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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10 位社区居民，让
他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确
率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
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C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3．设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．函数
在区间
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
7．在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成的角均为
，则
（ ）
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A．
B．AB 与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，
是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在
上，
．“会圆术”给出
的弧长的近似值s 的计算公式：
．当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．椭圆
的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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11．设函数
在区间
恰有三个极值点、两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，则
_________．
14．若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
_________．
15．从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个点在同一个平面的概率为________．
16．已知
中，点D 在边BC 上，
．当
取得最小值时，
________．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题
每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
记
为数列
的前n 项和．已知
．
（1）证明：
是等差数列；
（2）若
成等比数列，求
的最小值．
18．（12 分）
在四棱锥
中，
底面
．
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（1）证明：
；
（2）求PD 与平面
所成的角的正弦值．
19．（12 分）
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个
项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，
各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
20．（12 分）
设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于M，N 两点．当直线MD 垂直
于x 轴时，
．
（1）求C 的方程；
（2）设直线
与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．当
取得最大值时，求直线AB 的方程．
21．（12 分）
已知函数
．
（I）若
，求a 的取值范围；
（2）证明：若
有两个零点
，则
．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（t 为参数），曲线
的参数方程为
（s 为参数）．
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（1）写出
的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，
求
与
交点的直角坐标，及
与
交点的直角坐标．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
已知a，b，c 均为正数，且
，证明：
（1）
；
（2）若
，则
．
绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
理科数学
参考答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
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形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. C 2. B. 3.D 4. B 5. A 6. B 7. D 8. B 9. C 10. A 11. C 12. A
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13.
14.
15.
.
16.
##
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60 分．
17. （1）解：因为
，即
①，
当
时，
②，
①
②得，
，
即
，
即
，所以
，
且
，
所以
是以为公差的等差数列．
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（2）
．
18. （1）证明：在四边形
中，作
于
，
于
，
因为
，
所以四边形
为等腰梯形，
所以
，
故
，
，
所以
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
又
，
所以
平面
，
又因
平面
，
所以
；
（2）
.
19. （1）
；
（2）分布列见解析，
.
【解析】依题可知，
的可能取值为
，所以，
,
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，
，
.
即
的分布列为
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
期望
.
20. （1）
；
（2）
.
21. 已知函数
．
（1）
（2）由题知,
一个零点小于1,一个零点大于1
不妨设
要证
,即证
因为
,即证
因为
,即证
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即证
即证
下面证明
时，
设
，
则
设
所以
,而
所以
,所以
所以
在
单调递增
即
,所以
令
所以
在
单调递减
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即
,所以
；
综上,
,所以
.
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. （1）
；
（2）
的交点坐标为
，
，
的交点坐标为
，
．
[选修4-5：不等式选讲]
23.（1）证明：由柯西不等式有
，
所以
，
当且仅当
时，取等号，
所以
；
（2）证明：因为
，
，
，
，由（1）得
，
即
，所以
，
由权方和不等式知
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
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所以
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