层人数=（8−1）×4=28（人） 答：一共64人，最外层28人。 题型二：已知最外层，求边长 例2：一个实心方阵，最外层一共有36人，这个方阵每边有几人？总人数多少？ 解： 每边人数=36÷4+1=10（人） 总人数=10×10=100（人） 答：这个方阵每边有10人，总共有100人。 题型三：方阵增加、减少一行一列 例3：一个正方形实心方阵，如果去掉一行一列，一共减少21人，原来方阵每边多少人？原来方阵总人数有多少？ 解： 去掉一行一列，角上1个人被重复减掉 减少人数=边长×2−1 逆推：原边长=（减少人数+1）÷2 原边长=（21+1）÷2=11（人） 总人数=11×11=121人 答：原来方阵每边有11人，总人数有121人。 题型四：空心方阵 例4：一个2层空心方阵，最外层每边12人，求空心方阵总人数？ 解： 方法一：空心方阵总人数=大实心方阵人数－小空心方阵人数 （12−2）×2×4=80（人） 答：空心方阵总人数为80人。 六、配套练习题 1、中学生运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗，如果四个角上都要插上1面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗？ 2．一块正方形绿化地，要在它的四周种上水杉，如果每个角上都要种上1棵水杉，一共种了76棵水杉，每边上种了多少棵水杉？ 3、某校五年级学生排成一个实心方阵，最外层有60人，方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有多少人？ 4．明明用棋子摆成一个实心方阵，如果要使这个方阵减少一行和一列，则要减少13颗棋子，明明一共摆了多少颗棋子？ 5、乐乐用棋子摆成一个三层空心方阵，最外层每边有棋子14颗，乐乐摆这个方阵共用棋子多少颗？ 6．部队里进行操练表演，排成一个中心空的方阵，最外层有52人，最内层有28人，参加操练的战士共有多少人？ 七、总结 方阵问题解题思路：一张图+三大法宝 
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将若干人或物按照一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
二、方阵类型
奇数型实心方阵：如图2，方阵每行每列都为奇数个，叫奇数型实心方阵，其几何中心恰好存在一个元素。
偶数型实心方阵：如图3，方阵每行每列都为偶数个，叫偶数型实心方阵，其几何中心不存在元素，其中心区域由4个元素构成。
1. 判实心/空心：先看是实心的正方形，还是中间空的框。
2. 算最外层：最外层的人数，不是边长乘4，因为四个角的人算了两次，所以要边长减1再乘4。
3. 找规律：方阵里，相邻两层的人数差是8。往外一层，每边多2个人，总数多8个。
4. 空心算总：空心方阵可以理解成一个大实心方阵减去一个小实心方阵，或者把它拆成4个长方形来算。
小空心方阵最外层人数=12-2-2=8人
12×12-8×8=80（人）
方法二：空心方阵总人数=（最外层边长 − 层数）×层数×4