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2025-2026 学年七年级数学上学期第三次月考卷
强化卷·考试版
（考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，共24 分．下列各题四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上．）
1. 代数式2、
、
、
、
、
中，整式有（ ）
A. 3 个
B. 4 个
C. 5 个
D. 6 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的判断，理解整式的定义是解题的关键．整式是分母中不含变量的代数式，包括
单项式和多项式；根据定义，判断每个代数式是否为整式．
【详解】解：∵ 整式定义：分母中不含变量；
2 是常数，是整式；
是多项式，是整式；
分母2 是常数，是整式；
分母含变量
x，不是整式；
分母2 是常数，是整式；
分母
是常数，是整式．
∴整式有5 个；
故选：C．
2. 下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可．
【详解】解：A、
是最简分式，不符合题意；
B、
不是最简分式，符合题意；
C、
是最简分式，不符合题意；
D、
是最简分式，不符合题意；
故选：B．
3. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则，直接利用幂的乘
方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
【详解】解：A.
与
不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B.
，故该选项不正确，不符合题意；
C.
，故该选项不正确，不符合题意；
D.
，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
4. 下列说法正确的是（ ）
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A.
是三次单项式
B.
与
是同类项
C.
是二次四项式
D.
的常数项是
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查单项式的次数、同类项的定义、多项式的次数和项数、以及常数项的概念．根据定义逐
一判断即可．
【详解】解：
∵单项式的次数是所有字母的指数之和，
∴
中，a 的指数为2，b 的指数为1，次数为3，是三次单项式，故A 正确；
∵同类项需相同字母且相同字母指数相同，
∴
与
中x 和y 的指数均不同，不是同类项，故B 错误；
∵
=
，最高次项
的次数为3，是三次三项式，故C 错误；
∵
=
，常数项为
，不是
，故D 错误．
故选：A．
5. 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查因式分解的定义和正确性，掌握知识点是解题的关键．
因式分解是将多项式写成几个整式的乘积的形式，且变形必须恒等．选项A 是展开而非分解；选项B 分解
正确；选项C 未彻底分解；选项D 含有分式，不是整式乘积．
【详解】解：A：
是乘法运算，不是因式分解，不符合题意；
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B：
，是因式分解，符合题意；
C：
，虽恒等但
可进一步分解为
，未彻底分解，不符合题意；
D：
，含分式
，不是整式乘积，也不是因式分解，不符合题意．
故选：B．
6. 关于x 的分式方程
会产生增根，则m 的值为（ ）
A.
B. 6 或
C.
或4
D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，
增根为使分母为零的值，即
或
，代入去分母后的整式方程求解m 即可．
【详解】解：方程两边同乘公分母
，得：
，
化简得：
，
∵增根为
或
，
当
时，代入得：
，解得
；
当
时，代入得：
，解得
；
∴m 的值为6 或
；
故选B．
二、填空题：（本大题共12 题，每题4 分，共48 分．）
7. 计算：
___________．
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，根据运算法则，用多项式的每一项分别除以单项式，再合并
所得的商．
【详解】解：
．
故答案为：
．
8. 计算：
_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了异分母减法．根据分式减法的运算法则，先通分再计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：
．
9. 若分式
的值为
，则
__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：
分式
的值为
，
，且
，
，
故答案为：
．
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10. 整式
与整式
的和为
，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式加减的运算，根据整式加法的意义，用整式的和减去已知加数即可得出答案．
【详解】解：由题意，
，
则
．
故答案为：
．
11. 将整式按y 降幂排列：
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查多项式的降幂排列，按照y 的指数从高到低的顺序重新排列原多项式即可．
【详解】解：把
按y 降幂排列为
，
故答案为：
．
12. 因式分解：
_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：
．
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13. 将分式
表示成不含分母的形式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查负整数指数幂．根据负整数指数幂的计算方法进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：
．
14. 关于
的整式
是一个完全平方式，则
__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式
是解决问题的关键．
根据完全平方式，该二次三项式应可写为
的形式，通过比较系数即可确定
的值．
【详解】解：
关于
的整式
是一个完全平方式，
，
则
，
，
故答案为：或
．
15. 计算：
______．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则进行计算即可求解，掌握积的乘方的
逆运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
故答案为：
．
16. 已知A、B 两地相距
千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的
倍，乘
坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6 小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x
千米/小时，根据题意可列出方程为：________．
【答案】
【解析】
【分析】设直快列车的速度为x 千米/小时，则“和谐号”动车组的行驶速度是
千米/小时，根据乘坐
“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6 小时列方程即可．
【详解】解：设列车提速前的速度为x 千米/小时，则提速后的速度为
千米/小时，
由题意，得：
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17. 阅读材料：计算：
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运用上述方法求
__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以
，
利用平方差公式逐步化简，最终得到结果．
【详解】解：
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．
故答案为：2．
18. 如果
，
，
是正数，且满足
，
，则
的
值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得
，
，
，
进而代入代数式化简计算即可，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵
，
∴
，
，
，
∴
．
二、解答题（本大题共11 题，共78 分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
（1）
；
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（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法，幂的乘方，单项式乘多项式和多项式乘多项式的
运算是解题的关键，
（1）根据同底数幂乘法幂的乘方混合运算法则计算即可得到答案；
（2）根据单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算计算即可得到答案．
【小问1 详解】
解：原式
．
【小问2 详解】
解：原式
．
20. 分解因式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
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【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，
对于（1），先分组，再根据提公因式法因式分解；
对于（2），先提公因式，再根据平方差公式分解；
对于（3），先根据完全平方公式分解，再根据平方差公式分解．
【小问1 详解】
解：原式
；
【小问2 详解】
解：原式
；
【小问3 详解】
解：
．
21. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
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（2）a+1 （3）x
（4）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键．
（1）先计算积的乘方，再按照分式乘除法即可求解；
（2）根据分式乘除法运算法则计算即可；
（3）根据分式加减法运算法则计算即可；
（4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可．
【小问1 详解】
解：
；
【小问2 详解】
解：
．
【小问3 详解】
解：
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；
【小问4 详解】
解：
．
22. 解分式方程：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
（1）先将分式方程两边同时乘以
化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解；
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（2）先将分式方程两边同时乘以
化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解．
【小问1 详解】
两边同时乘以
得
，
即
，
移项
，
解得
，经检验
是原方程的根，
所以原分式方程的解为
；
【小问2 详解】
两边同时乘以
得
，
即
，
解得
，经检验
是原方程的增根，
所以原分式方程无解．
23. 计算：
（结果用不含负整数指数幂的形式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式的混合运算和负整数指数幂．先将负整数指数化为正整数指数，即分式形式，再
通分相除，利用平方差公式分解，约分后可得到结果．
【详解】解：
．
．
．
．
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．
24. 化简求值：
，其中
，
．
【答案】
，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然
后合并同类项化简，再计算多项式除以单项式得到最终化简的结果，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当
，
时，
原式
．
25. 甲、乙两人各自加工120 个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30 分钟后，甲开始加
工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2 倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零
件各多少个？
【答案】甲每小时加工48 个零件，乙每小时加工40 个零件
【解析】
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【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意可以得到相等关系：乙用的时间-甲用的时间
，据此
列出方程，解方程，求出方程的解并检验即可得到答案．
【详解】解：设乙每小时加工x 个零件，则甲每小时加工
个零件，根据题意得
，
解得，
，
经检验，
是原方程的根，
∴
，
答：甲每小时加工48 个零件，乙每小时加工40 个零件．
26. 关于x 的分式方程
．
（1）当
时，解该分式方程．
（2）如果分式方程无解，求n 的值．
【答案】（1）分式方程的解为
（2）n 的值为
或
或
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，分式方
程的增根是解题的关键．
（1）把
代入分式方程，得
，根据解分式方程的方法，先变形为整式方程，然后
解整式方程求出x 的值，最后检验即可；
（2）先根据解分式方程的方法，求出
再根据分式方程无解，得出
或
，
，进而求出答案．
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【小问1 详解】
解：当
时，分式方程为：
，
方程两边同时乘
，得
，
去括号，得
，
整理，得
，
解得：
，
检验：把
代入
，
∴分式方程的解为
；
【小问2 详解】
，
方程两边同时乘
，得
，
去括号，得
，
整理，得
，
∵分式方程无解，
∴
或
，或
，
当
时，
，
当
时，
∵
，
∴
，
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∵
或
，
∴
或
，
，
解得：
，
，
∴如果分式方程无解，n 的值为
或
或
．
27. 已知
．
（1）求
的值．
（2）求
的值．
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式可得
，据此可得答案；
（2）根据完全平方公式可得
，据此可得答案．
【小问1 详解】
解；∵
，即
，
∴
，即
，
∴
，即
；
【小问2 详解】
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解：∵
，
∴
．
28. 两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为
；若再在图①中
大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为
．
（1）用含a、b 的代数式分别表示
、
；
（2）若
，
，求
的值；
（3）用a、b 的代数式表示
，并当
时，求出图③中阴影部分的面积
．
【答案】（1）
,
=
；
（2）
=77；
（3）
=18.
【解析】
【分析】（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b 的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为
b 的正方形面积减去边长为b 和
的矩形面积的差；
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（2）由（1）用a、b 表示出
，然后将其配方后把
，
代入即可得解；
（3）由图形中面积之间的关系可以用含有a、b 的代数式表示
，然后再代入计算即可．
【小问1 详解】
解：由题意可得：
,
=
=
；
【小问2 详解】
由（1）可得：
=
=
=
,
∴当
，
时，
；
【小问3 详解】
由题意可得：
=
，
当
时，
，
∴
.
【点睛】本题考查整式运算在面积计算中的应用，熟练掌握整式的运算法则及完全平方公式的应用是解题
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关键．
29. 定义：若分式
与分式
的差等于它们的积，即
，则称分式
是分式
的“互动分式”．
（1）判断下列分式
是否为分式
的“互动分式”（若“是”，填“
”；若“不是”，填“
”．
①
，
（ ）②
，
（ ）③
，
（ ）
（2）小益在求分式
的“互动分式”时，用了以下方法：设
的“互动分式”为
，则
，
，
．请你仿照小益的方法求
分式
的“互动分式”：
（3）若
是
是“互动分式”，且关于
的方程
的解为正整数，为正整数，
求代数式
的最大值．
【答案】（1）①
②
③
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键．
（）根据互动分式的定义进行判断；
（
）仿照题目中给到的方法进行求解；
（
）根据（
）找规律求解；由①推出的结论，类比形式求解即可．
【小问1 详解】
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解：①
，
，
∴
∴
是分式
的“互动分式”
②∵
∴
∴
不是分式
的“互动分式”
③∵
，
∴
∴
不是分式
的“互动分式”
故答案为：①
②
③
【小问2 详解】
设
的“互动分式”为
，
则
，
，
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即
，
．
所以分式
的“互动分式”为
；
【小问3 详解】
∵设
的“互动分式”为
，
∴
，
解得：
，
∵
是
的“互动分式”，
∴
，
∴
，
解得
，
∵关于
的方程
，
整理得：
，
∵解为正整数，为正整数，
∴
，
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经检验
时，
，
∴
符合意义
∴
，
∴当
时
的最大值是7．
