专题02 平面向量
考点
三年考情（2023-2025）
命题趋势
考点1 平面
向量
通常以选择题、填空题的形式出现，
分值一般为 5 分左右。向量的线性运算，
如加法、减法、数乘运算等是基础内容，
常与平面向量基本定理结合考查。例如，
通过已知向量表示未知向量，判断向量之
间的关系等。向量的数量积运算及其应用
是重点，包括数量积的定义、坐标运算、
几何意义等，常涉及求向量的模、夹角，
判断向量的垂直关系等。如 2024 年新高
考 Ⅰ 卷和 Ⅱ 卷都考查了平面向量的垂
直运算，Ⅱ 卷还结合了数量积的综合运算
1。
向量常与解析几何、三角函数、平面
几何等知识相结合。如 2023 年全国甲卷
理科第 12 题，考查了向量与圆的综合问
题
命题主要集中在平面向量基本
定理、坐标运算、数量积运算
及其应用等方面，如证明垂
直、求距离、夹角、模长等。
例如，2023 年全国甲卷考查
了向量夹角，2024 年新课标
全国 Ⅱ 卷考查了向量模长。
整体难度一般不高，以基础题
和中档题为主，注重对基本知
识点和运算能力的考查1。常
与解析几何、三角函数、平面
几何等知识相结合，作为解题
工具出现。如 2023 年全国甲
卷理科第 12 题，考查了向量
与圆的综合问题
考点01 平面向量
一、单选题
1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中
船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和
向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
1
等级
风速大小m/s
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：⃗n=(0,2)−(3,3)=(−3,−1)，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为⃗n1，船行风速对应的向量为⃗n2，
∴⃗n=⃗n1+⃗n2，船行风速：⃗n2=−[(3,3)−(2,0)]=(−1,−3)，
∴⃗n1=⃗n−⃗n2=(−3,−1)−(−1,−3)=(−2,2)，
|⃗n1|=√(−2)
2+2
2=2√2≈2.828，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1)，若(⃗a+ λ⃗b)⊥(⃗a+ μ⃗b)，则（ ）
A．λ+ μ=1
B．λ+ μ=−1
C．λμ=1
D．λμ=−1
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出⃗a+ λ⃗b，⃗a+ μ⃗b，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1)，所以⃗a+ λ⃗b=(1+ λ ,1−λ)，⃗a+ μ⃗b=(1+ μ,1−μ)，
由(⃗a+ λ⃗b)⊥(⃗a+ μ⃗b)可得，(⃗a+ λ⃗b)⋅(⃗a+ μ⃗b)=0，
2
即(1+ λ)(1+ μ)+(1−λ)(1−μ)=0，整理得：λμ=−1．
故选：D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a=(3,1),⃗b=(2,2)，则cos⟨⃗a+⃗b,⃗a−⃗b⟩=（ ）
A．1
17
B．√17
17
C．√5
5
D．2√5
5
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得|⃗a+⃗b|,|⃗a−⃗b|,(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)，从而利用平面向量
余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为⃗a=(3,1),⃗b=(2,2)，所以⃗a+⃗b=(5,3),⃗a−⃗b=(1,−1)，
则|⃗a+⃗b|=√5
2+3
2=√34 ,|⃗a−⃗b|=√1+1=√2，(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=5×1+3×(−1)=2，
所以cos⟨⃗a+⃗b,⃗a−⃗b⟩= (⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)
|⃗a+⃗b||⃗a−⃗b|
=
2
√34×√2 = √17
17 .
故选：B.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC ⋅⃗ED =（ ）
A．√5
B．3
C．2√5
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以{⃗AB ,⃗AD}为基底向量表示⃗EC ,⃗ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建
系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos∠DEC，进而根据数量积的定义运算求
解.
【详解】方法一：以{⃗AB ,⃗AD}为基底向量，可知|⃗AB|=|⃗AD|=2,⃗AB⋅⃗AD =0，
则⃗EC =⃗EB+⃗BC = 1
2⃗AB+⃗AD ,⃗ED =⃗EA +⃗AD =−1
2⃗AB+⃗AD，
所以⃗EC ⋅⃗ED =(
1
2⃗AB+⃗AD)⋅(−1
2⃗AB+⃗AD)=−1
4⃗AB
2+⃗AD
2=−1+ 4 =3；
方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E (1,0),C (2,2), D (0,2)，可得⃗EC =(1,2),⃗ED =(−1,2)，
所以⃗EC ⋅⃗ED =−1+ 4 =3；
方法三：由题意可得：ED = EC =√5,CD =2，
在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC = D E
2+C E
2−DC
2
2 DE⋅CE
=
5+5−4
2×√5×√5 = 3
5，
所以⃗EC ⋅⃗ED =|⃗EC||⃗ED|cos∠DEC =√5×√5× 3
5 =3.
故选：B.
3
5．（2023·北京·高考真题）已知向量⃗a，⃗b满足⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1)，则|⃗a|
2−|⃗b|
2=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量⃗a,⃗b满足⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1)，
所以|⃗a|
2−|⃗b|
2=(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=2×(−2)+3×1=−1.
故选：B
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2，且(⃗b−2⃗a)⊥⃗b，则|⃗b|=（ ）
A．1
2
B．√2
2
C．√3
2
D．1
【答案】B
【分析】由(⃗b−2⃗a)⊥⃗b得⃗b
2=2⃗a⋅⃗b，结合|⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2，得1+ 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2=1+6⃗b
2= 4，由此即
可得解.
【详解】因为(⃗b−2⃗a)⊥⃗b，所以(⃗b−2⃗a)⋅⃗b=0，即⃗b
2=2⃗a⋅⃗b，
又因为|⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2，
所以1+ 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2=1+6⃗b
2= 4，
从而|⃗b|= √2
2 .
故选：B.
7．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量⃗a=(0,1),⃗b=(2, x)，若⃗b⊥(⃗b−4⃗a)，则x =（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.
【详解】因为⃗b⊥(⃗b−4⃗a)，所以⃗b⋅(⃗b−4⃗a)=0，
所以⃗b
2−4⃗a⋅⃗b=0即4 + x
2−4 x =0，故x =2，
4
故选：D.
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA 与⊙O相切于点A，直线PB 与⊙O交于
B，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO|=√2，则⃗PA ⋅⃗PD的最大值为（ ）
A．1+√2
2
B．1+2√2
2
C．1+√2
D．2+√2
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得⃗PA ⋅⃗PD
= 1
2 −√2
2 sin(2α −π
4)，或⃗PA ⋅⃗PD = 1
2 + √2
2 sin(2α + π
4)然后结合三角函数的性质即可确定⃗PA ⋅⃗PD的
最大值.
【详解】如图所示，|OA|=1,|OP|=√2，则由题意可知:∠APO =π
4 ，
由勾股定理可得|PA|=√O P
2−O A
2=1
当点A , D位于直线PO异侧时或PB 为直径时，设∠OPC =α ,0≤α < π
4 ，
则：⃗PA ⋅⃗PD =|⃗PA |⋅|⃗PD|cos(α + π
4)
=1×√2cosα cos(α + π
4)
=√2cosα(
√2
2 cosα −√2
2 sin α)
=cos
2α −sin α cosα
= 1+cos2α
2
−1
2 sin2α
= 1
2 −√2
2 sin(2α −π
4)
0≤α < π
4 ，则−π
4 ≤2α −π
4 < π
4
∴当2α −π
4 =−π
4 时，⃗PA ⋅⃗PD有最大值1.
5
当点A , D位于直线PO同侧时，设∠OPCα ,0<α < π
4 ，
则：⃗PA ⋅⃗PD =⃗PA ⋅⃗PD cos(
π
4 −α)
=1×√2cosα cos(
π
4 −α)
=√2cosα(
√2
2 cosα + √2
2 sin α)
=cos
2α +sin α cosα
= 1+cos2α
2
+ 1
2 sin 2α
= 1
2 + √2
2 sin(2α + π
4)，
0≤α < π
4 ，则π
4 ≤2α + π
4 < 3 π
4
∴当2α + π
4 = π
2 时，⃗PA ⋅⃗PD有最大值1+√2
2
.
综上可得，⃗PA ⋅⃗PD的最大值为1+√2
2
.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a,⃗b,⃗c满足|⃗a|=|⃗b|=1,|⃗c|=√2，且⃗a+⃗b+⃗c =⃗0，则
cos〈⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c 〉=（ ）
A．−4
5
B．−2
5
C．2
5
D．4
5
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为⃗a+⃗b+⃗c =⃗0,所以⃗a+⃗b=−⃗c,
即⃗a
2+⃗b
2+2⃗a⋅⃗b=⃗c
2,即1+1+2⃗a⋅⃗b=2,所以⃗a⋅⃗b=0.
6
如图,设⃗OA =⃗a,⃗OB =⃗b,⃗OC =⃗c,
由题知,OA =OB =1,OC =√2,△OAB是等腰直角三角形,
AB 边上的高OD = √2
2 , AD = √2
2 ,
所以CD =CO+OD =√2+ √2
2 = 3√2
2
,
tan ∠ACD = AD
CD = 1
3 ,cos∠ACD = 3
√10,
cos〈⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c 〉=cos∠ACB =cos2∠ACD =2cos
2∠ACD−1
=2×(
3
√10)
2
−1= 4
5 .
故选:D.
10．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件B．“x =1+√3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x =0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件
D．“x =−1+√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当⃗a⊥⃗b时，则⃗a⋅⃗b=0，
所以x⋅( x +1)+2 x =0，解得x =0或−3，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当x =0时，⃗a=(1,0),⃗b=(0,2)，故⃗a⋅⃗b=0，
所以⃗a⊥⃗b，即充分性成立，故C 正确；
对B，当⃗a//⃗b时，则2( x +1)= x
2，解得x =1±√3，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当x =−1+√3时，不满足2( x +1)= x
2，所以⃗a//⃗b不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
11．（2024·北京·高考真题）设 ⃗a，⃗b是向量，则“(⃗a+⃗b)·(⃗a−⃗b)=0”是“⃗a=−⃗b或⃗a=⃗b”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
7
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0等价于|⃗a|=|⃗b|，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=⃗a
2−⃗b
2=0，可得⃗a
2=⃗b
2，即|⃗a|=|⃗b|，
可知(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0等价于|⃗a|=|⃗b|，
若⃗a=⃗b或⃗a=−⃗b，可得|⃗a|=|⃗b|，即(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0，可知必要性成立；
若(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0，即|⃗a|=|⃗b|，无法得出⃗a=⃗b或⃗a=−⃗b，
例如⃗a=(1,0),⃗b=(0,1)，满足|⃗a|=|⃗b|，但⃗a≠⃗b且⃗a≠−⃗b，可知充分性不成立；
综上所述，“(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0”是“⃗a=−⃗b或⃗a=⃗b”的必要不充分条件.
故选：B.
12．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，|⃗OA |=|⃗OB|=√2，|⃗AB|=2.设C(3,4)，则
|2⃗CA +⃗AB|的取值范围是（ ）
A．[6,14 ]
B．[6,12]
C．[8,14 ]
D．[8,12]
【答案】D
【分析】先根据⃗AB =⃗OB−⃗OA，求出〈⃗OA ,⃗OB 〉，进而可以用向量⃗OA ,⃗OB表示出2⃗CA +⃗AB，即可解出．
【详解】因为|OA |=|OB|=√2，|⃗AB|=2，
由⃗AB =⃗OB−⃗OA平方可得，⃗OA ⋅⃗OB =0，所以〈⃗OA ,⃗OB 〉=π
2 ．
2⃗CA +⃗AB =2(⃗OA −⃗OC)+⃗OB−⃗OA =⃗OA +⃗OB−2⃗OC，|⃗OC|=√3
2+ 4
2=5，
所以，|2⃗CA +⃗AB|
2=⃗OA
2+⃗OB
2+ 4⃗OC
2−4(⃗OA +⃗OB)⋅⃗OC
=2+2+ 4×25−4(⃗OA +⃗OB)⋅⃗OC =104−4(⃗OA +⃗OB)⋅⃗OC，
又|(⃗OA +⃗OB)⋅⃗OC|≤|⃗OA +⃗OB||⃗OC|=5×√2+2=10，即−10≤(⃗OA +⃗OB)⋅⃗OC ≤10，
所以|2⃗CA +⃗AB|
2∈[64,144]，即|2⃗CA +⃗AB|∈[8,12]，
故选：D.
二、填空题
13．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量⃗a=( x ,1),⃗b=( x−1,2 x),若⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则|⃗a|=
【答案】√2
【分析】根据向量坐标化运算得⃗a−⃗b=(1,1−2 x)，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】⃗a−⃗b=(1,1−2 x)，因为⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则⃗a⋅(⃗a−⃗b)=0，
则x +1−2 x =0，解得x =1.
则⃗a=(1,1)，则|⃗a|=√2.
故答案为：√2.
8
14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a−⃗b|=√3，|⃗a+⃗b|=|2⃗a−⃗b|，则|⃗b|= ．
【答案】√3
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令⃗c =⃗a−⃗b，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为|⃗a+⃗b|=|2⃗a−⃗b|，即(⃗a+⃗b)
2=(2⃗a−⃗b)
2，
则⃗a
2+2⃗a⋅⃗b+⃗b
2= 4⃗a
2−4⃗a⋅⃗b+⃗b
2，整理得⃗a
2−2⃗a⋅⃗b=0，
又因为|⃗a−⃗b|=√3，即(⃗a−⃗b)
2=3，
则⃗a
2−2⃗a⋅⃗b+⃗b
2=⃗b
2=3，所以|⃗b|=√3.
法二：设⃗c =⃗a−⃗b，则|⃗c|=√3,⃗a+⃗b=⃗c +2⃗b,2⃗a−⃗b=2⃗c +⃗b，
由题意可得：(⃗c +2⃗b)
2=(2⃗c +⃗b)
2，则⃗c
2+ 4⃗c⋅⃗b+ 4⃗b
2= 4⃗c
2+ 4⃗c⋅⃗b+⃗b
2，
整理得：⃗c
2=⃗b
2，即|⃗b|=|⃗c|=√3.
故答案为：√3.
15．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC =1，∠A =60
∘，AD
→
= 1
2 AB
→
,CE
→
= 1
2 CD
→
，记⃗
AB =⃗a,⃗AC =⃗b，用a
→
,b
→表示AE⃗= ；若⃗BF = 1
3⃗BC，则⃗AE⋅⃗AF的最大值为 ．
【答案】 1
4⃗a+ 1
2⃗b 13
24
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用⃗a,⃗b表示出⃗AF，结合上一空
答案，于是⃗AE⋅⃗AF可由⃗a,⃗b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为E为CD的中点，则⃗ED +⃗EC =⃗0，可得¿，
两式相加，可得到2⃗AE =⃗AD +⃗AC，
即2⃗AE = 1
2⃗a+⃗b，则⃗AE = 1
4⃗a+ 1
2⃗b；
空2：因为⃗BF = 1
3⃗BC，则2⃗FB+⃗FC =⃗0，可得¿，
得到⃗AF +⃗FC +2(⃗AF +⃗FB)=⃗AC +2⃗AB，
即3⃗AF =2⃗a+⃗b，即⃗AF = 2
3⃗a+ 1
3⃗b.
于是⃗AE⋅⃗AF =(
1
4⃗a+ 1
2⃗b)⋅(
2
3⃗a+ 1
3⃗b)= 1
12 (2⃗a
2+5⃗a⋅⃗b+2⃗b
2).
记AB = x , AC = y，
则⃗AE⋅⃗AF = 1
12 (2⃗a
2+5⃗a⋅⃗b+2⃗b
2)= 1
12 (2 x
2+5 xy cos60
∘+2 y
2)= 1
12(2 x
2+ 5 xy
2 +2 y
2)，
9
在△ABC中，根据余弦定理：BC
2= x
2+ y
2−2 xy cos60
∘= x
2+ y
2−xy =1，
于是⃗AE⋅⃗AF = 1
12(2 xy + 5 xy
2 +2)= 1
12(
9 xy
2 +2)，
由x
2+ y
2−xy =1和基本不等式，x
2+ y
2−xy =1≥2 xy −xy = xy，
故xy ≤1，当且仅当x = y =1取得等号，
则x = y =1时，⃗AE⋅⃗AF有最大值13
24 .
故答案为：1
4⃗a+ 1
2⃗b；13
24 .
16．（2024·天津·高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，DE
→
=2 EC
→
,若BE⃗= λ BA⃗+ μ BC⃗，其中λ , μ为
实数，则λ+ μ= ；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则⃗AF ⋅⃗DG的最小值为 ．
【答案】 4
3 −5
18
【分析】解法一：以{⃗BA ,⃗BC}为基底向量，根据向量的线性运算求⃗BE，即可得λ+ μ，设⃗BF =k⃗BE，求⃗
AF ,⃗DG，结合数量积的运算律求⃗AF ⋅⃗DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求⃗BE，
即可得λ+ μ，设F (a,−3a),a∈[−1
3 ,0]，求⃗AF ,⃗DG，结合数量积的坐标运算求⃗AF ⋅⃗DG的最小值.
【详解】解法一：因为CE = 1
2 DE，即CE⃗= 1
3 BA⃗，则⃗BE =⃗BC +⃗CE = 1
3⃗BA +⃗BC，
可得λ= 1
3 , μ=1，所以λ+ μ= 4
3 ；
由题意可知：|⃗BC|=|⃗BA|=1,⃗BA ⋅⃗BC =0，
因为F为线段BE上的动点，设⃗BF =k⃗BE = 1
3 k⃗BA +k⃗BC ,k ∈[0,1]，
则⃗AF =⃗AB+⃗BF =⃗AB+ k⃗BE =(
1
3 k −1)⃗BA +k⃗BC，
又因为G为AF中点，则⃗DG =⃗DA +⃗AG =−⃗BC + 1
2⃗AF = 1
2(
1
3 k −1)⃗BA +(
1
2 k −1)⃗BC，
可得⃗AF ⋅⃗DG =[(
1
3 k −1)⃗BA +k⃗BC]⋅[
1
2(
1
3 k −1)⃗BA +(
1
2 k −1)⃗BC]
10
= 1
2(
1
3 k −1)
2
+k(
1
2 k −1)= 5
9(k −6
5)
2
−3
10，
又因为k ∈[0,1]，可知：当k =1时，⃗AF ⋅⃗DG取到最小值−5
18；
解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A (−1,0),B (0,0),C (0,1), D (−1,1), E(−1
3 ,1)，
可得⃗BA =(−1,0),⃗BC =(0,1),⃗BE =(−1
3 ,1)，
因为⃗BE = λ⃗BA + μ⃗BC =(−λ , μ)，则¿，所以λ+ μ= 4
3 ；
因为点F在线段BE: y =−3 x , x∈[−1
3 ,0]上，设F (a,−3a),a∈[−1
3 ,0]，
且G为AF中点，则G(
a−1
2
,−3
2 a)，
可得⃗AF =(a+1,−3a),⃗DG =(
a+1
2
,−3
2 a−1)，
则⃗AF ⋅⃗DG = (a+1)
2
2
+(−3a)(−3
2 a−1)=5(a+ 2
5)
2
−3
10，
且a∈[−1
3 ,0]，所以当a=−1
3时，⃗AF ⋅⃗DG取到最小值为−5
18；
故答案为：4
3 ；−5
18.
17．（2025·上海·高考真题）已知f ( x)=¿，⃗a、⃗b、⃗c是平面内三个不同的单位向量．若
f (⃗a⋅⃗b)+ f (⃗b⋅⃗c)+ f (⃗c⋅⃗a)=0，则|⃗a+⃗b+⃗c|的取值范围是 ．
【答案】(1,√5)
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得{f (⃗a⋅⃗b),f (⃗b⋅⃗c),f (⃗c⋅⃗a)}= {−1,0,1}，再根据数量积关系设
出⃗a,⃗b,⃗c坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若f (⃗a⋅⃗b)= f (⃗b⋅⃗c)= f (⃗c⋅⃗a)=0，则⃗a⋅⃗b=⃗b⋅⃗c =⃗c⋅⃗a=0，
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又三个向量均为平面内的单位向量，故向量⃗a,⃗b,⃗c两两垂直，显然不成立；
故{f (⃗a⋅⃗b),f (⃗b⋅⃗c),f (⃗c⋅⃗a)}= {−1,0,1}.
不妨设¿，则⃗a⋅⃗b>0,⃗b⋅⃗c =0,⃗c⋅⃗a<0，
不妨设⃗b=(1,0),⃗c =(0,1)，⃗a=(cosθ ,sinθ),θ∈[0,2π)，
则¿，则θ∈(
3
2 π,2π)，
则|⃗a+⃗b+⃗c|=|(1+cosθ ,1+sinθ)|=√(1+cosθ)
2+(1+sinθ)
2=√3+2cosθ+2sinθ
=√3+2√2sin(θ+π
4 )，
由θ∈(
3
2 π,2π)，θ+π
4 ∈(
7
4 π, 9
4 π)，
则sin(θ+π
4 )∈(−√2
2 , √2
2 )，2√2sin(θ+π
4 )∈(−2,2)
故|⃗a+⃗b+⃗c|∈(1,√5).
故答案为：(1,√5).
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