ARTICLE · 1166146
高中数学各个击破030三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质：五点定形，图定性质
高中数学各个击破 · 第 030 讲 专题：三角函数 ｜ 本讲考点：五点法作图 · 图象变换 · 定义域与值域 · 周期 · 奇偶性 · 对称性 · 单调性与比较大小
📌 写在前面
前两讲我们把三角函数当"数字"处理：给一个角，算它的正弦、余弦、正切。可是三角函数的"脾气"——什么时候涨、什么时候落、涨落到哪里、多久重复一次——光看数字是看不出来的。
要看脾气，就得看图。
好消息是：正弦、余弦曲线画起来一点都不难，只要抓住五个关键点；更妙的是，三角函数的几乎所有性质——值域、周期、奇偶性、单调区间、对称轴、对称中心——都能从图上一眼看出来。
一图在手，性质全有。会画图，更要会读图。
🎯 学习目标
会用五点法作出三角函数的图象，会求三角函数的定义域和值域； 会求三角函数的周期，会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间。
📖 要点提炼
一、五点法作正弦、余弦函数的简图
在正弦函数 ， 的图象上，五个关键点是 、、、、；
在余弦函数 ， 的图象上，五个关键点是 、、、、。
🧠 这五个点为什么"关键"？因为它们恰好是三个与 轴的交点加两个最值点。抓住它们，曲线的"骨架"就定了，再用光滑曲线一连，图象就出来了。这叫五点法。
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
下表 。
🧠 三条曲线"记忆抓手"：正弦是奇函数，过原点， 处取到最高点 ；余弦是偶函数，最高点在 处取到 ，所以它有对称轴 ；正切无最值、无对称轴，只有对称中心 ，且以 为渐近线。
📝 对称性与周期的"暗号"：两条相邻对称轴之间的距离、两个相邻对称中心之间的距离，都等于 ；一条对称轴与相邻对称中心之间的距离等于 。已知对称轴或对称中心，就能反推周期。
三、常用结论（周期性）
设函数 ，，：
若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 （），则 。
四、奇偶性的充要条件（）
：为奇函数；为偶函数； ：为偶函数；为奇函数； ：为奇函数。
五、常见题型清单
五点法作图与图象变换（平移、对称、翻折）； 定义域：化为解三角不等式（组），借图象或单位圆； 值域与最值：化为二次函数（换元）或分离常数； 周期：公式法 或 与图象法； 奇偶性：判定义域是否对称，再看 与 的关系； 单调性与比较大小：化到同一单调区间，用单调性比大小。
🧮 范例精讲
例 1 五点法作图
作出函数 ， 的简图。
解： 按五个关键点列表：
描出点 、、、、，用光滑的曲线连接起来，即得函数简图（图 2）。
答： 简图如图 2，值域为 。
📝 五点法三步：列表 → 描点 → 光滑连线。取点是"死规定"：，也就是把 四等分。这五个点里有的不是新函数的"最值点"（如本例的 ），但它决定了曲线过不过中线，不能省。
例 2 图象变换（翻折）
利用函数 的图象，通过怎样的图象变换能得到函数 的图象？
解： 把 的图象中位于 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴上方，上方部分保持不动，就得到 的图象（图 3）。
答： 保留 轴上方图象，把 轴下方的图象翻折上去。
📝 常见的三类变换： ① 平移： 左移 个单位， 右移， 上移； ② 对称：关于 轴得 ，关于 轴得 ，关于原点得 ； ③ 翻折：——"上不动、下翻上"；——"右不动、左翻右"。
顺带一个结论：翻折之后周期往往减半， 的最小正周期就由 变成了 。
例 3 求定义域
求函数 的定义域。
解： 要使函数有意义，只需 。
方法一（图象法）： 在同一坐标系中画出 上 与 的图象（图 4 左）。在 内 的解为 与 ，由图可知 的解集为 。再结合正弦、余弦函数的周期为 ，得定义域为 ，。
方法二（辅助角法）：，把 看成整体，由正弦函数的图象得 ，故 ，。
方法三（单位圆法）： 由三角函数定义， 表示角 的终边与单位圆的交点 的纵坐标不小于横坐标，即 落在直线 及其上方（图 4 右），同样得 ，。
答：，。
📝 定义域中含 或 时，必须注明 ，这是最常见的扣分点。三条路各有所长：图象直观、辅助角省事、单位圆通透，考场上任选其一即可。
例 4 值域与最值
(1) 函数 的值域是（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. 。
(2) 函数 的最大值为（ ）
A. ； B. ； C. ； D. 。
解：
(1) 设 ，则 。去分母：，整理得 ，即
由 得 ，两边平方整理得 ，即 ，解得 或 。
再验证 ：把 代入 ，得 ，即 ，无解，故不必剔除。所以值域为 。故选 B。
(2) 因为 ，所以
设 ，则 ，其图象开口向下、对称轴为 ，故 在 上单调递减。所以当 （即 ）时取到最大值
故选 A。
📝 两类常见结构：① 形如 ，用反解 + 有界性，或先分离常数再求；② 形如 ，换元化成二次函数，但换元后必须写清新元的取值范围（），再结合二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值。
例 5 抽象函数的周期性
已知函数 对定义域内任意 都满足 （），
求证： 是一个以 为周期的周期函数。
证： 由已知 ，把 换成 ，得
由周期函数的定义知， 是一个以 为周期的周期函数。
📝 周期性的常用结论（）：① ，则 ；② ，则 ；③ （），则 。**"和函数值等于和"看两次、变号也看两次**——这就是"配两次得周期"。
例 6 周期与奇偶性的判断
(1) 下列函数中，最小正周期为 的是 ______（填序号）。
① ； ② ；
③ ； ④ 。
(2) 下列函数中，最小正周期为 且为奇函数的是（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. 。
解：
(1) ① 当 时 ，当 时 ，图象虽关于 轴对称，但左右两半的"涨落方向"正好相反（右半先升、左半先降），无法首尾对接。由 知周期只能形如 ，而 ，，取 就不成立，其余值同样不成立，故①不是周期函数，① 错误；
② 由 的图象（把 的图象"上不动、下翻上"）可知其最小正周期为 ，② 错误；
③ 的最小正周期 ，③ 正确；
④ 的最小正周期 ，④ 正确。
故填 ③④。
(2) A： 的最小正周期 ，排除；
B： 的最小正周期为 ，但它的图象既不关于原点对称（非奇），也不关于 轴对称（非偶），排除；
C：，是奇函数，且最小正周期 ，符合；
D：，是偶函数，排除。
故选 C。
📝 判断周期"三看"：一看公式（，正切 ）；二看绝对值（带 的函数先用图象确定周期，例如 的周期是 而不是 ）；三看陷阱——、 这类函数不是周期函数，图形只"偶对称"，不"重复"。
例 7 由奇偶性求参数
（多选）已知函数 是奇函数，则 的值可以是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. 。
解： 因为 是奇函数，所以
即 ，。
当 时，；当 时，。
故选 BC。
📝 由 型、 型函数的奇偶性反求 ，本质是**用诱导公式把"非标准角"掰成"标准角"**：正弦要变奇函数就让常数项是 ，要变偶函数就让常数项是 ；余弦恰好相反；正切只需 。
例 8 单调性与比较大小
（多选）下列各式中正确的是（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. 。
解：
A：，，故 ，，所以 ，A 错误；
B：，而 在 上单调递增，故 ，B 正确；
C：，而 ，故 ，C 正确；
D：，而 在 上单调递增，故 ，D 错误。
故选 BC。
📝 比较大小的"三同"：同名（名字不同先用诱导公式化成同名）→ 同区间（区间不同先用周期化到同一单调区间）→ 单调比（在同一单调区间内用单调性）。若两个角跨了单调区间的"拐点"，就先与最值（、、）作中间量比较。
🧭 方法归纳
作图：五点法（）列表 → 描点 → 光滑连线；变换法要分清平移、对称、翻折三类； 定义域：化为解三角不等式（组），借图象或单位圆；含 、 务必注明 ； 值域（最值）： 反解用有界性； 换元变二次函数，注意新元范围与对称轴位置； 周期：公式法 （正切 ）；带绝对值、抽象函数用图象与结论（ 或 ）； 单调区间：先化到 ， 时先用诱导公式把 化为正，再整体代换列不等式； 奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，再比 与 ；求参数用充要条件； 比较大小：同名 → 同区间 → 用单调性；必要时借 、、 作中间量。
🎒 本讲带走
五点法：正弦 ，五个关键点一列，简图即成； 三函数性质：、 周期 、值域 ， 周期 、值域 ； 周期公式：，正切 ； 对称与周期：相邻两对称轴（或两对称中心）间距为 ，对称轴与相邻对称中心间距为 ； 抽象函数： 或 ；； 翻折变换： 上不动、下翻上； 右不动、左翻右。
✍️ 练一练
基础巩固
函数 的最小正周期是 ______。 写出函数 （）的图象的对称中心。 求函数 的单调递减区间。 判断函数 的奇偶性。 求函数 的定义域。
综合运用
求函数 的定义域。 求函数 的最大值与最小值。 求函数 的值域。 比较大小： 与 。 求函数 的最小正周期。 判断函数 的奇偶性。
拓展提高
求函数 的单调递增区间。 已知函数 （）的最小正周期为 ，求 的值。 求函数 的值域。
✅ 练一练参考答案
由 中 ，得 。答：。 令 得 ，故对称中心为 、、。答：、、。 由余弦函数的图象得单调递减区间为 ，。答：，。 定义域为 ，且 ，故为奇函数。答：奇函数。 令 ，得定义域为 。答：。 需 ，即 ，由余弦函数图象得 ，。答：，。 。当 时取最大值 ；当 时取最小值 。答：最大值 ，最小值 。 设 ，则 在 上单调递减，故当 时 ，当 时 ，值域为 。答：。 ，而 在 上单调递增，故 。答：。 。答：。 ，定义域为 且 ，故为偶函数。答：偶函数。 令 ，得 ，即 ，。答：，。 由 得 。答：。 当 时，；当 时，。故值域为 。答：。
💡 金句
一条曲线，五个关键点就能"定形"；而它的周期、奇偶、单调、对称，全写在图上。三角形里学的是"算"，到了这一讲，我们开始"看"——会画图的人，读得出函数的脾气；会读图的人，算得比别人快一步。
共同奔赴，下一讲见。