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胡克定律综合应用-专题
一、讲义核心定位
本讲义针对高考胡克定律与牛顿运动定律、动量守恒、能量守恒、简谐运动、圆周运动等综合考查的
高频压轴题型，归纳典型考法与解题关键。
二、通用解题框架
读题：定状态，辨弹簧——明确弹簧与物块的状态特征
标注弹簧状态：确定形变量
，注意长度相同形变的情况导致的弹性势能变化不相同；
锁定临界状态：双体分离、物块离开地面、弹簧最大压缩/伸长、圆周运动恰过最高点等；
绘制受力示意图：对单体/整体受力分析，标注弹簧弹力F=kx、重力、摩擦力、电场力等所有外力。
分析思路：选规律，定方法——根据物理场景匹配核心规律
物理场景
核心应用规律
受力平衡/动态运动
胡克定律 + 牛顿第二定律（
）+ a-x 图像分析
多弹簧/多体连接体
整体法与隔离法结合 + 胡克定律分阶段列式
能量转化（无摩擦/有摩擦）
弹性势能公式 + 机械能守恒/动能定理/能量守恒（摩擦生热
）
光滑水平面系统运动
动量守恒（合外力为0）+ 能量守恒（弹性势能+动能转化）
简谐运动（斜面/水平）
回复力F=-kx + 加速度/形变量对称性
弹簧+电场/磁场
胡克定律 + 电场力/洛伦兹力公式 + 动能定理
列方程，求未知——规范列式，联立求解
核心公式：胡克定律
、弹性势能
、牛顿第二定律、动量守恒式、能量守恒式；
临界条件：
①双体分离：相互作用力为0+加速度相等；
②物块离开地面：支持力
；
③圆周恰过最高点：
；
④轻杆移动：弹簧弹力=滑动摩擦力；
单位统一：所有物理量转换为国际单位（m、kg、s、N），避免计算错误；
联立求解：根据设问量，结合受力方程、守恒方程、临界条件，联立求解未知量。
注：如果到了考试最后关头，例如时间来不及、无法仔细读题，可以将上述方程列上去，对于支持力的判断、竖直面内圆周
运动最高点、最低点的选择，一定要关注。
补充：极少题目中存在判断合理性问题，可以简单关注一下弹性限度、形变长度、能量变化，但是目前几乎没出现过。
三、模型归纳
模型1：单一弹簧+单体/双体的平衡与动态运动
（一）场景特征：光滑/粗糙斜面/水平面，单根轻弹簧与物块（单体/紧靠不粘连双体）结合，涉及弹
簧压缩/伸长、a-x 图像分析、双体分离、简谐运动对称性。
（二）核心考点：胡克定律F=kx、牛顿第二定律、双体分离临界条件、简谐运动回复力与加速度规
律。
1．如图1 所示，在倾角θ=30°的光滑固定斜面底端固定了一根轻质弹簧，弹簧与斜面平行，一质量为m 的
小物块静止在弹簧上方（未拴接），现用力向下压小物块至某一位置，然后由静止释放，取该位置为小物
块运动的起始位置，小物块上升过程的a−x（加速度-位移）图像如图2 所示。已知重力加速度为g，空气
阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A．小物块运动过程中的最大加速度大于gB．弹簧的劲度系数为mg
3 x0
C．弹簧的最大弹性势能为9mg x0
4
D．小物块的最大动能为3
2 mg x0
2．(25-26 高一上·江苏扬州第一中学·月考)如图所示，木块A、B 紧靠（但不粘连）静置于水平面上，一根
劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在墙上，另一端与A 连接，弹簧水平且处于原长。已知A、B 质量均为m，
A、B 与水平面间的动摩擦因数分别为2μ 和μ，重力加速度为g。现用水平力F 向左缓慢压B，使B 向左移
动距离x 后，突然撤去力F。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．若x> 2 μmg
k
，则A、B 一定可以由静止开始向右运动
B．若A、B 可以分离，则分离时弹簧弹力大小为2μmg
C．若弹簧能恢复原长，则A、B 将在弹簧恢复原长时分离
D．若A、B 可以分离，则分离时B 的加速度大小为μg
3．如图所示，倾角θ =30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，A、B 两
物体固定于轻弹簧两端，其中B 的质量为m=2kg。对物体B 施加一沿斜面向下大小为20N 的压力F，使B
静止于P 点。撤掉力F，当B 运动至最高点时，A 恰好要离开挡板。重力加速度g=10 m/s
2，弹簧始终处
于弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧恢复原长时B 的速度达到最大
B．物块B 运动过程中最大加速度为5 m/s
2
C．物块A 的质量为2kg
D．物块A 受挡板支持力的最大值为30N
模型2：双弹簧+多体的连接体临界问题
（一）场景特征：水平+竖直方向多根弹簧连接多个物块，涉及弹簧原长/压缩/伸长转化、物块离开地
面的临界状态。
（二）核心考点：胡克定律多段形变量计算、整体法与隔离法、支持力为0 的临界分析。
（三）关键设问：弹簧端点移动距离、形变量计算、多体共速分析。
4．三个质量均为1kg 的相同木块a、b、c 和两根劲度系数为500N/m 的相同轻弹簧p、q 间的连接如图所示，
其中a 放在足够大的光滑水平桌面上。开始时p 卫弹簧处于原长，木块都静止。现用水平力F 缓慢地向左
拉p 弹簧的左端，直到c 木块刚好离开水平地面，已知q 弹簧始终沿竖直方向，重力加速度g 取10m/s
2。
下列说法正确的是（ ）
A．q 弹簧上端向上移动的距离为2cm， p 弹簧的左端向左移动的距离是4cm
B．q 弹簧上端向上移动的距离为4cm，p 弹簧的左端向左移动的距离是4cm
C．q 弹簧上端向上移动的距离为4cm， p 弹簧的左端向左移动的距离是8cm
D．q 弹簧上端向上移动的距离为2cm， p 弹簧的左端向左移动的距离是6cm
5．如图所示，质量m=1kg的长木板A 和质量也为m 的长木板B 连接，静止在光滑的水平地面上，两板上
表面在同一水平面上，A 板上表面光滑，B 板上表面粗糙，A 板上表面的轻质弹簧a 与A 板左端固定的轻质
挡板连接，B 板上表面的轻质弹簧b 与B 板右端固定的轻质挡板连接，A 板左端被固定在水平地面上的挡
板挡住，质量也为m 的物块C 放在A 板上并用它压缩弹簧a，将物块C 向左移到D 点（图中未标出）时由
静止释放物块C，物块C 被弹簧a 弹出后向右滑动冲向B 板，经弹簧b 反弹后滑到B 板左端时刚好与B 板相
对静止，弹簧b 被压缩后具有的最大弹性势能Ep=6J，最终A、B、C 整体速度v共=2m /s，物块C 与B 板
上表面间的动摩擦因数μ=0.75，弹簧b 的劲度系数很大，形变量很小可忽略，两弹簧始终在弹性限度内，
取重力加速度大小g=10 m /s
2，物块C 可看成质点。
(1)求物块C 在B 板上相对于B 板向右滑行的最大距离；
(2)求弹簧a 开始具有的最大弹性势能Epa；
(3)若A、B 板不连接，仍用物块C 压缩弹簧a 至D 点，然后由静止释放物块C，求物块C 和B 板最终相对静
止时离B 板左端的距离。
模型3：弹簧+圆弧/斜面的机械能守恒综合
（一）场景特征：弹簧弹性势能与圆弧/斜面的重力势能、动能相互转化，涉及圆周运动临界（恰过
最高点）、斜面简谐运动。
（二）核心考点：弹性势能公式、机械能守恒/动能定理、圆周运动向心力公式、斜面受力平衡。
（三）关键设问：轨道半径、物块某点速度/加速度、弹簧弹力的功率。
6．如图所示，质量为M 的小车静止在光滑水平面上，小车AB 段是半径为R 的四分之一光滑圆弧轨道，
BC 段是光滑水平轨道，AB 和BC 两段轨道相切于B 点，小车右端固定一个连接轻弹簧的挡板，开始时弹
簧处于自由状态，自由端在C 点，C 点到挡板之间轨道光滑。一质量为m= M
3
，可视为质点的滑块从圆弧
轨道的最高点由静止滑下，而后滑入水平轨道，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．滑块到达B 点时的速度大小为❑√2gR
B．滑块到达B 点时小车的速度大小为❑√
3 gR
2
C．弹簧获得的最大弹性势能为MgR
D．滑块从A 点运动到B 点的过程中，小车运动的位移大小为1
4 R
7．(24-25 高一下·青海海南藏族高级中学·期末)如图所示，竖直面内的圆弧轨道ABC 与水平面在A 点平滑
连接，AC 是竖直半径，B 是圆心O 的等高点，劲度系数为k 的轻质弹簧放置在水平面上，右端固定。控制
质量为m 的小球（视为质点）向右压缩弹簧，使弹簧的压缩量等于圆弧轨道的半径时，由静止释放小球，
当弹簧恢复原长时，小球离开弹簧，然后经过A、B 两点恰好能到达C 点。已知弹簧的弹性势能Ep与弹簧
的形变量x 以及弹簧的劲度系数k 之间的关系式为Ep= 1
2 k x
2，重力加速度为g，不计一切摩擦阻力。求：
(1)圆弧轨道的半径；
(2)小球经过B 点时的速度以及加速度的大小；
(3)若控制小球向右压缩弹簧，直到弹簧的压缩量等于圆弧轨道的直径时，由静止释放小球，则当弹簧的压
缩量等于圆弧轨道的半径时，弹簧对小球弹力的功率大小。
8．如图所示，倾角为θ的足够长光滑斜面固定在水平面上，一轻弹簧与小滑块A、B 相连，A 被锁定在斜
面顶端，B 在斜面上从弹簧原长位置由静止释放。已知A、B 的质量均为m，重力加速度为g，弹簧的劲度
系数为k，弹簧的形变在弹性限度内。
(1)求滑块B 速度最大时弹簧的伸长量x；
(2)求滑块B 运动至最低点时弹簧的弹力大小F；
(3)若两滑块与斜面间的动摩擦因数均为μ= tanθ，解除滑块A 的锁定，同时滑块B 从弹簧原长位置以初速
度v0
沿斜面向下运动，经过时间t0
滑块A、B 速度第一次相同.求5t0
时刻滑块B 的速度大小v 以及5t0
时间内
系统产生的内能Q。
模型4：弹簧+动量守恒的系统能量综合
（一）场景特征：光滑水平面内，弹簧与物块/小车组成系统，涉及碰撞、共速、相对滑动，弹性势
能为系统能量转化中介。
（二）核心考点：系统动量守恒判断、机械能/能量守恒（弹性势能+动能+摩擦生热）、相对位移计
算。
（三）关键设问：弹簧最大弹性势能、系统共速速度、物块相对滑动距离。
9．如图所示，足够长的光滑水平面上静置有 1
4
光滑圆弧槽 B （质量为 m ）和用轻弹簧连接的滑块 C
、 D （弹簧处于原长， C 质量为 2m，D 质量为 m ）， B 的底端和水平面平滑连接。一质量为 m
的小滑块 A 从 B 的顶端由静止释放，当 A 刚滑到水平面上时速度大小为 v ，此时给 C 一水平向右、
大小也为 v 的初速度。当 A 追上 C 时发生碰撞 （碰撞时间不计），碰后 A 、 C 粘在一起。滑块均
可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为 g ，弹簧始终在弹性限度内。
(1)求圆弧槽 B 的半径。
(2)若 C 、 D 间弹簧拉到最长时 A 与 C 碰撞，求碰后 A、C、D 一起运动过程中，弹簧的最大弹性势
能。
10．如图所示，长度L=45cm，质量M=2kg 的小车静止在光滑水平面上，其右端C 点用挡板固定一劲度系
数k=3600N/m 的弹簧，弹簧原长l0=20cm，静止时左端在小车上的B 点，质量为m1=1kg 的物块放在B 点，
小车BC 段光滑，AB 段与物块间动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力及挡板厚度。现
有m0=10g 的子弹以v0=400m/s 的初速度射向物块，并在极短时间内将其击穿。离开物块后的子弹不再与系
统发生相互作用，物块在小车上运动将其视做质点（忽略物块经过B 点时摩擦力的渐变过程）。
(1)若将小车固定，子弹射穿物块后，物块继续向右运动（此过程物块与小车间没有摩擦力），向右运动的
最大距离为d=5cm，已知弹簧弹性势能Ep与形变量x 的关系为：Ep=1
2
kx2，求子弹刚离开物块时物块获得的
速度v1。
(2)将物块放到小车左端的A 点，不固定小车，该子弹以同样的速度射向物块，求弹簧的最大弹性势能Ep。
(3)若物块的质量未知，但总能被子弹击穿并获得同样的动能，分析并讨论物块最终稳定在小车上的位置到
A 点的距离xA与物块质量m 的关系式。
模型5：弹簧+临界极值的实际应用问题
（一）场景特征：缓冲装置、弹簧与电场/摩擦力结合，涉及轻杆移动临界、弹簧形变极值、电势能
与弹性势能转化。
（二）核心考点：静/滑动摩擦力临界、胡克定律与电场力综合、动能定理与功能关系。
（三）关键设问：弹簧临界压缩量、小车最大撞击速度、电势能/弹性势能极值。
11．如图甲，倾角为θ的斜面底端固定一轻弹簧，顶端与一水平面相连，一绝缘轻绳将斜面上的物块A 通
过轻质定滑轮与水平面上的物块B 相连。A、B 的质量分别为2m和m，A 不带电，B 带正电且电荷量为q。
先将B 锁定，使细绳处于拉紧状态，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧细绳与水平面平行。解除锁定，A、B
从静止开始运动，B 始终处于水平向右的匀强电场中且不会与滑轮相碰，带电量保持不变。以物块A 的初
始位置为原点O，沿斜面向下建立坐标系Ox，A 的加速度与其位置的关系如图乙所示。弹簧未超过弹性限
度，重力加速度大小为g，图乙中l0已知，忽略一切摩擦。
（1）求A 刚接触弹簧时速度大小v1；
（2）求匀强电场的场强大小E；
（3）取B 物体的初始位置为零电势点，求B 电势能的最大值。
12．某缓冲装置的理想模型如图所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，
与槽间的滑动摩擦力恒为f。轻杆向右移动不超过L 时，装置可安全工作。轻杆与槽间的最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。一质量为m 的小车若以速度v 撞击弹簧，将导致轻杆向右移动。
（1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x；
（2）若以速度v0（已知）撞击，将导致轻杆右移L
4
，求小车与弹簧分离时速度（k 未知）；
（3）在(2)问情景下，求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度vm（k 未知）。
模型6：弹簧+碰撞的连锁反应问题
1.
场景特征：弹簧弹性势能释放转化为物块动能，后续发生弹性/非弹性碰撞，结合圆周运动、粗糙
水平面运动。
2.
核心考点：弹簧弹性势能释放、碰撞的动量/机械能守恒、圆周运动脱离条件、摩擦生热计算。
3.
关键设问：物块对轨道的压力、碰撞后速度范围、运动状态判断（获奖/脱离轨道）。
13．某商家为了吸引顾客而设计了一个趣味游戏，其简化模型如图所示，轨道由一个水平直轨道ABC 和一
半径为R 的竖直半圆光滑轨道CDE 组成，水平直轨道AB 段光滑，BC 段粗糙。在半圆轨道圆心O 左侧同
一水平线上且距离O 点2R 处固定一个小网兜P，将原长小于AB 段长度的轻弹簧水平置于AB 段上，左端
固定在竖直挡板上，物块1 静置于B 处。游戏者将物块2 向左压缩弹簧到某一位置释放，物块2 与物块1
发生弹性正碰（碰撞时间极短），物块1 从半圆轨道最高点E 飞出并落入网兜P 内获一等奖，在DE 之间
的圆弧段脱离轨道获二等奖，能够进入半圆轨道CD 间获三等奖，其他情况则不能获奖。已知物块1 的质
量m=0.2kg，物块2 的质量m0=0.4 kg，R =0.8 m，BC =2 R，两物块与粗糙水平面间的动摩擦因数均为
μ=0.5，重力加速度g 取10 m /s
2。两物块均可视为质点。求：（运算结果可保留根号）
(1)获得一等奖时，物块1 在E 点对轨道的压力大小；
(2)获得二等奖时，物块1 碰后的速度大小范围；
(3)游戏者将物块2 压缩弹簧至弹性势能为2J，则释放后他能获得几等奖？
14．如图甲所示，固定轨道ABC 由半径R =0.8 m的四分之一光滑圆轨道和长L=0.9 m的粗糙水平轨道组成，
两者在B 点平滑连接。BC 右侧与静置于光滑水平地面的长木板相接触，且上表面平齐。将质量m1=2.5kg
的滑块从圆弧轨道顶端A 处由静止释放，与静止在B 点、质量为m2=1kg的滑块发生碰撞，碰撞时间极短。
滑块m2经过水平轨道滑到长木板，立即受到一个方向竖直向上、大小与滑块速度成正比的力F 作用（即
F =k v滑，其中k =2kg/s）。从滑块滑上长木板开始计时，滑块与长木板运动的速度—时间图像如图乙所
示。两滑块均可视为质点，两滑块与水平轨道及长木板之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g 取10 m/s
2。
求：
(1)m1运动到B 时（碰前）对圆轨道的压力；
(2)m1和m2碰撞过程损失的机械能；
(3)m2相对长木板的最大位移。
