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2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共4 页，22 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形
码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不
按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.设集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.2 B.
C.4 D.
4.下列区间中，函数
单调递增的区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为（ ）
A.13B.12C.9 D.6
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6.若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
7.若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A.
B.
C.
D.
8.有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出
的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9.有一组样本数据
，
，…，
，由这组数据得到新样本数据
，
，…，
，其中
（
），c 为非零常数，则（ ）
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样数据的样本极差相同
10. 已知
为坐标原点，点
，
，
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知点
在圆
上，点
，
，则（ ）
A.点
到直线
的距离小于10
B.点
到直线
的距离大于2
C.当
最小时，
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D.当
最大时，
12. 在正三棱柱
中，
，点
满足
，其中
，
，则（ ）
A.当
时，
的周长为定值
B.当
时，三棱锥
的体积为定值
C.当
时，有且仅有一个点
，使得
D.当
时，有且仅有一个点
，使得
平面
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13.已知函数
是偶函数，则
______.
14.已知
为坐标原点，抛物线
：
（
）的焦点为
，
为
上一点，
与
轴垂直，
为
轴上一点，且
.若
，则
的准线方程为______.
15.函数
的最小值为______.
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为
的长方形纸，对折1 次共可以得到
，
两种规格的图形，它们的面积之和
，对折2 次共可以得到
，
，
三种规格的图形，它们的
面积之和
，以此类推.则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折
次，
那么
______
.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10 分）
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已知数列
满足
，
（1）记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
（2）求
的前20 项和.
18.（12 分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从
中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个
问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20 分，否则得0 分；B
类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分.
己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率
与回答次序无关.
（1）若小明先回答A 类问题，记
为小明的累计得分，求
的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.（12 分）
记
是内角
，
，
的对边分别为
，
，
. 已知
，点
在边
上，
.
（1）证明：
；
（2）若
，求
.
20.（12 分）
如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中点.
（1）证明：
；
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（2）若
是边长为1 的等边三角形，点
在棱
上，
，且二面角
的大小
为
，求三棱锥
的体积.
21.（12 分）
在平面直角坐标系
中，已知点
，
，点
满足
.记
的轨迹
为
.
（1）求
的方程；
（2 ）设点
在直线
上，过
的两条直线分别交
于
，
两点和
，
两点，且
，求直线
的斜率与直线
的斜率之和.
22.（12 分）
已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
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2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数学参考答案
一选择题：
､
1. B 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. D 8. B
二选择题：
､
9. CD 10. AC 11. ACD 12. BD
三填空题：
､
13.1 14.
15. 1 16.
.
①5
.
②
四解答题：
､
17. （1）
；（2）
.
18. （1）由题可知，
的所有可能取值为
，
，
．
；
；
．
所以
的分布列为
（2）由（1）知，
．
若小明先回答
问题，记
为小明的累计得分，则
的所有可能取值为
，
，
．
；
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；
．
所以
．
因为
，所以小明应选择先回答
类问题．
19.
（1）由题设，
，由正弦定理知：
，即
，
∴
，又
，
∴
，得证.
（2）由题意知：
，
∴
，同理
，
∵
，
∴
，整理得
，又
，
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∴
，整理得
，解得
或
，
由余弦定理知：
，
当
时，
不合题意；当
时，
；
综上，
.
20. （1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD
平面BCD
,平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为
平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD 于F, 作FM⊥BC 于M,连EM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD,
,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC，
,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
则
为二面角E-BC-D 的平面角,
因为
,
为正三角形,所以
为直角三角形
因为
,
从而EF=FM=
平面BCD,
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所以
21. （1）
；（2）
.
22. （1）函数的定义域为
，
又
，
当
时，
，当
时，
，
故
的递增区间为
，递减区间为
.
（2）因为
，故
，即
，
故
，
设
，由（1）可知不妨设
.
因为
时，
，
时，
，
故
.
先证：
，
若
，
必成立.
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若
， 要证：
，即证
，而
，
故即证
，即证：
，其中
.
设
，
则
，
因为
，故
，故
，
所以
，故
在
为增函数，所以
，
故
，即
成立，所以
成立，
综上，
成立.
设
，则
，
结合
，
可得：
，
即：
，故
，
要证：
，即证
，即证
，
即证：
，即证：
，
令
，
则
，
先证明一个不等式：
.
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设
，则
，
当
时，
；当
时，
，
故
在
上为增函数，在
上为减函数，故
，
故
成立
由上述不等式可得当
时，
，故
恒成立，
故
在
上为减函数，故
，
故
成立，即
成立.
综上所述，
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