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高中数学|等差数列的五个命题及其应用(旧文重生)
(高中数学)等差数列的五个命题及其应用
湖北 陈功
本文将从等差数列的通项公式 出发，联系有关知识，导出五个对中学生来说可能是鲜为人知的结论。我们将会发现，这几个结论对于解决等差数列的许多问题都起着重要的作用。
命题 1、、 分别为某等差数列的第 、、 项的充要条件为行列式
。
证明 我们知道，等差数列可以看作是在自然数集上的一次函数，其几何表示是共线的一列点。、、 既为某一等差数列的第 、、 项，则点 、、 必共线于直线 （、 分别为该等差数列的首项及公差）。因此有（充要条件）
。
作为命题 1 的特例是：若 、、 三数等差，则
，即是 。
命题 2 若等差数列的前 、、 项的和分别是 、、，则行列式
。
证明 由 ，，，得 ，，。显然 、、 是以 为公差的等差数列的第 、、 项。由命题 1 知
，
变形即得
。
命题 3 若行列式 ，且 、、 三数等差，则 、、 三数亦等差。
证明
，、、 等差
、、 等差。
命题 4 若 、、 为某等差数列的第 、、 项（不妨设 ），且 ，则 ，。
证明 ……（1）
……（2）
……（3）
得
，
于是 ，。
这两个公式与解析几何中的“定比分点公式”非常相似。事实上，从等差数列的几何解释中是不难导出这两个公式的（不妨试试看）。因此，我们也称这两式为“等差数列的定比分点公式”。
作为“定比分点公式”的特例，即是等差数列的“中点公式”：
当 时 ，
命题 5（等差数列的平均值公式）：
，
这里 。
证明，
，
……
，
式相加：。
同除以 得
，
即
。
显然当 时，，这又得到了“中点公式”。
下面，我们试举几例，来说明上述五个命题的应用。
例 1 若等差数列 的第 、、 项分别为 、、，求证
。
证明 依题意和命题 1 有
，
而左端
，
。
例 2 设一等差数列的前 项之和与前 项之和相等，求证这个数列的前 项之和为 。
证明 设这个数列的前 、 项之和均为 ，由命题 2 知
。
展开左边得
，
于是 。
例 3 一等差数列的第 项是 ，第 项是 ，求它的第 项。
解 由命题 4 知，，
。
该数列的第十二项是 。
例 4 在等差数列 、、、、 中，已知
，求 。
解 由命题 5 知
，
即 。
而
，
。
例 5 若 、、 成等差数列，求证：
、、 也成等差数列。
证明
，
又 、、 等差，
由命题 3 知 、、 等差。
从上述几例可看出，用这几个命题解题比直接用 和 要简捷得多。事实上，有关等差数列的大部分题目都可用这五个命题圆满地解决，甚至等比数列问题也可利用对数关系将其转化为等差数列，然后再利用上述命题。
等差数列的性质的性质与应用视频：
