文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若复数z 满足
，则
（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．若直线
是圆
的一条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．
4．已知函数
，则对任意实数x，有（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减 B．
在
上单调递增
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
C．
在
上单调递减 D．
在
上单调递增
6．设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色
冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和
的关系，其中T 表示温度，单位
是K；P 表示压强，单位是
．下列结论中正确的是（ ）
A．当
，
时，二氧化碳处于液态
B．当
，
时，二氧化碳处于气态
C．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
D．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
8．若
，则
（ ）
A．40 B．41 C．
D．
9 ．已知正三棱锥
的六条棱长均为6 ，S 是
及其内部的点构成的集合．设集合
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，则T 表示的区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10 ．在
中，
．P 为
所在平面内的动点，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11．函数
的定义域是_________．
12．已知双曲线
的渐近线方程为
，则
__________．
13．若函数
的一个零点为
，则
________；
________．
14．设函数
若
存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为
___________．
15．已知数列
的各项均为正数，其前n 项和
满足
．给出下列四个结论：
①
的第2 项小于3； ②
为等比数列；
③
为递减数列； ④
中存在小于
的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共6 小题，共85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题13 分）
在
中，
．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（I）求
；
（II）若
，且
的面积为
，求
的周长．
17．（本小题14 分）
如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，平面
平面
，
，
M，N 分别为
，AC 的中点．
（I）求证：
平面
；
（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题13 分）
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含
）的同学将
获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下
数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（II）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望EX；
（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
19．（本小题15 分）
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
已知椭圆
的一个顶点为
，焦距为
．
（I）求椭圆E 的方程；
（II）过点
作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别与x 轴交于点
M，N，当
时，求k 的值．
20．（本小题15 分）
已知函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程；
（II）设
，讨论函数
在
上的单调性；
（III）证明：对任意的
，有
．
21．（本小题15 分）
已知
为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的
，在Q 中存在
，使得
，则称Q 为
连续可表数列．
（I）判断
是否为
连续可表数列？是否为
连续可表数列？说明理由；
（II）若
为
连续可表数列，求证：k 的最小值为4；
（III）若
为
连续可表数列，且
，求证：
．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学参考答案
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D 8. B 9. B 10. D
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11.
12.
13. ①. 1 ②.
14.
.
①0（答案不唯一） ②. 1
15.①③④
三、解答题共6 小愿，共85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（1）
（2）
17.（1）取
的中点为
，连接
，
由三棱柱
可得四边形
为平行四边形，
而
，则
，
而
平面
，
平面
，故
平面
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
而
，则
，同理可得
平面
，
而
平面
，
故平面
平面
，而
平面
，故
平面
，
（2）因为侧面
为正方形，故
，
而
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，故
平面
，
因为
，故
平面
，
因为
平面
，故
，
若选①，则
，而
，
，
故
平面
，而
平面
，故
，
所以
，而
，
，故
平面
，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则
，
故
，
设平面
的法向量为
，
则
，从而
，取
，则
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
.
若选②，因
，故
平面
，而
平面
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故
，而
，故
，
而
，
，故
，
所以
，故
，
而
，
，故
平面
，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则
，
故
，
设平面
的法向量为
，
则
，从而
，取
，则
，
设直线
与平面
所成的角为
，则
.
18.（1）0.4 （2）
（3）丙
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
19.（1）
（2）
20.（1）
（2）
在
上单调递增.
（3）解：原不等式等价于
，
令
，
，
即证
，
∵
，
，
由（2）知
在
上单调递增，
∴
，
∴
∴
在
上单调递增，又因为
，
∴
，所以命题得证.
21.（1）是
连续可表数列；不是
连续可表数列．
（2）若
,设为
,则至多
，6 个数字，没有
个，矛盾；
当
时,数列
，满足
，
，
，
，
，
，
，
，
．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）
，若
最多有
种，若
，最多有
种，所以最多有
种，
若
，则
至多可表
个数，矛盾,
从而若
,则
，
至多可表
个数，
而
，所以其中有负的，从而
可表1~20 及那个负数（恰 21 个），这
表明
中仅一个负的，没有0，且这个负的在
中绝对值最小，同时
中没有两数相同,设那个
负数为
，
则所有数之和
，
，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足
个，
（仅一种方式），
与2 相邻，
若
不在两端,则
形式，
若
，则
（有2 种结果相同，方式矛盾），
， 同理
，故
在一端，不妨为
形式，
若
,则
（有2 种结果相同，矛盾），
同理不行，
，则
（有2 种结果相同，矛盾），从而
，
由于
,由表法唯一知3,4 不相邻,、
故只能
，①或
，②
这2 种情形，
对①：
，矛盾，
对②：
，也矛盾，综上
．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
扫码关注数学学科网服务号，及时获取2022 年高考真题、答案、解析！
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
