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绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
理科数学
参考答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. C 2. B. 3.D 4. B 5. A 6. B 7. D 8. B 9. C 10. A 11. C 12. A
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13.
14.
15.
.
16.
##
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60 分．
17. （1）解：因为
，即
①，
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当
时，
②，
①
②得，
，
即
，
即
，所以
，
且
，
所以
是以为公差的等差数列．
（2）
．
18. （1）证明：在四边形
中，作
于
，
于
，
因为
，
所以四边形
为等腰梯形，
所以
，
故
，
，
所以
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
又
，
所以
平面
，
又因
平面
，
所以
；
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（2）
.
19. （1）
；
（2）分布列见解析，
.
【解析】依题可知，
的可能取值为
，所以，
,
，
，
.
即
的分布列为
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
期望
.
20. （1）
；
（2）
.
21. 已知函数
．
（1）
（2）由题知,
一个零点小于1,一个零点大于1
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不妨设
要证
,即证
因为
,即证
因为
,即证
即证
即证
下面证明
时，
设
，
则
设
所以
,而
所以
,所以
所以
在
单调递增
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即
,所以
令
所以
在
单调递减
即
,所以
；
综上,
,所以
.
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. （1）
；
（2）
的交点坐标为
，
，
的交点坐标为
，
．
[选修4-5：不等式选讲]
23.（1）证明：由柯西不等式有
，
所以
，
当且仅当
时，取等号，
所以
；
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（2）证明：因为
，
，
，
，由（1）得
，
即
，所以
，
由权方和不等式知
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
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