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绝密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知命题
，
；命题
，
，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在正方体
中，
为
的中点，则直线
与
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分
配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60 种 B．120 种 C．240 种 D．480 种
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7．把函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移
个
单位长度，得到函数
的图像，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在区间
与
中各随机取1 个数，则两数之和大于
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点
，
，
在水平线
上，
和
是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，
称为“表距”，
和
都称为“表目距”，
与
的差称为“表目距的差”，则海岛的高
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设
，若
为函数
的极大值点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设
是椭圆
的上顶点，若
上的任意一点
都满足
，则
的离
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心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．已知双曲线
的一条渐近线为
，则C 的焦距为_________．
14．已知向量
，若
，则
__________．
15．记
的内角
的对边分别为
，面积为
，
，
，则
________．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所
选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60 分．
17．（12 分）
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台
新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和
，样本方差分别记为
和
．
（1）求
﹔
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（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
，则认为
新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18．（12 分）
如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
，M 为
的中点，且
．
（1）求
，
（2）求二面角
的正弦值．
19．（12 分）
记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
（1）证明：数列
是等差数列;
（2）求
的通项公式．
20．（12 分）
设函数
，已知
是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数
．证明:
．
21．（12 分）
已知抛物线
的焦点为F，且F 与圆
上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P 在M 上，
是C 的两条切线，
是切点，求
面积的最大值．
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
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22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
中，
的圆心为
，半径为1．
（1）写出
的一个参数方程；
（2）过点
作
的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切
线的极坐标方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
，求a 的取值范围．
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）
理科数学参考答案
一、选择题
1. C 2. C 3. A 4. B 5. D 6. C 7. B 8. B 9. A 10. D 11. C 12. B
二、填空题
13.4 14.
15.
16. ③④（答案不唯一）
三、解答题
（一）必考题
17. （1）
；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显
著提高.
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18. （1）
；（2）
19.
（1 ）由已知
得
, 且
，取
, 得
, 由题意得
,消积得到项的递推关系
,进而证明数列
是等差数列;
（2）
20. （1）
；
（2）由（Ⅰ）知，
，其定义域为
．
要证
，即证
，即证
．
（ⅰ）当
时，
，
，即证
．令
，因
为
，所以
在区间
内为增函数，所以
．
（ⅱ）当
时，
，
，即证
，由（ⅰ）分析知
在区
间
内为减函数，所以
．
综合（ⅰ）（ⅱ）有
．
21. （1）
；（2）
.
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（二）选考题
22.（1）
，（
为参数）；
（2）
和
．
23. （1）
.（2）
.
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