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2025-2026 学年上海市徐汇区民办位育中学九年级（上）月考数学试
卷（10 月份）
一、选择题：本题共6 小题，每小题4 分，共24 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知
，那么下列结论正确的是（）
A.
B.
C.
，
，
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，由比例关系设参数表示变量，代入各选项验证即可．
【详解】解：∵
，
∴设
，
，
（
）．
A、
，
，∵
，∴A 错误．
B、
，该值随
变化，不一定等于
，∴B 错误．
C、
的值取决于
，不一定为2,3,5，∴C 错误．
D、
，∴D 正确．
故选：D．
2. 在锐角
中，如果各边长都缩小为原来的
，那么下列说法错误的是（）
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A. 周长缩小为原来的
B. 面积缩小为原来的
C. 各内角的大小保持不变
D. 各边中线的长缩小为原来的
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握相似三
角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：设原锐角
的三边分别为a，b，c，变化后的三角形三边分别为
，
各边长都缩小为原来的
，
则
，
根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，
∴变化前后的两个三角形相似，且相似比为
，
原三角形周长
，
变化后三角形周长
，
所以周长缩小为原来的
，故A 不符合题意；
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
相似比为
，
面积比为
，
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∴变化后三角形面积缩小为原来的
，而不是
，故B 符合题意；
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，
变化前后的两个三角形相似，
各内角的大小保持不变，故C 不符合题意；
根据相似三角形对应中线的比等于相似比，
相似比为
，
各边中线的长缩小为原来的
，故D 不符合题意；
故选：B．
3. 如果抛物线
的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线
的顶点是它的最低点得到
抛物线开口向上，则
，即可求出a 的取值范围．
【详解】解：∵抛物线
的顶点是最低点，
∴二次项系数
，
∴
．
故选：C．
4. 如图，小位用两根长度不等的木条
可测得花瓶内口径
的宽度．如果
，且量
得
，则
的宽度为（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，
先连接
，先根据“两边成比例且夹角相等”得
∽
，进而得出
，此题可
解．
【详解】解：连接
，
，
∴
，
即
．
，
∽
，
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．
又
，
，
即
宽度为：
故选：
．
5. 如图，已知在
中，点D 在边
上，那么下列条件中，能判定
相似的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且
夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键．
由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由两个角对应相等的两个三角形相似可
判断A，从而可得答案．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
能判定
相似的是
，
故选：
．
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6. 如图，
内部有一点D，且
、
、
的面积分别为10、8、6．若
的重心
为G，则下列叙述正确的是（ ）
A.
与
的面积相同，且
与
平行
B.
与
的面积相同，且
与
不平行
C.
与
的面积相同，且
与
平行
D.
与
的面积相同，且
与
不平行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，由题意可得
，利用三角形
重心性质可得
，进而可得
，即可判断结论A 正确．
【详解】解：
内部有一点D，且
、
、
的面积分别为10、8、6，
，
的重心为G，
，
，
点D、G 到
的距离相等，且位于
的同侧，
，故结论A 正确；结论B 错误；
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又
，
，
∴
，故选项C、D 错误，
故选：A．
二、填空题：本题共12 小题，每小题4 分，共48 分．
7. 已知线段b 是线段a、c 的比例中项，且
，
，则
________
．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了成比例线段，
由线段比例中项的定义，可得
，代入已知数据求解．
【详解】解：∵线段
是线段
、
的比例中项，且
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
故答案为：
．
8. 已知点P 是线段
的黄金分割点（
），如果
，那么
的长为______．
【答案】
##
【解析】
【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程．由题意知，
，由点
是线段
的黄金分割点，可得
，即
，整理得
，计算求出满足要求
的解即可．
【详解】解：由题意知，
，
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∵点
是线段
的黄金分割点，
∴
，即
，整理得
，
解得：
或
（舍去），
故答案为：
．
9. 已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3 和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形
较长的一边长是______．
【答案】
##
【解析】
【分析】设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出
，再求出a 即可．
【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a，
∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3 和4，第二个矩形较短的一边长是4，
∴
，
解得∶
，
即第二个矩形较长的一边长是
，
故答案为∶
．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解
此题的关键．
10. 已知
的三边长分别为2、3、4，
与
相似，且
周长为27，那么
的最
短边的长是________．
【答案】6
【解析】
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【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，
先计算
的周长，再根据相似三角形的周长比等于相似比，求出相似比，最后利用相似比求最短边．
【详解】解：∵
的周长为
，且
与
相似，
的周长为27，
∴周长比为
，
∴相似比为
．
∵
的最短边为2，
∴
的最短边为
．
故答案为：6．
11. 已知
，如果它们的面积比为
，那么对应高的比为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，
相似三角形的面积比等于相似比的平方，而对应高的比等于相似比．
【详解】解：∵
，面积比为
，
∴相似比为
，
∴对应高的比为
．
故答案为：
．
12. 在
中，点D、E 分别在边
上，
，如果
，AD：
：3，那么
的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，
由
，根据平行线分线段成比例定理，可得
，结合题意可求
，从而求出
，
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再根据
求解．
【详解】解：∵
，
∴
．
∵
，
∴设
，则
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
13. 如果将抛物线
先向左平移3 个单位，再向下平移5 个单位，那么平移后所得抛物线的表
达式为________．
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变
量的值：上加下减，进行解答即可．
【详解】解：抛物线
，
平移后所得新抛物线的表达式是：
，
即：
，
故答案为：
．
14. 二次函数
的图象上有两个点
、
，如果
，那么a 的取值范围是
________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
通过计算点
和
处的函数值，代入条件
，得到不等式，求解可得
的取值范围．
【详解】解：由二次函数
，
当
时，
，
当
时，
，
由
，得
，
化简得
，即
，
，得
．
故答案为：
．
15. 如图，在
中，
，
于D，如果
，那么
的值是________．
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【答案】
##0.6
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明
，则
，设
，
，则
，即可求出答案．
【详解】解：
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
设
，
，则
，
，
故答案为：
．
16. 如图，在梯形
中，
，点E、F 分别在边
上，且
，如果
，
，
，那么
的长是________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，
作
，可得四边形
和四边形
都是平行四边形， 再求出
，然后说明
，进而得到
，最后根据
得出答案．
【详解】解：作
交
于点P，交
于点Q，
，
四边形
和四边形
都是平行四边形，
，
，
．
，
．
，
．
，
∽
，
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，
，
．
故答案为：
．
17. 定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是
，且这两条线段相等，则称其中一条
线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．如图，在
中，点D、E 分别在
边
、
上，
于D ，
与
相交于点
若边
是边
的双关联线段，且
，则
_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点E 作
于点H，如图所示：证明
是直角三角形，
直角三角形，得出
，证明
，根据边
是边
的双关联线段，得出
，
，根据
，设
，则
，在
中，
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得出
，则
，由勾股定理得
，
，
，在
中，
，设
，则
，由勾股定理得：
，则
，
，
，表示出
，证明
，得出
，则
，
可得
，即可求解．
【详解】解：过点E 作
于点H，如图所示：
，
是直角三角形，
于D，
，
直角三角形，
，
，
边
是边
的双关联线段，
，
，
，
设
，则
，
在
中，
，
，
由勾股定理得：
，
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，
，
在
中，
，
设
，则
，
由勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
，
，
点H 是
的中点，
∵
，
，
∴
，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定，直角三角形的性质等知识点，
解题的关键是掌握以上知识点．
18. 【模型构建】如图1，已知
，如果
，那么
，我们把这种图形叫
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做“一线三等角”．
【探究应用】如图2，在梯形
中，
，
，
，点E 在边
上，
，
P、Q 分别是边
的中点．如果
，且
，那么
的长为________．
【答案】7
【解析】
【分析】延长
，过点D 作
，垂足为F，根据题意四边形
为矩形，取
的中点
，
连接
，得到
是等边三角形得出
，根据示例得出
，然后根据对应边
成比例，求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，延长
，过点D 作
，垂足为F，根据题意四边形
为矩形．
取
的中点
，连接
，
∵
，
∴
，
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∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
又
，
根据“一线三等角”模型，
，
，
在
中，假设
，则
，
由勾股定理可得，
,
，
，
，
．
过点P 作
的垂线，G 为垂足，则
是
的中点，
是梯形
的中位线，
，
，
，
，
故答案为：
．
三、解答题：本题共7 小题，共56 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 已知：
．
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（1）如果
，
，
，求c、d 的值；
（2）求证：
．
【答案】（1）
；
（2）
证明：设
，则
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．
（1）利用比例的基本性质进行求解即可；
（2）利用比例的基本性质进行证明即可．
【小问1 详解】
解：
，且
，
，
，
，
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，
，
解得
，
，
、d 的值分别为3、
；
【小问2 详解】
略
20. 二次函数
的部分图象如图所示，已知它与x 轴的一个交点坐标是
（1）填空：
①抛物线的对称轴为直线______；
②图象与x 轴的另一个交点坐标为______．
（2）如果该函数图象经过点
，求它的顶点坐标．
【答案】（1）①
；②
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质，
对于（1），根据抛物线
中对称轴为
解答；再根据抛物线的对称性求出另一个交点；
对于（2），将两个点的坐标代入关系式，再根据顶点式求出顶点坐标．
【小问1 详解】
解：①
，
抛物线的对称轴为直线
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故答案为：
②
抛物线的对称轴为直线
，它与x 轴的一个交点坐标是
，
图象与x 轴的另一个交点坐标为
故答案为：
【小问2 详解】
解：将
，
代入
，
得
，
解得
，
抛物线的解析式为
，
它的顶点坐标为
21. 如图，在
中，点D 、E 、F 分别在边
上，
，
，
（1）求
的长；
（2）如果点A 到
的距离为8，求四边形
的面积．
【答案】（1）9 （2）
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【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）证
即可得解；
（2）利用面积比是相似比的平方即可得解．
【小问1 详解】
解：
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2 详解】
解：由题可知
，
，且相似比为
，
，
同理可得
，
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．
22. 如图，在
中，
，点D 在边
上，且
，
，
（1）求
的长；
（2）将
绕着点B 旋转，使点D 与点A 重合，此时点C 的对应点记为点E，
与
交于点F，
求
的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．
（1）先结合两个三角形的高相等，它们的面积的比等于底的比，即
，则
，又因为
，
，则
，证明
，把数
值代入
进行计算，即可作答．
（2）根据旋转的性质，得
，
，根据相似三角形的性质得
，
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再证明
，得
，
，即
，得
．即可作答．
【小问1 详解】
解：∵
，两个三角形的高相等，它们的面积的比等于底的比，
，
，
，
，
，
即
，
解得
，
；
【小问2 详解】
解：旋转后图形如图，
由题可知
，
，
，
，
由（1）知
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，
，
，
，
，
，
，
又
，
．
23. 如图，在
中，
，点F 在边
上，点D 在
的延长线上，
，
点E 在边
上，且满足
．
（1）求证：
；
（2）如果
，求证：
．
【答案】（1）
证明：
，
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，
，
，
，
，
又
，
；
（2）
证明：
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
由（1）知
，
，
，
，
，即
，
，即
，
由（1）知
，
，即
，
．
【解析】
【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的
关键．
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（1）根据
，得出
，证明
，得出
，从而得出
，结合
，即可证明
；
（2）证明
为等腰直角三角形，得出
，
，从而得出
，
，由（1）知
，从而得
，证明
，得出
，从而得
，由（1）知
，则
，即可证明
．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
略
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线
与x 轴交于点A ，与y 轴交于点
抛物线
与直线
的图像交于B、C 两点（点C 在B 点左侧），且
，抛物线的
顶点为
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线沿着平行于x 轴的直线l 翻折，翻折后得新抛物线．设原抛物线与x 轴的交点为E、F，且
的重心G 恰好落在直线l 上，求翻折后新抛物线的表达式；
（3）平移原抛物线，将顶点D 移至直线
上，记作点
，新抛物线与y 轴的交点的记作点
，
当
时，求
的长．
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【答案】（1）
（2）
（3）
或
【解析】
【分析】（1）首先利用直线的解析式求得
，
，作
轴于M，则
，得出
，即可求得
，把
代入直线解析式求得C 的纵坐标，然后利用待定系数法
即可求得抛物线的表达式；
（2）把解析式化成顶点式求得顶点坐标，进一步求得抛物线于x 轴的交点，即可求得
的重心G 的
坐标，得出直线l 的表达式，利用轴对称的性质求得新抛物线的顶点坐标，即可求得翻折后的函数解析式；
（3 ）设
，则平移后的抛物线为
，令
，求得
，则
，然后分两种情况，利用三角函数的定义求得t 的值，进而即可
求得
的长．
【小问1 详解】
解：如图1，作
轴于M，则
，
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直线
与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
点的横坐标为
，
把
代入
得，
，
，
把B、C 的坐标代入
得
，
解得
，
该抛物线的表达式为
；
【小问2 详解】
解：
，
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，
令
，则
，
整理得
，
解得
，
，
，
，
的重心G 为
，即
，
直线l 为：
，
关于直线l 的对称点为
，
翻折后新抛物线的表达式为
【小问3 详解】
解：如图2，当D 在y 轴的左侧时，
点
在直线
上，
设
，
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平移后的抛物线为
，
令
，则
，
，
，
，
，
，
解得
，
；
如图3，当D 在y 轴的右侧时，则
，
解得
，
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综上，
的长为
或
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特
征，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，直角三角函数，三角形的重心高等，掌握上述知识点
是解题的关键．
25. 已知，在
中，
，
，点E 在直线
上，射线
与射线
交于点G，过
点C 作
于H，射线
交直线
于点
（1）如图，当点E 在射线
上时，
①求证：
；
②当点E 恰好为边
的中点时，求
的值；
（2）射线
与射线
交于点M，当
，且
与
相似时，请直接写出
的长．
【答案】（1）
①证明：
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
第33页/共37页
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，
，
在平行四边形
中，
，
，
，
，
，
，
，
；
②
（2）3 或
【解析】
【分析】（1）①依次证明
，
，
，结合相似三角形的
性质可得结论；
②设
，则
，
，可得
，
，
，进一步结合勾股定理与相似三角形的性质可得答案.
（2）分两种情况画图讨论：如图，当点E 在点C 上方时，此时
，则
，
当点E 在点C 下方时，此时
，结合相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质进一步求
解即可.
【小问1 详解】
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① 略
②如图，
设
，则
，
，
，
∽
，
，
，
，
由勾股定理可得
，
，
在
中，
，
∴
，
由勾股定理可得
，
，
，
，
∽
，
.
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【小问2 详解】
解：
，
，
；
如图，当点E 在点C 上方时，
此时
，则
，
在
中，
，
，
，
，
，
由（1）知
，
，
∵
，
∴
，
，
，
，
，
∴
，
∴
为直角三角形，
∵
，
为等腰直角三角形，
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；
当点E 在点C 下方时，
此时
，
同理可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，即
，
解得
，
过E 作
于点Q，
则
为等腰直角三角形，
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，
点Q、M 重合，
为等腰直角三角形，
；
综上，
的长为3 或
.
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，二次根式的化简，
等腰直角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
