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树人初三第一次月考数学卷|试卷分析+6道重点题精讲
初三数学月考 · 试卷深度分析
南师附中树人学校 2026—2027 学年（上）九年级第一次月考 数学试卷
重点题精讲：第 6 · 15 · 16 · 25 · 26 · 27 题
📋 试卷档案
注：原卷填空题栏印作"共 24 分"，按"10 小题 × 3 分"应为 30 分，此处以 30 分计；难度系数按题量与常规分值分布估算。
整体点评
全卷以一元二次方程、圆、反比例函数三大板块为骨架。前段（第 1—15 题）多为概念与直接计算，属"送分题"，用于稳心态；从第 16 题起综合度明显抬升，第 18、27、28 题分别以"圆中动点最值""新定义衍生点""动圆滚动相切"压轴，考查建模与信息迁移能力。整体中等偏难、区分度好，基础扎实者可得 110+，而压轴部分能拉开尖子生差距。
一、题型分布
二、难易度分布
三、知识点分布
注：解答题各题分值按常规分布估算（原卷未逐题标注）。
—— 重点题精讲 ——
先看懂"在问什么"，再想"为什么这样做"
第 6 题 选择
| 考点 |
| 难易 |
🔎 这题到底在问什么
杯口（半圆的那条平边）在上方，水只装了一部分，水面就是半圆里的一条弦 AB，问它有多长。
🧠 怎么想到这样做的
看到"半圆容器" → 先在脑子里补全成一个整圆：杯口这条直径所在的高度（18）正好是圆心的高度。杯底（圆弧最低点）在 10 处，所以半径 18 − 10 =8。水面在 14，到圆心的竖直距离就是 18 − 14 =4。有了"半径 8、弦心距 4"，求弦长只剩一步勾股。
✏️ 解答过程
① 半径：r= 18 − 10 = 8（cm）。
② 弦心距：圆心在 18 cm 处，水面在 14 cm 处，故d= 18 − 14 = 4（cm）。
③ 设水面中点为 M，则 OM ⊥ AB，AM = √(r² − d²) = √(8² − 4²) = √48 = 4√3。
④ 所以AB = 2AM = 8√3（cm）。
✅ 验证
8√3 ≈ 13.86，比杯口直径 16 略小——水面本来就该比杯口窄，合理。
答案：D 8√3 cm
💡 一句话记住："半径、弦心距、半弦"永远构成直角三角形。找不到圆心时，就找那条"直径"——圆心一定在它上面。
第 15 题 填空
| 考点 |
| 难易 |
🔎 这题到底在问什么
m、n 是方程 2x² − 4x − 1 = 0 的两个根，求由它们拼成的式子 3m² − 4m + n² 的值。
🧠 怎么想到这样做的
式子里的 3m²、n² 系数不对称，硬套韦达定理不好使。但别忘了——"是根"就意味着"代进去等于 0"：2m² − 4m − 1 = 0，即 2m² = 4m + 1。这就给了我们一把"降次刀"：把 m²、n² 都换成一次式，再合并同类项。
✏️ 解答过程
由 m 是根：2m² = 4m + 1 → m² = 2m + ½ →3m² = 6m + 3/2。
由 n 是根：2n² = 4n + 1 →n² = 2n + ½。
代入原式：3m² − 4m + n² = (6m + 3/2) − 4m + (2n + ½)
＝ 2m + 2n + 2 ＝ 2(m + n) + 2。
由韦达定理：m + n = 2。
所以原式 = 2 × 2 + 2 =6。
✅ 验证
两根为 1 ± √6/2。取 m = 1 + √6/2、n = 1 − √6/2 代入，结果恰为 6；交换 m、n 仍得 6。
答案：6
💡 一句话记住：方程是"模具"，把根塞进去就能把高次压成一次。见到 x²（或 m²、n²）配合"是方程的根"，先想降次，别急着求根。
第 16 题 填空
| 考点 |
| 难易 |
🔎 这题到底在问什么
一条斜率为 1 的直线过 x 轴上的点 P(a, 0)。要让这条直线"够得着"单位圆（圆心在原点），P 点在 x 轴上能滑到哪里？求 a 的范围。
🧠 怎么想到这样做的
"直线与圆有公共点"翻译成人话，就是"圆心到直线的距离 ≤ 半径"——这是判断位置关系最标准的一句话。先把 P 代入直线求出 b 与 a 的关系，再套距离公式即可。
✏️ 解答过程
① 点 P(a, 0) 在 y = x + b 上 → 0 = a + b → b = −a，故直线为 y = x − a，即 x − y − a = 0。
② 圆心 O(0, 0) 到直线的距离 d = |0 − 0 − a| / √(1² + 1²) = |a| / √2。
③ 有公共点 ⇔ d ≤ r，即 |a| / √2 ≤ 1 → |a| ≤ √2。
④ 所以−√2 ≤ a ≤ √2。
✅ 验证
取 a = √2：距离 = √2/√2 = 1 = r，恰好相切 ✓；取 a = 2：距离 = 2/√2 ≈ 1.414 > 1，相离 ✗。
答案：−√2 ≤ a ≤ √2
💡 一句话记住："够得着"就是 d ≤ r。d 比 r 小是相交，刚好等于 r 是相切，大于 r 就擦肩而过。
第 25 题 解答
| 考点 |
| 难易 |
🧠 三小问逐层拆解
（1）求 k₂、n
反比例函数上任意一点都满足x · y = k₂。A(3, −2) 在图象上 → k₂ = 3 × (−2) =−6；B(−2, n) 也在图象上 → n = −6 ÷ (−2) =3。
（2）解不等式 k₁x + b < k₂/x
这句话的意思是：在哪些 x 处，直线在双曲线的下方。→ 看图，别硬算。
先求直线：过 A(3, −2)、B(−2, 3)，斜率 k₁ = (3 − (−2)) / (−2 − 3) = −1；代入 A 得 b = 1。故直线 y = −x + 1，与 x 轴交于 C(1, 0)。
双曲线两支在第二、四象限：第二象限那段在 −2 < x < 0 时直线在其下方 ✓；第四象限那段在 x > 3 时直线在其下方 ✓。
所以解集为−2 < x < 0 或 x > 3。
✅ 验证
x = −1：直线 = 2，双曲线 = 6，2 < 6 ✓；x = 4：直线 = −3，双曲线 = −1.5，−3 < −1.5 ✓；x = 2：直线 = −1 > 双曲线 = −3，不满足（正确排除）✓。
（3）翻折后求 △A′BC 的面积
把 x 轴下方的图象翻上去，A(3, −2) 就落到了A′(3, 2)；B(−2, 3) 在 x 轴上方不动；C(1, 0) 在 x 轴上也不动。
用坐标法（鞋带公式）：S = ½ |x_A′(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A′) + x_C(y_A′ − y_B)|
＝ ½ |3(3 − 0) + (−2)(0 − 2) + 1(2 − 3)| ＝ ½ |9 + 4 − 1| ＝ ½ × 12 =6。
另解（底×高）：|BC| = 3√2，A′ 到直线 BC 的距离 = 2√2，S = ½ × 3√2 × 2√2 = 6。
答案：k₂ = −6，n = 3；解集 −2 < x < 0 或 x > 3；面积 = 6
💡 一句话记住：函数比大小，先看谁在谁上面——图象就是最好的"不等式解集"。翻折只是把 y 变号，别把它想复杂。
第 26 题 解答（圆）
| 考点 |
| 难易 |
🧠 自然反应链（为什么往这个方向走）
看到"证 CF 是切线" → 想到"连半径 OC，证 CF ⊥ OC" → 又看到题目已经给了CE ⊥ DB，而 F 在 CE 上，所以 CF ⊥ DB → 两条线都垂直于 CF，只要OC ∥ DB就够了 → 于是问题变成"怎么证明两条线平行"，用角度关系（内错角相等）即可。设 ∠BAC = θ，则 ∠ABD = 2θ。
（1）证明 CF 是切线
① 同弧所对圆周角相等：∠BDC = ∠BAC = θ（都对弧 BC）。
② 圆心角：∠BOC = 2∠BAC = 2θ；又因为 ∠BAD = 90° − 2θ，∠BOD = 2∠BAD = 180° − 4θ。
③ 于是 ∠COD = 180° − 2θ。在等腰 △OCD 中，∠OCD = (180° − ∠COD) ÷ 2 = θ。
④ 所以 ∠OCD = ∠BDC = θ →OC ∥ DB（内错角相等）。
⑤ 又 CF ⊥ DB（因 CE ⊥ DB，F 在 CE 上），所以 CF ⊥ OC。
⑥ 因 OC 是半径，CF ⊥ OC，故CF 是 ⊙O 的切线。∎
（2）当 ∠F = 30°、BD = 6 时，求 BF
① CF 是切线 → OC ⊥ CF，∠OCF = 90°。在 Rt△OCF 中 ∠F = 30°，故 ∠COF = 60°，即 ∠BOC = 60° → 2θ = 60° →θ = 30°。
② 求半径：∠BOD = 180° − 4θ = 60°，且 OB = OD = r → △OBD 为等边三角形 → BD = r，故r = 6。
③ 在 Rt△OCF 中，∠F = 30°，OC = r = 6（30°角所对直角边）→ OF = 2 × 6 = 12。
④ BF = OF − OB = 12 − 6 =6。
✅ 验证
取 r = 6、θ = 30°，按坐标作图可得 F(12, 0)，BF = 12 − 6 = 6，且 ∠F 恰好为 30°，与题设吻合 ✓。
答案：BF = 6
💡 一句话记住：证切线 = 证垂直 = 连半径；角度一转，"垂直"就能变成"平行"。这道题的钥匙是把它拆成"CF ⊥ DB、CF ⊥ OC ⇒ OC ∥ DB"。
第 27 题 解答（新定义 · 压轴）
| 考点 |
| 难易 |
🔎 先读懂"衍生点"
方程有两个根 x₁ < x₂，就把小的那个当横坐标、大的那个当纵坐标，得到点 M(x₁, x₂)。比如一根是 2、另一根是 5，衍生点就是 (2, 5)。明白这一点，题目就成功了一半。
（1）求 x² + 2x = 0 的衍生点 P
x² + 2x = 0 → x(x + 2) = 0 → x = 0 或 x = −2。因 x₁ < x₂，取 x₁ = −2、x₂ = 0，故P(−2, 0)。
（2）① qx² − x + 1 = 0 有衍生点，求 q 的范围
要有衍生点，就得有两个不相等的实数根（否则没法分出 x₁ < x₂）。先保证是一元二次方程：q ≠ 0。
Δ = (−1)² − 4 · q · 1 = 1 − 4q > 0 → q < 1/4。
所以q < 1/4 且 q ≠ 0（即 q ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1/4)）。
（2）② 衍生点的纵、横坐标相差 2，求 q
"相差 2"即 |x₂ − x₁| = 2，又 x₁ < x₂，故 x₂ − x₁ = 2。
由韦达：x₁ + x₂ = 1/q，x₁x₂ = 1/q。于是 (x₂ − x₁)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 1/q² − 4/q = 4。
整理得 4q² + 4q − 1 = 0 → q = (−1 ± √2) / 2。
即q = (−1 + √2)/2 ≈ 0.207或q = (−1 − √2)/2 ≈ −1.207，两者都在 (2)① 的允许范围内 ✓。
（3）衍生点 G 恒在直线 y = kx + 3(2 − k) 上，求 b、c
"不论 k 为何值都成立"＝恒成立问题。把 G(x₁, x₂) 代入：x₂ = kx₁ + 6 − 3k，对一切 k 成立。
移项：x₂ − 6 = k(x₁ − 3)。右边随 k 变化、左边固定，要想恒相等，只能x₁ − 3 = 0 且 x₂ − 6 = 0。
所以两根为 3 和 6。由韦达：x₁ + x₂ = −b → 3 + 6 = −b →b = −9；x₁x₂ = c → c = 3 × 6 =18。
✅ 验证
方程 x² − 9x + 18 = 0 的两根恰好是 3、6，衍生点 G(3, 6)。代入直线：6 = 3k + 6 − 3k = 6，对任意 k 恒成立 ✓。
答案：P(−2,0)；q < 1/4 且 q ≠ 0；q = (−1±√2)/2；b = −9，c = 18
💡 一句话记住："不论某字母取何值都成立"＝把这个字母的系数统统归零。这一步想通了，压轴题也能拆成送分题。
🎯 给同学们的复习提示
本卷失分重灾区集中在两处：① 圆中的角度/切线证明——务必训练"连半径、转角度、找平行"的固定套路；② 反比例函数与几何的综合——养成分支讨论、借图象比较大小的习惯。至于第 27 题这类"新定义"，套路永远是：先照定义算出答案，再回归韦达与判别式。
📄 附：试卷原卷（PDF 全文，共 7 页）
以下为试卷原件（PDF）逐页影印，共 7 页，便于对照原题查看。
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