文档文本内容
2025-2026 学年七年级数学上学期第一次月考卷01
全解全析
（考试时间：120 分钟
试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版2024 有理数~有理数的运算。
第一部分（选择题共30 分）
一、选择题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（3 分）−2025 的相反数是（
）
A．2025
B．−
1
2025
C．−2025
D．
1
2025
【答案】A
【分析】主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键，根据相反数的定义直接进行判断
即可．
【详解】解：∵相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数
∴−2025 的相反数是2025
故选：A．
2．（3 分）2025 年5 月29 日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小
行星2016HO3 的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45 倍，月
球远地点距离约为4 × 105km，则该小行星与地球的最近距离约为（
）
A．1.8 × 105km
B．1.8 × 106km
C．1.8 × 107km
D．1.8 × 1010k
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离
倍，月球远地点距离已知为4 × 105km，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即
【详解】解：月球远地点距离为4 × 105km，小行星的距离是该值的45 倍，即：
45 × 4 × 105 = 180 × 105 = 1.8 × 107km．
故选：C
3．（3 分）根据国际足联的规定，足球的标准直径为22.1 ± 0.5（单位：cm），如图，足球直径不合格的是
（
）
A．1 号
B．2 号
C．3 号
D．4 号
【答案】A
【分析】考查正、负数的实际应用，明确“22.1 ± 0.5”是解题的关键．
根据题意判断出不合格的即可．
【详解】解：“22.1 ± 0.5”表示足球直径最小为21.6cm，最大为22.6cm，21.1 < 21.6，所以选1 号．
故选：A．
4．（3 分）在3.14，−
22
7 ，0，
π
3，65%，−2.4040040004 ⋅⋅⋅（每两个4 之间依次多1 个0），−2025 中，有
理数有（
）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】C
【分析】主要考查了有理数的定义，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案．
【详解】解；在3.14，−
22
7 ，0，
π
3，65%，−2.4040040004 ⋅⋅⋅（每两个4 之间依次多1 个0），−2025 中，有
理数有3.14，−
22
7 ，0，65%，−2025，共5 个，
故选：C．
5．（3 分）已知数轴上的点A，B 分别表示数a，b，其中−1 < �< 0，0 < �< 1．若�−�= �，数c 在数
轴上用点C 表示，则点A，B，C 在数轴上的位置可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】考查数轴，解答的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据−1 < �< 0，0 < �< 1，�−�= �，得到�−�< 0 且�−�< �，然后结合选项
个选项符合题意．
【详解】解：∵−1 < �< 0，0 < �< 1，�−�= �，
∴�−�< 0 且�−�< �，
即�< �
故选：D．
6．（3 分）若�−4 = �+ −4 ，则a 的值是（
）
A．任意有理数
B．任意一个非负数
C．任意一个非正数
D．任意一个负数
【答案】C
【分析】考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当�≥4 时，当0 < �< 4 时，当�≤0 时，结合绝对值性
质讨论求解，即可解题．
【详解】解：当�≥4 时，�−4 = �−4，�+ −4 = �+ 4，此时�−4 ≠�+ −4 ；
当0 < �< 4 时，�−4 =−�+ 4，�+ −4 = �+ 4，此时�−4 ≠�+ −4 ；
当�≤0 时，�−4 =−�+ 4，�+ −4 =−�+ 4，此时�−4 = �+ −4 ；
所以当�−4 = �+ −4 ，则a 的值是任意一个非正数；
故选：C．
7．（3 分）下列计算中，正确的个数有（
）个
①−−2 2 = 4；②−5 ÷
1
5 × 4 =−5；③
22
3 =
4
9；④−33 =−9；⑤−3 2 × −
1
3 =−3
A．1 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】A
【分析】考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数混合运算逐项计算检
验即可．
【详解】解：①−−2 2 =−4 ≠4，计算错误；
②−5 ÷
1
5 × 4 =−5 × 5 × 4 =−100 ≠−5，计算错误；
③
22
3 =
4
3，计算错误；
④−33 =−27，计算错误；
⑤−3 2 × −
1
3 = 9 × −
1
3 =−3，计算正确，
故选：A
8．（3 分）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍
也截不完．如图，有一根4 米长的木棍，第1 天截取它的一半，第2 天截取剩余部分的一半，第3 天再截
取剩余部分的一半，…，则第1 天到第5 天一共截取的长度为（
）
A．
31
8 米
B．
47
12米
C．
63
16米
D．
15
4 米
【答案】A
【分析】此题考查了数字类的规律，正确理解题意，列出算式是解题的关键．
根据每次截取的长度都是前一次截取剩余长度的一半求出第1 天到第5 天截取的长度，再相加即可.
【详解】解：第1 天截取的长度为
1
2 × 4 = 2 米，
第2 天截取的长度为
1
2 × 2 = 1 米，
第3 天截取的长度为
1
2 × 1 =
1
2米，
第4 天截取的长度为
1
2 ×
1
2 =
1
22米，
第5 天截取的长度为
1
2 ×
1
22 =
1
23米，
故第1 天到第5 天一共截取的长度为2 + 1 +
1
2 +
1
22 +
1
23 =
31
8 （米）．
故选：A
9．（3 分）观察下列算式：21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，26 = 64，27 = 128，28 = 256，…，
31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，36 = 729，37 = 2187，38 = 6561，…，根据上述算式中
的规律，211 + 311的末位数字是（
）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】B
【分析】考查数字的变化规律，通过观察所给的数的尾数，找到21，22，23⋯2�这一列数的其结果的末位数
字每4 次运算尾数2、4、8、6 循环出现，31，32，33⋯3�这一列数的其结果的末位数字每
次运算尾数3、
9、7、1 循环出现，据此规律求解即可．
【详解】解：∵21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，26 = 64，27 = 128，2
......，
以此类推，21，22，23⋯2�这一列数的其结果的末位数字每4 次运算尾数2、4、8、
∵11 ÷ 4 = 2…3，
∴211的末尾数字与23 = 8 的尾数相同为8，
∵31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，36 = 729，37 = 2187，38 = 6561，
......，
以此类推，31，32，33⋯3�这一列数的其结果的末位数字每4 次运算尾数3、9、7、1 循环出现，
∵11 ÷ 4 = 2…3
∴311的末尾数字与33 = 27 的尾数相同为7，
∵8 + 7 = 15，
∴211 + 311的末位数字是5．
故选：B．
10．（3 分）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的
组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60 年为一个循环．我
们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10 所得的余数；地
支的计算方法是：年份减3，除以12 所得的余数．以2000 年为例：天干为2000 −3 ÷ 10 = 199⋯⋯7；
地支为2000 −3 ÷ 12 = 166⋯⋯5；对照天干地支表得出，2000 年为农历庚辰年．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
依据上述规律推断2025 年为农历（
）年．
A．乙巳
B．戊申
C．乙申
D．戊巳
【答案】A
【分析】考查了有理数的混合运算的实际应用，先列式计算，再根据表格中的信息即可得解．
【详解】解：天干为：2025 −3 ÷ 10 = 202…2，
地支为：2025 −3 ÷ 12 = 168…6，
∴2025 年为农历乙巳年，
故选：A．
二、填空题（共18 分）
11．（3 分）由四舍五入法得到的近似数5.349 × 105精确到
位．
【答案】百
【分析】主要考查了近似数，“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式是解题的
关键．
根据近似数的精确度求解即可．
【详解】解：5.349 × 105 = 534900，故由四舍五入法得到的近似数5.349 × 105精确到百位．
故答案为：百．
12．（3 分）若数轴上的点�距离原点3 个单位长度，若一个点从点�出发向右移动2 个单位长度，此时终点
所表示的数是
．
【答案】−1 或5
【分析】考查数轴上的点所表示的数，根据数轴上的点距离原点3 个单位长度，可得点�表示的数，再根据
向右移动几个单位加几，向左移动几个单位减几．明确向右移动用加法，向左移动用减法是解题的关键．
【详解】解：∵点�距离原点3 个单位长度，
∴点�表示的数为−3 或3，
当点�表示的数为−3 时，一个点从点�出发向右移动2 个单位长度，终点所表示的数是：−3 + 2 =−1；
当点�表示的数为3 时，一个点从点�出发向右移动2 个单位长度，终点所表示的数是：3 + 2 = 5；
综上所述，此时终点所表示的数是−1 或5．
故答案为：−1 或5．
13．
（3 分）定义：对于任意有理数�，符号�表示不大于�的最大整数，例如5.2 = 5，−2.3 =−3，−1 =−1，
则−5.6 + 1.7 −−4 =
．
【答案】−1
【分析】主要考查了有理数的加减计算，新定义，根据新定义分别求出−5.6 、1.7 、−4 的结果，再根据
有理数的加减计算法则计算求解即可．
【详解】解：−5.6 + 1.7 −−4
=−6 + 1 −−4
=−6 + 1 + 4
=−1，
故答案为：−1．
14．（3 分）观察一列数：−
1
2，
2
4，−
3
8，
4
16，
5
32，⋯，按此规律，这一列数的第2025
【答案】−
2025
22025
【分析】先确定符号：序号为奇数时，数为负，序号为偶数时，数为正；确定分数的分子：等于序号数；确
定分母：第1 个分数的分母为2，第2 个分数的分母为4 = 22，第3 个分数的分母为8 = 23，第4 个分数的
分母为16 = 24，确定规律解答即可．
考查了规律的探索，熟练掌握从符号，分子，分母三个方向去探索发现规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得序号为奇数时，数为负，序号为偶数时，数为正；
分数的分子：等于序号数；
第1 个分数的分母为2，第2 个分数的分母为4 = 22，第3 个分数的分母为8 = 23，第4 个分数的分母为16 =
24，
故第2025 个数为−
2025
22025．
故答案为：−
2025
22025．
15．（3 分）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数
写成若干个2�的数的和，依次写出1 或0 即可．如19 = 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 = (10011)2，
即(89)10 = (10011)2，则将十进制数91 转换成二进制数为
．
【答案】(1011011)2
【分析】考查了有理数的混合运算，此题只需估计最高位是乘以2 的几次方，由�= 27 = 128 > 91，26 = 64 <
91，再逐步确定即可．
【详解】解：(91)10 = 1 × 26 + 0 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 = (1011011)2，
故答案为：(1011011)2．
16．（3 分）在下列说法中：①若�= −3 ，则�=± 3；②若−�= −3 ，则�= 3；③若m 是有理数，则
�+ �不可能是负数；④若�+ �= 0，则
�
�= 1；⑤已知a，b，c 均为非零有理数，若�+ �+ �< 0，则
�
�+
�
�+
�
�−
���
���的值为2 或−2．其中正确的是
（填序号）．
【答案】①③⑤
【分析】主要考查了相反数，绝对值的意义，解题的关键是理解相反数，绝对值的定
绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可．
【详解】解：①若�= −3 ，则�=± 3，正确，符合题意；
②若−�= −3 ，则�=± 3，原结论不正确，不符合题意；
免
③若m 是有理数，则�+ �≥0，原说法正确，符合题意；
④若�+ �= 0，�≠0 时，
�
�= 1，原结论不正确，不符合题意；
⑤∵a、b、c 均为非零有理数，若�< 0，�+ �< 0，�+ �+ �< 0，
∴a、b、c 有四种情形：�< 0，�< 0，�< 0 或�< 0，�> 0，�< 0 或�< 0，�> 0，�> 0 或�< 0，�<
0，�> 0，
当�< 0，�< 0，�< 0 时，原式=−1 −1 −1 −−1 =−2；
当�< 0，�> 0，�< 0 时，原式=−1 + 1 −1 −1 =−2，
当�< 0，�> 0，�> 0 时，原式=−1 + 1 + 1 −−1 = 2，
当�< 0，�< 0，�> 0 时，原式=−1 −1 + 1 −1 =−2．
综上，已知a、b、c 均为非零有理数，若�< 0，�+ �< 0，�+ �+ �< 0，则
�
�+
�
�+
�
�−
���
���的值为2
或−2，原说法正确，符合题意；
故答案为：①③⑤．
三、解答题（共72 分）
17．（6 分）计算
(1)
2
3 −
3
10 +
5
6 −
2
5 ÷ −
1
30 ；
(2)−24 ÷
4
3 × −
3
2
2
+ −1 2024 × −32 + 1 ．
【答案】(1)−24
(2)−19
【分析】考查了含乘方的有理数的混合运算和乘法运算律，熟练掌握混合运算的顺序是解答的关键．
（1）把除法变为乘法后利用乘法分配律进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算的顺序计算即可．
【详解】（1）解：
2
3 −
3
10 +
5
6 −
2
5 ÷ −
1
30
= 2
3 −3
10 + 5
6 −2
5 × −30
= 2
3 × −30 −3
10 × −30 + 5
6 × −30 −2
5 × −30
=−20 + 9 −25 + 12
=−24
（2）−24 ÷
4
3 × −
3
2
2
+ −1 2024 × −32 + 1
免
=−16 ÷ 4
3 × 9
4 + 1 × −9 + 1
=−16 × 3
4 × 9
4 + 1 × 8
=−27 + 8
=−19
18．
（6 分）已知�, �互为相反数，�，�互为倒数，�是绝对值最小的数，且�−2 2 + �−4 = 0．求3 �+ �+
6��−5��+ �的值．
【答案】−34
【分析】考查有理数的混合运算，相反数，倒数，绝对值的非负性，根据题意可知�+ �= 0，��= 1，�= 0，
根据绝对值的非负性求出x，y 的值，然后代入原式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：�+ �= 0，��= 1，�= 0，
∵�−2 2 + �−4 = 0，
且�−2 2 ≥0，�−4 ≥0，
∴�−2 = 0，�−4 = 0，
∴�= 2，�= 4，
∴3 �+ �+ 6��−5��+ �= 6 −5 × 2 × 4 + 0 = 6 −40 =−34．
19．（8 分）有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示：
(1)比较大小：−�−1________−1．（用“>、=或<”填空）
(2)化简：�−�−�−�+ �−2�．
【答案】(1)>
(2)3�−2�
【分析】考查了数轴、有理数的大小比较、化简绝对值，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由数轴可得�< 0 < �< �，从而可得−�> 0，即可得解；
（2）由数轴可得�< 0 < �< �，从而得出�−�< 0，�+ �−2�> 0，再根据绝对值的性质化简即可．
【详解】（1）解：由数轴可得：�< 0 < �< �，
∴−�> 0，
∴−�−1 >−1；
（2）解：由数轴可得：�< 0 < �< �，
免
∴�−�< 0，�+ �−2�> 0，
∴�−�−�−�+ �−2�= �−�+ �−�+ �−2�= �−�+ �−�−�+ 2�= 3�−2�．
20．（8 分）我们知道�÷ �=
�
�，�÷ �=
�
�,
�
�与
�
�互为倒数，所以求�÷ �的值，就是求�÷ �的值的倒数．
数学老师布置了一道思考题“计算：−
1
12 ÷
1
3 −
5
6 ，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了
这个问题．
斌斌的解法：原式的倒数为
1
3 −
5
6 ÷ −
1
12 =
1
3 −
5
6 × −12 =−4 + 10 = 6，所以−
1
12 ÷
1
3 −
5
6 =
1
6．
(1)a 的倒数为______；
(2)若a、b 互为倒数，则��=______；
(3)请你运用斌斌的解法
．．．．．．．解答问题，计算：−
1
48 ÷
1
3 −
1
6 −
3
8 ．
【答案】(1)
1
�；
(2)1；
(3)
1
10．
【分析】主要考查了倒数的定义和运用，有理数的四则混合运算等知识．
（1）利用倒数的定义即可得出答案；
（2）利用倒数的定义即可得出答案；
（3）求出原式的倒数，即可确定出原式的值．
【详解】（1）解：a 的倒数为：
1
�
（2）解：若a、b 互为倒数，则��= 1
（3）解：−
1
48 ÷
1
3 −
1
6 −
3
8 的倒数为：
1
3 −
1
6 −
3
8 ÷ −
1
48
1
3 −1
6 −3
8 ÷ −1
48
= 1
3 −1
6 −3
8 × −48
= 1
3 × −48 + 1
6 × 48 + 3
8 × 48
=−16 + 8 + 18
= 10
∴−
1
48 ÷
1
3 −
1
6 −
3
8 =
1
10
免
21．（10 分）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700 只，平均每天生产100 只，但由于种种原因，
实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况增产记为正、减产记为负；
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+5
−2
−4
+13
−6
+6
−3
(1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期______；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？
(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20 元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5 元；少
生产一只扣4 元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【答案】(1)四
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19 只风筝
(3)该厂工人这一周的工资总额是14225 元
【分析】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答的关键．
（1）比较出记录中的数的最大数即可判断；
（2）用记录中的最大数减去最小数即可；
（3）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可．
【详解】（1）∵+13 >+ 6 >+ 5 >−2 >−3 >−4 >−6
∴该厂生产风筝最多的一天是星期四．
故答案为：四；
（2）+13 −( −6) = 13 + 6 = 19 只
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19 只风筝；
（3）+5 −2 −4 + 13 −6 + 6 −3 = 9 只，
700 + 9 × 20 + 9 × 5 = 14225 元．
答：该厂工人这一周的工资总额是14225 元．
22．（10 分）观察下面三行数：
2，
－4，8，
－16，32，
－64，……；
4，
－2，10，－14，34，
－62，……；
－1，5，
－7，17，
－31，
65，……．
(1) 第一行的第7 个数是；第一行的第n 个数是；
免
(2)设第一行第n 个数为x，则第二行第n 个数为；第三行第n 个数为；取出每行的第n 个数，这三个数的
和等于－253，求这三个数；
(3)第二行能否存在连续的三个数的和为390，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
【答案】（1）128；（-1）n+1·2n,(2)（-1）n+1·2n+2;（-1）n·2n+1；这三个数分别是-256，-254,257；（3）存在，
这三个数为130，-254,514
【分析】（1）根据第①行已知数据都是2 的乘方得到，再利用第偶数个系数为负数即可得出答案，
（2）利用第②，③行与第1 行的大小关系得出即可；
（3）利用已知规律得出第二行数据的规律进而得出方程求出即可．
【详解】解：（1）∵2，−4，8，−16，32，−64，…；①
∴21＝2，−4＝−22，8＝23，−16＝−24，…
∴第①行第7 个数为：27＝128；
∵第偶数个系数为负数
∴第一行的第n 个数是（-1）n+1·2n,
(2)∵4，−2，10，−14，34，−62，…都比第一行对应数字大2，
∴第二行第n 个数为（-1）n+1·2n+2;
∵－1，5，－7，17，－31，65，…都比第一行对应数字的相反数大1，
第三行第n 个数为（-1）n·2n+1
∵取出每行的第n 个数，这三个数的和等于－253，
∴（-1）n+1·2n+（-1）n+1·2n+2+（-1）n·2n+1=-253
解得n=8，
∴这三个数分别是-256，-254,257；
（3）∵设第二行连续的三个数的和为390，
∴（-1）n+1·2n+2+（-1）n+2·2n+1+2+（-1）n+3·2n+2+2=390
解得n=7，
∴存在，这三个数为130，-254,514
23．（12 分）同学们都知道，5 −−2 表示5 与−2 的差的绝对值，实际上也可理解
上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)�是所有符合�+ 5 + �−2 = 7 成立条件的整数，则�=___________；
(2)由以上探索猜想，对于任何有理数�，�−3 + �−6 的最小值为___________；
免
(3)当�为整数时，�−1 + �−2 + �−3 的最小值为___________；
(4)求�−1 + �−2 + �−3 + ⋯+ �−1997 的最小值．
【答案】(1)−5、−4、−3、−2、−1、0、1、2
(2)3
(3)2
(4)997002
【分析】考查了数轴和绝对值，理解题绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）当�在−5 和2 之间时，�+ 5 + �−2 = 7；
（2）当�在3 和6 之间时，�−3 + �−6 的值最小；
（3）当�= 2 时，�−1 + �−2 + �−3 的值最小；
（4）当�= 999 时，�−1 + �−2 + �−3 + ⋯+ �−1997 取最小值．
【详解】（1）解：�+ 5 + �−2 = 7 表示的是在数轴上x 所对应的点到表示−5，2 两点之间的距离之和等
于7，
∴当−5 ≤�≤2 时，�+ 5 + �−2 = 7，
∵x 是整数，
∴�=−5、−4、−3、−2、−1、0、1、2．
故答案为：−5、−4、−3、−2、−1、0、1、2；
（2）解：�−3 + �−6 表示的是在数轴上x 所对应的点到表示3，6 两点之间的距离之和，
当3 ≤�≤6 时，�−3 + �−6 的值最小，
最小值为：6 −3 = 3，
故答案为：3；
（3）解：�−1 + �−2 + �−3 表示的是在数轴上x 所对应的点到表示1，2，3 三点之间的距离之和，
∵x 为整数，
∴当�= 2 时，�−1 + �−2 + �−3 的值最小，
∴最小值为= 2 −1 + 2 −2 + 2 −3 = 2，
故答案为：2；
（4）解：�−1 + �−2 + �−3 + ⋯+ �−1997 表示的是在数轴上x 所对应的点
1997 的点之间的距离之和，
∴当�= 999 时，�−1 + �−2 + �−3 + ⋯+ �−1997 的值最小，
免
∴最小值为999 −1 + 999 −2 + 999 −3 + . . . + 999 −1997
= 998 + 997 + 996 + . . . + 1 + 0 + 1 + . . . + 998
= 2 998 + 997 + 996 + . . . + 1
= 2 × 1 + 998 × 998
2
= 997002．
24．（12 分）如图，A，B 两点在数轴上分别表示有理数a，b，且�+ 3 + (�−9)2 = 0，点O 为原点，点
C 在数轴上O，B 两点之间，且��= 2．
(1)直接写出�= ，�= ，点C 所对应的数是；
(2)动点P 从点C 出发，以每秒1 个单位长度的速度向左运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长
度的速度向左运动，运动时间为t 秒，
①若��= 3��，求t 的值；
②若动点M 同时从A 点出发，以每秒4 个单位长度的速度向右运动，与点Q 相遇后，动点M 立即以同样
的速度返回，当t 为何值时，点M 恰好是线段��的中点？
【答案】(1)−3，9，2
(2)①�= 3 或�=
21
5 ；②�=
17
11或�= 3 时，点M 恰好是线段��的中点
【分析】考查数轴上的动点问题，绝对值的非负性，两点间的距离，以及一元一次方程的实际应用：
（1）根据非负性，两点间的距离，求出�, �以及点C 所对应的数即可；
（2）①根据两点间的距离公式，结合��= 3��，列出绝对值方程进行求解即可；
②分点�跟点�相遇前和相遇后，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵�+ 3 + (�−9)2 = 0，
∴�+ 3 = 0, �−9 = 0，
∴�=−3, �= 9，
∵点C 在数轴上O，B 两点之间，且��= 2，
∴点�表示的数为：2；
（2）解：①由题意得：点�表示的数为：2 −�，点�表示的数为：9 −2�，
由题意，得：�= 3 9 −2�−2 ，
免
解得：�= 3 或�=
21
5 ；
②当点M 恰好是线段��的中点时，�, �未相遇，
当点�与点�相遇时所用时间为：9 + 3 ÷ 4 + 2 = 2 秒，
∵点�表示的数为：2 −�，点�表示的数为：9 −2�，
∴当0 < �≤2 时，−3 + 4�=
2−�+9−2�
2
，解得：�=
17
11；
当�> 2 时，−3 + 4 × 2 −4 �−2 =
2−�+9−2�
2
，解得：�= 3；
综上：�=
17
11或�= 3 时，点M 恰好是线段��的中点．
免
