高中数学|圆上恰有两个点到直线距离为定值,含参直线 t 的范围这样定

含参直线绕着圆”动”，圆上满足特定距离条件的点个数也随之变化，这是直线与圆位置关系里最高频的模型之一。本题要求圆上”有且只有两个点”到直线的距离等于定值，解题关键在于把”点的个数”翻译成”圆心到直线的距离与半径”之间的不等关系。思路分三步走：先把圆化成标准方程，再用两条平行线去”卡”这个圆，最后归结为一段含绝对值的不等式。

已知圆的方程为x²+y²−4x−6y+11=0，直线l:x+y−t=0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，则参数t的取值范围为（　　）

A．(2,4)∪(6,8)　　B．(2,4]∪[6,8)　　C．(2,4)　　D．(6,8)

第一步：化圆为标准方程。对x²+y²−4x−6y+11=0配方，得(x−2)²+(y−3)²=2，所以圆心为C(2,3)，半径。做直线与圆的问题，标准方程与”圆心加半径”这两件套永远放在第一步。

第二步：把”点的个数”翻译成距离条件。到直线l的距离等于的点，恰好布满与l平行、且到l距离为的两条平行线。因此”圆上有且只有两个这样的点”等价于：这两条平行线与圆恰有两个公共点。这就是把点数问题变成直线与圆交点问题的桥梁。

第三步：用圆心距d刻画交点个数。设圆心C到直线l的距离为d，半径，定值：

第四步：计算d并解不等式。由点到直线的距离公式，

代入，两边同乘，得

1<|5−t|<3,

即−3<5−t<−1或1<5−t<3，解得6<t<8或2<t<4。

第五步：端点检验，收口答案。当t=2时，圆上只有1个点满足；当t=4时，圆上有3个点满足，都与”有且只有两个”不符，所以端点取不到。故t∈(2,4)∪(6,8)，选A。

“圆上恰有n个点到直线距离等于定值d₀”有一张通用译码表：设圆心距为d，当d₀>r时，两条平行线最多一条与圆相交，点数只可能是0、1、2；当d₀<r（本题情形）时，点数由d所处的区间决定，0、2、3、4个点各对应一段区间，d恰好落在分界点上时出现相切。记住三步口诀”先译个数、再列不等式、最后验端点”：选项B的闭区间端点，正是漏掉端点检验的典型错解。含参直线与圆的位置关系问题，本质上都能用”圆心距加半径”这把尺子量出来。