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第 11 章 磁场
第 1 节 磁场及其对电流的作用
江苏视野 回归教材 试题溯源
1.(2023江苏,2,4分)如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B。L形导线通以恒定电流I,放置在磁场中。已知ab
边长为2l,与磁场方向垂直,bc边长为l,与磁场方向平行。该导线受到的安培力为( )
A.0 B.BIl C.2BIl D.√5BIl
答案 C
视野聚焦 本题考查安培力大小的计算,难度较小,解题关键是要明确电流与磁场方向平行时,不受安培力。
五年高考
2.★(2024贵州,5,4分)如图,两根相互平行的长直导线与一“凸”形导线框固定在同一竖直平面内,导线框的
对称轴与两长直导线间的距离相等。已知左、右两长直导线中分别通有方向相反的恒定电流I、I,且I>I,
1 2 1 2
则当导线框中通有顺时针方向的电流时,导线框所受安培力的合力方向( )
A.竖直向上 B.竖直向下
C.水平向左 D.水平向右
答案 C
3.★(2022江苏,3,4分)如图所示,两根固定的通电长直导线a、b相互垂直,a平行于纸面,电流方向向右,b垂直
于纸面,电流方向向里。则导线a所受安培力方向( )
A.平行于纸面向上
B.平行于纸面向下
C.左半部分垂直纸面向外,右半部分垂直纸面向里
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D.左半部分垂直纸面向里,右半部分垂直纸面向外
答案 C
4.★★(2021江苏,5,4分)在光滑桌面上将长为πL的软导线两端固定,固定点的距离为2L。导线通有电流I,处
于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中,导线中的张力为( )
A.BIL B.2BIL C.πBIL D.2πBIL
答案 A
5.★★★(2024重庆,13,10分)小明设计了如图所示的方案,探究金属杆在磁场中的运动情况,质量分别为2m、
m的金属杆P、Q用两根不可伸长的导线相连,形成闭合回路,两根导线的间距和P、Q的长度均为L,仅在Q
的运动区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向左的匀强磁场。Q在垂直于磁场方向的竖直面内向上运
动,P、Q始终保持水平,不计空气阻力、摩擦和导线质量,忽略回路电流产生的磁场。重力加速度为g,当P匀
速下降时,求
(1)P所受单根导线拉力的大小;
(2)Q中电流的大小。
mg
答案 (1)mg (2)
BL
6.★★★(2023北京,18,9分)2022年,我国阶段性建成并成功运行了“电磁橇”,创造了大质量电磁推进技术的
世界最高速度纪录。
一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面,导轨间垂直安放金属
棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行,且始终与导轨接触良好。电流从一导轨流入,经过金属棒,再从另一导轨流
回,图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场,磁感应强度B与电流i的关系式为
B=ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。
当金属棒由第一级区域进入第二级区域时,回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L,每一级区域
中金属棒被推进的距离均为s,金属棒的质量为m。求:
(1)金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F。
(2)金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比a∶a。
1 2
(3)金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
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√10kLs
答案 (1)kI2L (2)1∶4 (3)I
m
三年模拟
7.★(2025届苏州开学考)如图所示为三根平行直导线的截面图,若它们的电流大小都相同,方向都垂直纸面向
里,且AB=AC=AD,则A点的磁感应强度的方向为( )
A.沿AB方向 B.沿AD方向
C.沿AC方向 D.沿DA方向
答案 B
8.★★(2024届南通三模)如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B。导线通以恒定电流I,放置在磁场中。已知
ab、bc边长均为l,ab与磁场方向夹角为60°,bc与磁场方向平行。该导线受到的安培力为( )
√3 3
A. BIl B.BIl C. BIl D.√2+√3BIl
2 2
答案 A
9.★★★(2025届南通名校联盟联考)在倾角θ=37°的光滑导体滑轨的上端接入一个电动势E=3 V,内阻r=0.5
Ω的电源,滑轨间距L=50 cm,将一个质量m=40 g,电阻R=1 Ω的金属棒水平放置在滑轨上。若在滑轨所在
空间加一匀强磁场,当闭合开关S后,金属棒刚好静止在滑轨上,如图所示。已知 sin 37°=0.6, cos
37°=0.8,g=10 m/s2,下列说法正确的是( )
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A.磁感应强度有最小值,为0.32 T,方向垂直滑轨平面向下
B.磁感应强度有最大值,为0.4 T,方向水平向右
C.磁感应强度有可能为0.3 T,方向竖直向下
D.磁感应强度有可能为0.4 T,方向水平向左
答案 C
第 2 节 磁场对运动电荷(带电体)的作用
江苏视野 突破情境 模型建构
1.(2020江苏,16,16分)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场,y轴为两磁场的边界,磁感应强度分别为
2B、3B。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场,速度均为v。甲第1次、第2次
0 0
经过y轴的位置分别为P、Q,其轨迹如图所示。甲经过Q时,乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m,
电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求:
(1)Q到O的距离d;
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt;
q'
(3)乙的比荷 可能的最小值。
m'
mv 2πm 2q
答案 (1) (2) (3)
3qB qB m
0 0
视野聚焦 本题考查带电粒子在磁场中的运动,难度较大,一般作为江苏高考的压轴题出现。解题关键是分
析清楚粒子的运动过程,根据洛伦兹力提供向心力求解半径,再根据几何关系求解未知量,根据周期公式结合
轨迹对应的圆心角求时间。
五年高考
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2.★(2023海南,2,3分)如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场,关于小球运动和受力
的说法正确的是( )
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
答案 A
3.★★(2022北京,7,3分)正电子是电子的反粒子,与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面
的匀强磁场,从P点发出两个电子和一个正电子,三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的
是( )
A.磁场方向垂直于纸面向里
B.轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C.轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大
D.轨迹3对应的粒子是正电子
答案 A
q
4.★★★(2024重庆,14,14分)有人设计了一种粒子收集装置。如图所示,比荷为 的带正电的粒子,由固定于
m
M点的发射枪,以不同的速率射出后,沿射线MN方向运动,能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K
点,O在MN上,且KO垂直于MN。若打开磁场开关,空间将充满磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里
的匀强磁场,速率为v 的粒子运动到O点时,打开磁场开关,该粒子全被收集,不计粒子重力,忽略磁场突变的
0
影响。
(1)求OK间的距离;
(2)速率为4v 的粒子射出瞬间打开磁场开关,该粒子仍被收集,求MO间的距离;
0
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(3)速率为4v 的粒子射出后,运动一段时间再打开磁场开关,该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时0
0
点。求打开磁场的那一时刻。
2mv 2√3mv √3m
0 0
答案 (1) (2) (3)
qB qB qB
三年模拟
5.★★(2025届南京开学考)一电中性粒子静止在垂直纸面向里的匀强磁场中,在某一时刻突然分裂成a、b和
c三个粒子,a和b在磁场中做半径相等的匀速圆周运动,环绕方向如图所示,c的运动轨迹未在图中标出。仅
考虑磁场对带电粒子的作用力,下列说法正确的是( )
A.a带负电荷
B.b带正电荷
C.c不带电
D.a和b的动量大小一定相等
答案 B
6.★★(2024届无锡江阴两校联考)如图所示,一个质量为m的带电小滑块,放置在倾角为α的光滑绝缘斜面上,
斜面固定且一半置于垂直纸面向里的匀强磁场中。小滑块由静止开始从斜面顶端沿斜面滑下,进入磁场后,
下列情况不可能出现的是( )
A.小滑块沿斜面匀速滑到斜面底端
B.小滑块沿斜面匀加速滑到斜面底端
C.小滑块脱离斜面做曲线运动
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D.小滑块先沿斜面下滑一小段距离后脱离斜面做曲线运动
答案 A
7.★★★★(2023届南师大附中月考)如图所示,一端封闭、另一端开口,长L=1 m且内壁光滑的细玻璃管水平
放置在光滑的水平面上,管内封闭端有一质量m=50 g、电荷量q=0.5 C的小球。水平面上虚线右方有竖直
向下的匀强磁场,磁感应强度B=0.1 T。现玻璃管以v=2 m/s的水平速度垂直进入磁场,把小球进入磁场的
位置记为O,由于施加的外力作用,玻璃管在磁场中的速度保持不变。求:
(1)小球离开管口时的速度大小;
(2)小球在管中运动的过程中,外力对玻璃管所做的功;
(3)小球离开磁场时的位置。
答案 (1)2√2 m/s (2)0.1 J (3)在磁场边界上距离O点(3+2√2) m处
8.★★★★★(2024届无锡南菁高级中学期中)如图所示,空间中存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场。y轴正
方向竖直向上,x轴正方向水平向右。x轴上有一厚度不计的薄板MN,垂直于xOy平面固定,薄板长度为2a,
qBa
中点位于O点。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子,可从y轴上y=-a处的P点以速率v= 沿xOy
m
平面向不同方向发射。若粒子打到薄板下表面会被吸收,打到薄板上表面会被反弹,粒子与薄板间的碰撞为
弹性碰撞,碰撞前后速度大小不变,方向遵循光的反射定律,不计粒子重力。
(1)求粒子从发射到被吸收经历的最短时间t。
(2)粒子发射后能否与薄板碰撞一次就返回P点?若能,求粒子发射方向与y轴负方向的夹角α;若不能,请说
0
明理由。
(3)若粒子发射后能与薄板碰撞n次(n>1)后返回P点,求粒子发射方向与y轴负方向的夹角α的正弦值。
πm π n2-√n4-n2+1
答案 (1) (2)能 (3) (n=2,3,4,…)
3qB 6 n2-1
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微专题 20 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
江苏视野 突破情境 模型建构
1.(2019江苏,16,16分)如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右
边界分别垂直相交于M、N,MN=L,粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短),反弹前后水平分速度不变,竖
直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定,可以从左边界的不同位置水平射
入磁场,在磁场中做圆周运动的半径为d,且d<L。粒子重力不计,电荷量保持不变。
(1)求粒子运动速度的大小v;
(2)欲使粒子从磁场右边界射出,求入射点到M的最大距离d ;
m
d
(3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场,PM=d,QN= ,求粒子从P到Q的运动时间t。
2
qBd 2+√3
答案 (1) (2) d (3)见解析
m 2
mv
解析 (1)粒子的运动轨迹半径d=
qB
qBd
解得v=
m
(2)如图所示,粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切时
由几何关系得d =d(1+sin 60°)
m
2+√3
解得d = d
m 2
2πm
(3)粒子的运动周期T=
qB
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t',则
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T
t=n +t'(n=1,3,5,…)
4
( √3) 1
当L=nd+ 1− d时,粒子斜向上射出磁场,t'= T
2 12
(L 3√3-4) πm
解得t= +
d 6 2qB
( √3) 5
当L=nd+ 1+ d时,粒子斜向下射出磁场,t'= T
2 12
(L 3√3-4) πm
解得t= -
d 6 2qB
视野聚焦 本题考查带电粒子在磁场中的运动,此类问题基本的解题思路是画出粒子的运动轨迹以确定圆
心、找到几何关系并求出粒子的轨迹半径。在求解本题的第(2)问时要注意描绘出临界状态下粒子的运动
轨迹,通过几何关系求出入射点到M的最大距离;第(3)问要注意粒子运动过程中的重复性,重复性往往对应
多解。
五年高考
2.★★(2024广西,5,4分)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面
向里。质量为m,电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向
夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为( )
mv 3mv
A. B.
qB 2qB
mv ( √2)mv
C.(1+√2) D. 1+
qB 2 qB
答案 C
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3.★★★(2024湖北,7,4分)如图所示,在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁
场,磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷
量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力,下列说法正确的是( )
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
7πm
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
3qB
√3qBR
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,粒子运动的速度大小为
3m
答案 D
4.★★★(2023全国乙,18,6分)如图,一磁感应强度大小为B的匀强磁场,方向垂直于纸面(xOy平面)向里,磁场
右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中,在磁场另一侧的S点射出,粒子离开磁场后,
l
沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点;SP=l,S与屏的距离为 ,与x轴的距离为a。如果保持所有条
2
件不变,在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场,该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的
比荷为( )
E E B B
A. B. C. D.
2aB2 aB2 2aE2 aE2
A
5.★★★★(2024海南,18,16分)如图,在xOy坐标系中有三个区域,圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和
S点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心O、O 连线与x轴平行,半圆形区域与
1 2
圆形区域相切于Q点,QF垂直于x轴,半圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应
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B
强度大小为B、 的匀强磁场,磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射
2
器,可将质量为m、电荷量为q的带正电粒子通过电场加速到v。改变发射器的位置,使带电粒子在OF范围
0
内都沿着y轴正方向以相同的速度v 沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P点射入区域Ⅰ,并从Q点射入区
0
域Ⅱ(不计粒子的重力和粒子之间的影响)。
(1)求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R;
(2)在能射入区域Ⅲ的粒子中,某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短,求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时
间t;
(3)在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场(图中未画出),磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里,电场强度的大
小E=Bv,方向沿x轴正方向。此后,粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ,进入区域Ⅲ时速度方向与y
0
轴负方向的夹角为74°。当该粒子动能最大时,求该粒子的速度大小v 及所在的位置到y轴的距离l(sin
m
3 4
37°= ,sin 53°= )。
5 5
mv2 mv πm 13 172mv
答案 (1) 0 0 (2) (3) v 0
2q qB qB 5 0 25qB
三年模拟
6.★★(2024届南京六校联合体联考)如图所示,上下板足够长,间距为d。一质量为m、电荷量为+q的粒子(不
计重力),从下板的A点以速度v沿与下板成60°角、垂直磁场的方向射入磁场区域。若要使粒子不打在上
板,则磁场的磁感应强度B应满足( )
3mv mv
A.0<B< B.0<B<
2qd qd
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3mv mv
C.B> D.B>
2qd qd
答案 C
7.★★★★(2024届扬大附中期中)如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的右上方存在垂直纸面向外的
匀强磁场,左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a
点,能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计,粒子间的相互作用不计),
所有粒子均能通过MN上的b点,已知ab=L,则粒子的速度可能是( )
√3qBL √3qBL √3qBL √3qBL
A. B. C. D.
m 2m 3m 4m
答案 C
微专题 21 磁场中的动态圆模型
江苏视野 突破情境 模型建构
1.(2024届南菁高级中学、常州一中联考)如图所示,水平直线边界PQ的上方空间内有方向垂直纸面向外、
磁感应强度大小为B的匀强磁场,长为2d、与PQ平行的挡板MN到PQ的距离为d,边界PQ上的S点处有
一电子源,可在纸面内向PQ上方各方向均匀地发射电子。已知电子质量为m、电荷量大小为e,速度大小均
eBd
为 ,N、S的连线与PQ垂直,不计电子之间的作用力,则挡板MN的上表面没有被电子击中部分的长度
m
为( )
A.d B.√3d-d C.(2-√3)d D.(3-√3)d
答案 D
视野聚焦 粒子在磁场中的动态圆模型考查难度较高,最近几年在江苏高考中考查频率较低。复习时注意
掌握动态圆及磁聚焦和磁发散模型的粒子入射特点,吃透轨迹的变化,借助画图和几何关系分析解决问题。
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五年高考
2.★★★(2020课标Ⅰ,18,6分)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所
⏜
示,ab为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,
在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时
间最长的粒子,其运动时间为( )
7πm 5πm
A. B.
6qB 4qB
4πm 3πm
C. D.
3qB 2qB
答案 C
3.★★★★(2021湖南,13,13分)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流
(每个粒子的质量为m、电荷量为+q)以初速度v垂直进入磁场,不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处
在xOy平面内的粒子,求解以下问题。
(1)如图(a),宽度为2r 的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A(0,r)、半径为r 的圆形匀强磁场中,若带电粒
1 1 1
子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O,求该磁场磁感应强度B 的大小;
1
(2)如图(a),虚线框为边长等于2r 的正方形,其几何中心位于C(0,-r)。在虚线框内设计一个区域面积最小的
2 2
匀强磁场,使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r,并沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强
2
度B 的大小和方向,以及该磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程);
2
(3)如图(b),虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r 的正方形,虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r 的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
3 4
和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场,使宽度为2r 的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚
3
到坐标原点O,再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r,并沿x轴正方向射出,从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和
4
Ⅲ中磁场磁感应强度的大小,以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)。
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答案 (1)
mv
(2)
mv
方向垂直纸面向里
πr2
(3)
mv mv (π -1 ) r2 (π -1 ) r2
qr qr 2 qr qr 2 3 2 4
1 2 3 4
4.★★★★(2021河北,14,16分)如图,一对长平行栅极板水平放置,极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度
大小为B的匀强磁场,极板与可调电源相连。正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为v、带正
0
电的粒子束,单个粒子的质量为m、电荷量为q。一足够长的挡板OM与正极板成37°倾斜放置,用于吸收打
在其上的粒子。C、P是负极板上的两点,C点位于O点的正上方,P点处放置一粒子靶(忽略靶的大小),用于
接收从上方打入的粒子,CP长度为L。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力,sin
0
3
37°= 。
5
(1)若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上,求可调电源电压U 的大小;
0
(2)调整电压的大小,使粒子不能打在挡板OM上,求电压的最小值U ;
min
(3)若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调,则负极板上存在H、S两点(CH≤CP<CS,H、S两点未在图中标
出),对于粒子靶在HS区域内的每一点,当电压从零开始连续缓慢增加时,粒子靶均只能接收到n(n≥2)种能量
的粒子,求CH和CS的长度(假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定)。
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qB2L2 mv2 7mv2
答案 (1) 0- 0 (2) 0
8m 2q 18q
(2n+6)mv (2n+8)mv
0 0
(3) (n≥2) (n≥2)
3qB 3qB
三年模拟
5.★★★(2024届连云港新海高级中学期中)如图所示,AB、CD为两个同心半圆弧面,构成辐向型加速电场,电
势差为U,共同圆心为O,在加速电场右侧有一与直线CD相切于O、半径为R的圆形区域,其圆心为O,圆
1 1 2
内(及圆周上)存在垂直于纸面向外的匀强磁场;质量为m、电荷量为q的带正电粒子,从AB半圆弧面由静止
开始加速,从O 点进入磁场偏转,其中沿O、O 连线方向入射的粒子经磁场偏转后恰好从圆心O 的正下方
1 1 2 2
G点射出磁场(不计重力的影响)。求:
(1)粒子到达O 点时速度v的大小及圆形磁场的磁感应强度B的大小;
1
(2)粒子在图中P点(PO 与OO 成30°角)出发后在磁场中运动的时间。
1 1 2
√2qU 1 √2mU πR √2m
答案 (1) (2)
m R q 3 qU
微专题 22 洛伦兹力与现代科技
江苏视野 突破情境 模型建构
1.(2017江苏,15,16分)一台质谱仪的工作原理如图所示。大量的甲、乙两种离子飘入电压为U 的加速电场,
0
其初速度几乎为0,经加速后,通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁
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场中,最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q,质量分别为2m和m,图中虚线为经过狭
缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹。不考虑离子间的相互作用。
(1)求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x;
(2)在图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域,并求该区域最窄处的宽度d;
(3)若考虑加速电压有波动,在(U-ΔU)到(U+ΔU)之间变化,要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠,求狭缝宽
0 0
度L满足的条件。
答案 见解析
解析 (1)设甲种离子在磁场中的运动半径为r
1
1
电场加速qU= ×2mv2
0 2
v2
且qvB=2m
r
1
2 √mU
解得r= 0
1
B q
根据几何关系x=2r-L
1
4 √mU
解得x= 0-L
B q
(2)甲种离子经过的区域如图所示。
最窄处位于过两虚线交点的垂线上,d=r-
√
r 2-
(L) 2
1 1 2
2 √mU √4mU L2
解得d= 0- 0-
B q qB2 4
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(3)设乙种离子在磁场中的运动半径为r
2
2 √m(U -ΔU)
r 的最小值r = 0
1 1min
B q
1 √2m(U +ΔU)
r 的最大值r = 0
2 2max
B q
由题意知2r -2r >L,即
1min 2max
4 √m(U -ΔU) 2 √2m(U +ΔU)
0 - 0 >L
B q B q
2 √m
解得L< [2√(U -ΔU) -√2(U +ΔU) ]
B q 0 0
视野聚焦 本题考查质谱仪的原理及应用,难度较大,属于压轴题。解答此类问题的关键是画出粒子运动的
轨迹,分析粒子可能的运动情况,找出几何关系。
五年高考
2.★★★(2024江西,7,4分)石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料,具有丰富的电学性
能。现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子(电子)浓度。如图(a)所示,在长为a,宽为b的石墨烯表面
加一垂直向里的匀强磁场,磁感应强度为B,电极1、3间通以恒定电流I,电极2、4间将产生电压U。当
I=1.00×10-3A时,测得U-B关系图线如图(b)所示,元电荷e=1.60×10-19C,则此样品每平方米载流子数最接近(
)
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A.1.7×1019 B.1.7×1015
C.2.3×1020 D.2.3×1016
答案 D
3.★★★(2023广东,5,4分)某小型医用回旋加速器,最大回旋半径为0.5 m,磁感应强度大小为1.12 T,质子加
速后获得的最大动能为1.5×107 eV。根据给出的数据,可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为
(忽略相对论效应,1 eV=1.6×10-19 J)( )
A.3.6×106 m/s B.1.2×107 m/s
C.5.4×107 m/s D.2.4×108 m/s
答案 C
4.★★★(2021河北,5,4分)如图,距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场,磁感应强度大小为B,一
1
束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直
的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,导轨平面与水平面夹角为θ,两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电
2
阻为R的金属棒ab垂直导轨放置,恰好静止。重力加速度为g,不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒
子重力。下列说法正确的是( )
mgRsinθ
A.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上,v=
B B Ld
1 2
mgRsinθ
B.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下,v=
B B Ld
1 2
mgRtanθ
C.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上,v=
B B Ld
1 2
mgRtanθ
D.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下,v=
B B Ld
1 2
答案 B
三年模拟
5.★★★(2024届南京名校联考)霍尔效应传感器可用于自行车速度计上,如图甲所示,将霍尔传感器固定在前
叉上,磁铁安装在前轮辐条上,轮子每转一圈,磁铁就靠近霍尔传感器一次,传感器就会输出一个脉冲电压。霍
尔传感器原理如图乙所示,电源电压为U,当磁场通过霍尔元件时,在导体前后表面间出现电压U。某次行
1 2
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驶时,霍尔传感器测得的电压U 随时间t的变化如图丙所示,车轮半径为R,霍尔传感器离轮轴距离为r,下列
2
说法中正确的是( )
图甲 图乙
图丙
A.如图乙所示,霍尔元件前表面电势低于后表面的电势,则载流子带正电
B.霍尔电压U 的峰值与电源电压U 无关,与自行车的车速有关
2 1
2πR
C.自行车的速度可表示为
t -t
3 1
D.若前轮漏气,不影响速度计测得的骑行速度的准确性
答案 C
6.★★★(2024届锡山中学、常州中学、溧阳中学联考)清华大学研究的新型SSMB-EUV光刻技术,可用于提
供高强度、可调波长的极紫外光源。方案中的同步轨道如图所示,密度分布非常均匀的稳流电子束被导入
同步轨道。同步轨道周围存在磁感应强度为B的匀强磁场,电子在磁场控制下沿着固定半径的轨道做匀速
圆周运动,每转一周,穿越一次加速腔,从中获得能量,同时同步加速器中磁感应强度随电子速度的增加而增加。
已知同步轨道半径为R,电子的质量为m,电荷量为-e,加速腔ab的长度为L,L≪R,当电子进入加速腔时,加速
电压的大小始终为U,离开加速腔后,加速腔的电压变为0,加速电场的频率与电子的回旋频率保持同步。已
知加速腔外无电场,腔内无磁场,不考虑重力、相对论效应以及粒子间相互作用。
(1)当电子在同步轨道的动能为E 时,求轨道处的磁感应强度B的大小。
k
(2)长度为d(d<L)、初动能为E 的电子束,经加速腔加速一次后长度变为多少?
k
(3)注入初动能为E,长度为d的电子束,最多可以被加速腔加速几次?
k
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√2mE √eU+E L2-d2
k k
答案 (1) (2)d (3) E 次
eR E eUd2 k
k
微专题 23 带电粒子在组合场中的运动
江苏视野 突破情境 模型建构
1.(2024江苏,16,15分)如图所示,两个半圆环区abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场,区域内、外边界
的半径分别为R、R。ab与a'b'间有一个匀强电场,电势差为U,cd与c'd'间有一个插入体,电子每次经过插入
1 2
体速度减小为原来的k倍。现有一个质量为m、电荷量为e的电子,从cd面射入插入体,经过磁场、电场后
再次到达cd面,速度增加,多次循环运动后,电子的速度大小达到一个稳定值,忽略相对论效应,不计电子经过
插入体和电场的时间。求:
(1)电子进入插入体前后在磁场中运动的半径r、r 之比;
1 2
(2)电子多次循环后到达cd的稳定速度v;
(3)若电子到达cd中点P时速度稳定,并最终到达边界d,求电子从P到d的时间t。
√ 2eU
答案 (1)1∶k (2) ,方向垂直于cd向左
m(1-k2)
π(R -R ) √2m(1+k)
(3) 2 1
4 eU(1-k)
视野聚焦 本题考查带电粒子在组合场中的运动,难度较大,一般作为高考试题的压轴题出现。明确带电粒
子在磁场中做匀速圆周运动时由洛伦兹力提供向心力,电子做周期性循环运动,画出运动轨迹是关键。
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五年高考
2.★★★(2022天津,11,16分)如图所示,M和N为平行金属板,质量为m、电荷量为q的带电粒子从M由静止
开始被两板间的电场加速后,从N上的小孔穿出,以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域,经D点穿出磁
场,CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外,粒子速度方向与磁场方
向垂直,重力忽略不计。
(1)判断粒子的电性,并求M、N间的电压U;
(2)求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r;
(3)若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等,求粒子在磁场中运动的时间t。
mv2 mv πm
答案 (1)正电 (2) (3)
2q qB 3qB
3.★★★★(2021全国甲,25,20分)如图,长度均为l的两块挡板竖直相对放置,间距也为l,两挡板上边缘P和M
处于同一水平线上,在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场,电场强度大小为E;两挡板间有垂直
纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大小
为v 的速度水平向右发射,恰好从P点处射入磁场,从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场,运动过程中粒子未
0
与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°,不计重力。
(1)求粒子发射位置到P点的距离;
(2)求磁感应强度大小的取值范围;
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场,求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
√13mv 2 (3-√3)mv 2mv
答案 (1) 0 (2) 0 <B< 0
6qE 3ql ql
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39−10√3
(3) l
44
三年模拟
4.★★★(2025届镇江开学考)如图所示,在P点有一粒子源可发射质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子。以O
为圆心有一大圆与一小圆,大圆半径为r,大圆外存在方向垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,大
圆与小圆之间的区域存在方向沿半径向外的辐向电场,不计粒子重力。
4qBr
(1)若粒子源垂直OP向下射出速率为 的粒子,求粒子在磁场中运动的半径与周期。
m
(2)若OP=(2+√3)r,现以某一速度垂直OP方向向上发射粒子,使粒子恰能沿半径方向进入大圆内,且运动到
小圆处速度为零。
①求大小两圆间的电势差U;
②求该粒子从出发到再次回到P点在磁场中经历的时间。
2πm 3r2qB2 5πm
答案 (1)4r (2)① ②
qB 2m qB
5.★★★★(2024届镇江三模)如图,有一平行于y轴长为R的线状粒子发射器,其中心位于-x轴某处,可平行x
轴方向发射出速度均相同的同种粒子。其右侧有一沿x轴正方向的匀强电场,场强为E,宽为L。有一圆心在
O(R,0)、半径为R的圆形匀强磁场Ⅰ,其磁感应强度为B,方向垂直纸面向外。在第四象限y=-1.5R下方有
1
B
垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ,其磁感应强度为 。粒子的电荷量为+q,质量为m。已知从O点射入圆形磁场
2
的粒子,刚好从圆形磁场最下端A点沿-y方向射出,忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力。
(1)求粒子的初速度v;
0
(2)所有粒子最终都能从磁场Ⅱ的上边界离开磁场,求同时发射出的粒子离开磁场Ⅱ的最大时间间隔;
(3)若磁场Ⅱ的上边界可以上下调节,且不与磁场Ⅰ重叠,所有粒子最终都能从磁场Ⅱ的上边界离开磁场。求
粒子射出磁场Ⅱ上边界范围的最小值。
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√q2B2R2 2qEL 5πm
答案 (1) - (2) (3)2(2-√3)R
m2 m 3qB
6.★★★★(2024苏北七市三模)如图所示,在xOy平面y>0的区域内有沿y轴负方向、电场强度大小为E的匀
强电场,在y<0的区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场,一质量M=3m、电荷量为+q的带电粒子甲从坐
标为(0,l)的P点由静止释放,进入磁场后与静止在Q点的不带电粒子乙发生弹性碰撞,Q点的坐标为(l,-l),乙
q
的质量为m,碰后两粒子电荷量均为+ 。不计粒子的重力及碰后粒子间的相互作用。
2
(1)求磁场的磁感应强度大小B;
y
甲
(2)求碰撞后粒子甲、乙在电场中运动到离x轴的最大距离之比 ;
y
乙
(3)从纵坐标y=4l的某些位置由静止释放粒子甲,仍能使两粒子发生碰撞,求粒子甲释放点的横坐标x。
√6mE 1
答案 (1) (2) (3)见解析
ql 3
1
解析 (1)设甲粒子由P点进入磁场时速度为v,由动能定理可得qEl=
Mv2
-0
0 2 0
甲粒子进入磁场做圆周运动,半径为r,甲可与乙发生碰撞,由几何关系可知r=l
0 0
v2
0
由qvB=M
0 r
0
√6mE
解得B=
ql
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(2)设甲、乙粒子在Q点碰撞后的速度分别为v、v,
1 2
由动量守恒得Mv=Mv+mv
0 1 2
1 1 1
由能量守恒得
Mv2
=
Mv2
+
mv2
2 0 2 1 2 2
v 3
0
联立解得v= ,v= v
1 2 2 2 0
甲、乙粒子碰撞后在磁场中做圆周运动,设轨迹半径分别为r、r,
1 2
1
v2
1
对甲粒子有 qvB=M
2 1 r
1
1
v2
2
对乙粒子有 qvB=m
2 2 r
2
解得r=l,r=l
1 2
甲、乙粒子均垂直x轴进入电场,应用动能定理,
q 1
对甲粒子有- Ey =0-
Mv2
2 甲 2 1
q 1
对乙粒子有- Ey =0-
mv2
2 乙 2 2
y 1
甲
解得 =
y 3
乙
1
(3)从纵坐标y=4l的某些位置由静止释放粒子甲,设进入磁场速度为v,由动能定理可得qE·4l=
Mv2
-0
3 2 3
甲粒子在磁场中以v 做圆周运动的半径为r,
3 3
v2
3
由qvB=M
3 r
3
解得r=2l
3
粒子的运动轨迹如图所示
若甲粒子从O 点进入磁场与乙粒子相碰,O 点距O点距离为x ,由几何关系可知
1 1 O1
x =l-(2l-2l cos 30°)=(√3-1)l
O1
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甲粒子释放点的横坐标为
x=(√3-1)l-4nl (n=0,1,2,…)
若甲粒子从O 点进入磁场与乙粒子相碰,O 点距O点距离为x ,由几何关系可知
2 2 O2
x =(2l+2l cos 30°)-l=(√3+1)l
O2
甲粒子释放点的横坐标为x=-(√3+1)l-4nl (n=0,1,2,…)
微专题 24 带电粒子在叠加场中的运动
江苏视野 突破情境 模型建构
1.(2023江苏,16,15分)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强
电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向
水平入射。入射速度为v 时,电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v 时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,
0 0
且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
(1)求电场强度的大小E;
v v
0 0
(2)若电子入射速度为 ,求运动到速度为 时位置的纵坐标y;
4 2 1
mv
0
(3)若电子入射速度在0<v<v 范围内均匀分布,求能到达纵坐标y= 位置的电子数N占总电子数N 的
0 2 5eB 0
百分比。
3mv
0
答案 (1)vB (2) (3)90%
0 32eB
视野聚焦 本题考查带电粒子在叠加场中的一般曲线运动,难度较大,一般作为压轴题出现。解答本题要把
握住洛伦兹力不做功,根据动能定理,由电场力做功求解末位置的纵坐标,利用好“电子在最高点与最低点所
受的合力大小相等”这个关键条件。
五年高考
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2.★★(2022全国甲,18,6分)空间存在着匀强磁场和匀强电场,磁场的方向垂直于纸面(xOy平面)向里,电场的
方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下,从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图
中,可能正确描述该粒子运动轨迹的是 ( )
答案 B
3.★★★(2024贵州,14,14分)如图,边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为
√3
E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场,ef右边有一半径为 L且与ef相切的圆形区域,切点为ef的
3
中点,该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子
从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动,经cd边的中点进入cdef区域,并沿直线通过该区域后进入圆形区
域。所有区域均在纸面内,粒子始终在该纸面内运动,不计粒子重力。求:
(1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小;
(2)粒子的电荷量与质量之比;
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
E E
答案 (1) (2) (3)60°
B LB2
三年模拟
4.★★★(2024届南京期末)设在地面上方的真空室内,存在着方向水平向右的匀强电场和方向垂直于纸面向
里的匀强磁场,如图所示。一段光滑且绝缘的圆弧轨道AC固定在纸面内,其圆心为O点,半径R=1.4 m,O、
A连线在竖直方向上,AC弧对应的圆心角为37°。今有一质量m=3.6×10-4 kg、电荷量q=+4.5×10-4 C的带
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电小球,以v =3.0 m/s的初速度沿水平方向从A点射入圆弧轨道内,一段时间后从C点离开,此后小球做匀速
A
直线运动。重力加速度g=10 m/s2, sin 37°=0.6, cos 37°=0.8。求:
(1)匀强电场的场强大小E;
(2)小球经过C点时的速率;
(3)小球射入至圆弧轨道A端的瞬间,小球对轨道的压力(计算结果保留两位有效数字)。
答案 (1)6 N/C (2)4 m/s (3)2.5×10-3 N,方向竖直向下
5.★★★★(2024届南通三模)如图所示,在x轴下方,沿y轴方向每间隔d=0.2 m的高度就有一段间距为d的区
域P,区域P内既存在竖直向上、场强E=20 N/C的匀强电场,也存在垂直坐标平面水平向里的匀强磁场,磁
感应强度B=2 T。现有一电荷量q=5×10-10 C、质量m=1×10-9 kg的带正电的粒子从坐标原点O自由下落。
粒子可视为质点,重力加速度g=10 m/s2。
(1)求粒子刚到达第一个区域P时的速度大小v;
1
(2)求粒子穿出第一个区域P时速度的水平分速度大小v;
x
(3)若将所有区域P的磁感应强度的大小调整为B',使粒子刚好不能穿出第2个区域P,求B'的大小。
答案 (1)2 m/s (2)0.2 m/s (3)10√2 T
6.★★★★(2025届苏州开学考)如图所示的xOy坐标系中,在x轴上方有垂直xOy平面向里、范围足够大的
匀强磁场Ⅰ,一质量为m、电荷量为-q的粒子在xOy平面内运动,某时刻粒子经过y轴上y=a的P点,速度方
向与y轴正方向夹角为θ=30°,经过时间t 粒子经过x轴,速度方向与粒子在P点速度方向相反,不计粒子的重
0
力。
(1)求粒子运动的速度大小v 和磁场Ⅰ的磁感应强度大小B;
0 1
(2)若粒子经过P点时,在x轴上方再叠加一个方向垂直xOy平面的匀强磁场Ⅱ,使粒子能在磁场中做完整的
圆周运动,求匀强磁场Ⅱ的磁感应强度B 的大小和方向应满足的条件;
2
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(3)若粒子经过P点时,空间内加一方向在xOy平面内的匀强电场,粒子在叠加场中运动时经过A(2x,y )、
0 A
1 2
C(x,y )两点,如图所示,粒子在A点的动能为在P点的动能的 ,在C点的动能为在P点动能的 ,求电场强
0 C 3 3
度E的大小和方向。
πa πm πm 3πm mπ2a2
答案 (1) (2)B≥ 且方向垂直纸面向里或B≥ 且方向垂直纸面向外 (3)
t qt 2 2qt 2 2qt 6qx t2
0 0 0 0 0 0
方向沿x轴正方向
7.★★★★(2025届丹阳高中一模)如图所示,绝缘中空轨道竖直固定,圆弧段COD光滑,对应圆心角为120°,C、
D两端等高,O为最低点,圆弧圆心为O',半径为R(R远大于轨道内径),直线段轨道AC、HD粗糙,与圆弧段分
别在C、D端相切,整个装置处于方向垂直于轨道所在平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中,在竖
直虚线MC左侧和ND右侧还分别存在着场强大小相等、方向水平向右和向左的匀强电场。现有一质量为
m、电荷量恒为q、直径略小于轨道内径、可视为质点的带正电小球,与直线段轨道间的动摩擦因数为μ,从
√3
轨道内距C点足够远的P点由静止释放。若PC=l,小球所受电场力等于其重力的 ,重力加速度为g。求:
3
(1)小球在轨道AC下滑的最大速度大小;
(2)经足够长时间,小球克服摩擦力做的总功;
(3)经足够长时间,小球经过O点时,对轨道的压力大小。
2√3mg 2√3
答案 (1) (2) mgl (3)2mg-Bq√gR或2mg+Bq√gR
3μqB 3
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8.★★★★★(2024届南京、镇江联考)如图甲所示,空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场,
磁感应强度大小为B。让质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大
小和方向入射到磁场中。不计重力和粒子间的相互作用。
(1)若粒子以初速度v 沿y轴正方向入射,恰好能经过x轴上的A(a,0)点,求v 的大小;
1 1
(2)已知一粒子的初速度大小为v(v>v),为使该粒子能经过A(a,0)点,其入射角θ(粒子初速度与x轴正方向间
1
的夹角)有几个?并求出对应的 sin θ值;
(3)如图乙,若在此空间再加入沿y轴正方向、大小为E的匀强电场,一粒子从O点以初速度v 沿y轴正方向
0
发射。研究表明:粒子在xOy平面内做周期性运动,且在任一时刻,粒子速度的x分量v 与其所在位置的y坐
x
标成正比,比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中经过的位置中y坐标的最大值。
甲 乙
答案 (1)
qBa
(2)2个
qBa qBa
(3)
m (E
+
√ (E) 2
+v2
)
2m 2mv 2mv Bq B B 0
培优提分点 2 带电粒子在交变电磁场中的运动
1.★★★(2024届苏锡常镇一模)xOy平面内存在着变化电场和变化磁场,变化规律如图所示,磁感应强度的正
方向为垂直纸面向里、电场强度的正方向为+y方向。t=0时刻,一电荷量为+q、质量为m的粒子从坐标原
2πm mv
0
点O以初速v 沿+x方向入射(不计粒子重力)。B-t图中B= ,E-t图中E= 。求:
0 0 qt 0 qt
0 0
(1)粒子在磁场中运动时的轨迹半径的大小;
(2)3t 时刻粒子的坐标;
0
(3)0~5t 时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。
0
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v t 1 1
0 0
答案 (1) (2)(vt, vt) (3)vt+ vt
2π 00 2 00 00 π 00
2.★★★★(2022河北,14节选)两块面积和间距均足够大的金属板水平放置,如图1所示。金属板与可调电源
相连形成电场,方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场,方向垂直xOy平面向外。电场强度和磁感应强度
随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源,可连续释放质量为m、电荷量为q(q>0)、初速度
为零的粒子,不计重力及粒子间的相互作用,图中物理量均为已知量。求:
2πm
(1)t=0时刻释放的粒子,在t= 时刻的位置坐标;
qB
0
6πm
(2)在0~ 时间内,静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功。
qB
0
图1
图2
(2πmE π2mE ) 2π2mE2
0, 0 0
答案 (1) (2)
qB2 2qB2 B2
0 0 0
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