初中数学圆中的最值问题(模型)

初中数学圆中的最值问题

圆中最值问题汇编

题型一圆中将军饮马

例1、如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为▲   ．

解析：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作点．

此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，

∵∠AMN=30°，∴∠AON=60°，

∴弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，

根据垂径定理得弧CN的度数是30°，则∠AOC=90°，又OA=OC=1，则AC=

1、已知圆O的面积为3，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______，最小值为3．

2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3,⊙A、⊙B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值为______PE+PF最小值是3．

3．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（－2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值等于▲____

解析：∴A′B＝＝，

∴MN＝A′B－BN－A′M＝－2－1＝－3，

∴PM＋PN的最小值为－3．

题型二圆的定义（一周同长）

例2、木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动。下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()

A.B.C.D.

解析：如右图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线。选D.

1、如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44∘，则∠CAD的度数为__.

解析：∵AB=AC=AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∵∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44∘，∴∠CAD=2∠BAC=88∘

2、在平面直角坐标系中，A（4,0）、B（0，-3），以点B为圆心、2为半径的圆B上有一动点P，连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为。解析：

3.如图，AB是⊙O的弦，AB=8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是_____．

4.如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（　　）

A．B．C．D．

解析：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF

∵DC∥AB，∴ hu(DF)＝ hu(BC)，∴DF＝CB＝1，BF＝2＋2＝4，

∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB＝90°，∴BD＝gh(BF－DF^(2))＝．

5在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，点P在△ABC的外部，并且PC＝BC，求∠APB的度数．

分析：根据已知条件得到A、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上，根据圆周角定理即可得到结论．

解析：∵AC＝BC，PC＝BC，

∴A、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上，

若P、C在AB的同侧，则∠APB＝2∠ACB，

∵∠ACB＝100°，∴∠APB＝50°

若P、C在AB的异侧，则∠APB＝180°－50°＝130°．

6．（1）问题背景

如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证：PA＝PB＋PC．

请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．

（2）类比迁移

如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸

如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝3AC，AB⊥AC，

垂足为A，则OC的最小值为 ．

（1）证明：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，由旋转可得∠QBA＝∠PCA，∠ACB＝∠APB＝45°，PC＝QB，∵∠PCA＋∠PBA＝180°，

∴∠QBA＋∠PBA＝180°，∴Q，B，P三点共线，

∴∠QAB＋∠BAP＝∠BAP＋∠PAC＝90°，

∴QP＝AP＋AQ＝2AP，

∴QP＝AP＝QB＋BP＝PC＋PB，∴AP＝PC＋PB．

（2）解：如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，

连接OB，OQ，

∵AB⊥AC∴∠BAC＝90°

由旋转可得　QB＝OC，AQ＝OA，∠QAB＝∠OAC

∴∠QAB＋∠BAO＝∠BAO＋∠OAC＝90°

∴在Rt△OAQ中，OQ＝，AO＝3∴在△OQB中，BQ≥OQ－OB＝－3

即OC最小值是－3

（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ＝3OA，连接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO＝∠BAC＝90°，∠QAB＝∠OAC，

∵ (QA)/(OA)＝ (AB)/(AC)＝3，

∴△QAB∽△OAC，∴BQ＝3OC，

当BQ最小时，OC最小，易知OA＝3，AQ＝4，OQ＝5，BQ≥OQ－OB，

∴BQ≥2，∴BQ的最小值为2，∴OC的最小值为4×2＝2，故答案为2．

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