文档文本内容
题号猜押04 全国卷高考数学第9~10 题（多选题）
溯源
年份
卷别
第9 题
第10 题
2025
Ⅰ卷
正三棱柱（线面平行、垂直、线线角）
抛物线（焦点弦、切线、垂线）
2025
Ⅱ卷
等比数列（前n 项和性质、基本量）
奇函数性质（解析式、极值、不等式）
2024
Ⅰ卷
正态分布（3σ 原则、概率比较）
三次函数（极值点、切线、对称中心）
2024
Ⅱ卷
三角函数（零点、最值、周期、对称轴）
抛物线（切线、焦点弦、轨迹）
2023
Ⅰ卷
统计（平均数、中位数、标准差、极差）
声压级（对数运算、不等式比较）
2023
Ⅱ卷
圆锥（体积、侧面积、二面角、三角形面
积）
抛物线（焦点弦、准线、圆相切）
2022
Ⅰ卷
正方体（线线角、线面角）
三次函数（极值点、零点、对称中心、切
线）
2022
Ⅱ卷
三角函数（单调性、极值点、对称轴、切
线）
抛物线（焦点弦、向量共线、面积、角）
2021
Ⅰ卷
统计（样本数字特征线性变换）
向量（模长、数量积、三角恒等变换）
2021
Ⅱ卷
统计（离散程度：标准差、极差）
正方体（线线垂直）
近5 年T9、T10 作为多选题前两题，考点分布呈现“一轮换、一稳定”的特点。统计概率在T9 位置高度
稳定，近5 年出现4 次，侧重样本数字特征、正态分布、独立性检验；立体几何在T9 或T10 出现5 次，以
正方体、正三棱柱为载体，考查线面位置关系、空间角、体积；圆锥曲线（抛物线为主）在T10 出现4
次，侧重焦点弦、切线、几何性质；函数与导数（三次函数）在T10 出现3 次，考查极值、零点、对称中
心、切线。三角函数的图象与性质、数列等比性质偶有出现。整体难度中档，注重概念辨析与几何直观。
预测
2026 年T9 大概率仍为统计与概率，侧重正态分布3σ 原则、样本数字特征（平均数、中位数、标准差、极
差）的综合判断，或独立性检验、条件概率的基本应用。T10 可能在立体几何（空间位置关系与夹角、截
面问题）与圆锥曲线（抛物线焦点弦、双曲线渐近线、椭圆离心率）之间轮换，其中立体几何考查线面垂
直、面面平行的判定与空间角计算的可能性较大。三次函数作为备选，若出现在T10，则极可能与导数结
合考查性质综合。
备考核心
主攻统计概率，熟练掌握正态分布的对称性与3σ 区间，理解样本数字特征的线性变换性质，能准确计算古
典概型与二项分布概率；强化立体几何，掌握正方体、正三棱柱中线面位置关系的判定方法，能用向量法
或几何法求异面直线角、线面角、二面角；突破圆锥曲线，熟悉抛物线焦点弦性质（焦点弦长公式、以焦
点弦为直径的圆与准线相切），理解双曲线渐近线与离心率的关系；关注三次函数，理解其图象特征（对
称中心为拐点），掌握极值点、零点个数的判断方法。限时训练，每道题控制在3~4 分钟，注意多选题
“选全得满分，部分选对得部分分”的得分策略，不确定的选项谨慎选择。
考点1 统计与概率
1. （2026·浙江宁波·二模）下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据1，1，2，3，5，8，
，
的第
百分位数为4
B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1
C．根据分类变量
与
的成对样本数据，计算得到
，根据小概率值
的
独立性检
验：
，可判断
与
有关联，此推断犯错误的概率不超过
D．若随机变量
服从正态分布
，且
，则
【答案】BD
【详解】选项A：第
百分位数位置为
，故取5，
第
百分位数是第5 个数5，故A 错误；
选项B：样本相关系数的绝对值越接近1，代表两个随机变量的线性相关程度越强，故B 正确；
选项C：独立性检验中
，在
的显著水平下，
无法判断
与
有关联，故C 错误；
选项D：正态分布
关于均值
对称，
，
已知
，则
，
由对称性可知
，
，故D 正确．
2. （2026·湖北襄阳·一模）下列说法正确的有（ ）
A．若事件A 与事件B 相互独立，
，
，则
B．若样本数据
，
，
，
的方差为4，则数据
，
，
，
的方差为8
C．一个盒子中有3 个黑球，2 个白球，1 个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有
一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D．1，2，3，
，2024，2025，2026 这2026 个数的上四分位数是507
【答案】AC
【分析】运用独立事件概率公式、方差性质、互斥事件定义和百分位数计算方法，来判断各说法的正确性.
【详解】选项A：事件
与
相互独立，则
，
又
，
，则
，选项A 正确；
选项B：设原数据的方差为
，新数据为
，
因为
（
为常数），
则
，选项B 错误；
选项C：记“至少有一个红球”为事件
，“两个球颜色相同”为事件
：
事件
的样本点：(红,黑)、(红,白)、(黑,红)、(白,红)；
事件
的样本点：(黑,黑)、(白,白)；
事件
与
无公共样本点，不可能同时发生，故
与
互斥，选项C 正确；
选项D：对于
个按从小到大排列的数据，上四分位数的位置为：
，
根据百分位数定义，位置为小数时，取第
个数作为上四分位数，而非
，因此选项D 错
误.
3. （2026·湖南长沙·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23 的第70 百分位数为23
B．若一组样本数据
的方差
，则这组样本数据
的总和为60
C．若随机变量
服从二项分布
，则
D．若随机变量
服从正态分布
，且
，则
【答案】BCD
【分析】对于A，根据百分位数的求解步骤求解；对于B，由方差可得这组数的均值，据此得到总和即可；
对于C，根据二项分布求出
，再利用方差的线性关系
计算即可；对于D，根据正
态分布的对称性计算概率即可．
【详解】对于A，样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23 共10 个数，
从小到大排列为12，13，15，18，19，21，23，24，26，27，
由于
，故第70 百分位数为第7 和第8 个数的平均数，
即
，故A 错误；
对于B，由方差的公式可知，这组样本数据的平均数是6，这组样本数据的总和为
，故B 正确；
对于C，易得
，则
，故C 正确；
对于D，若
服从正态分布
，
则
，故D 正确．
4. （2026·辽宁辽阳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X 服从正态分布
，则
B．若随机变量X 服从二项分布
，则
，
C．线性回归直线
不一定过样本中心点
D．设两个随机变量的线性相关系数为r，若
越接近于1，则这两个随机变量的线性相关性越强
【答案】ABD
【分析】根据正态分布性质可判断选项A，根据二项分布的特征可判断选项B，根据回归直线性质可判断
选项C，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项D.
【详解】对于A，对于
，根据正态分布的图像知对称轴为
，
所以可得
，故A 正确；
对于B，
的期望和方差公式就是
，
，故B 正确；
对于C，线性回归直线
一定过样本中心点
，故C 错误；
对于D，若
越接近，两个随机变量的线性相关性越强，
越接近
，线性相关性越弱，故D 正确.
5. （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）一组数据
的极差为4，平均数为3，方差为2，若
，则（ ）
A．
的第80 百分位数为
B．
的极差为8
C．
的平均数为7
D．
的方差为4
【答案】BC
【详解】数据
的大小不确定，所以第80 百分位数不能确定，故A 错误；
数据
的极差为4，即
.
由
，可知
，
，
，故B 正确；
由数据
的平均数为3，
，得数据
的平均数为
，故C 正确；
由数据
的方差为
，由
，得数据
,
的方差为
，
故D 错误.
6. （2026·浙江·模拟预测）已知随机变量
，且
，
（
），
则（ ）
A．
B．
C．
D．
（
）
【答案】BC
【分析】利用正态分布曲线的对称性逐一判断即可.
【详解】对于A，因为
，所以
，故A 错误；
对于B，因为
，则
，则
，即
，故B 正确；
对于C，因为
，而
，
故
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，又
，所以
，故D 错
误.
故选：BC.
7. （2026·陕西咸阳·二模）某种水果成熟后重量为200g 左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机
取出10 个水果，称得重量如下：206，200，198，205，200，200，202，190，192，210（单位：g），重
量在
内的水果为优质水果，则（ ）
A．这10 个数据的极差小于10
B．这10 个数据的中位数与众数相等
C．从这10 个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变小
D．估计这块水果园中优质水果占60%
【答案】BCD
【详解】把这组数据从小到大排列为190，192，198，200，200，200，202，205，206，210，则这组数据
的极差为20，A 选项错误；
众数与中位数都是200，B 选项正确；
去掉最重的与最轻的，数据在区间
内，差距小了，方差变小了，C 选项正确；
10 个水果中有6 个重量在
内，优质率为60%，D 选项正确.
8. （2026·四川内江·二模）下列说法正确的有（ ）
A．若事件
，
相互独立，则
B．若事件
，
相互独立，则
C．若随机变量
，则
D．若随机变量
，且
，则
【答案】BC
【详解】对于A，若事件
，
相互独立，
则
，
而
的值不确定，故A 错误；
对于B，若事件
，
相互独立，则
，故B 正确；
对于C，由
，则
，即
，故C 正确；
对于D，由
，则
，而
，
则
，
所以
，故D 错误.
9. （2026·四川成都·二模）任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为
，若事件
，事件
，事件
满足
，下列结
论中正确的是（ ）
A．
B．事件
，
，
两两独立
C．当事件
时，
D．当事件
时，满足条件的事件
有3 个
【答案】AC
【分析】根据概率定义和独立性条件，分别计算验证AC 即可，对于B，
，故事件
，
不相互独立，故B 错误，对于D，事件
的样本点包含1 不包含5，所以满足条件的事件
有4 个，故D
错误.
【详解】对于A，由题意得
，故A 正确；
对于B，由题意得
，
，
，
所以事件
，
不相互独立，故B 错误；
对于C，当
时，
，
解得
，故C 正确；
对于D，当
时，
，
解得
，即事件
包含4 个样本点，
并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6 中选3 个，
所以满足条件的事件
分别是
，
共4 个，故D 错误.
10. （2026·甘肃兰州·一模）某校高一年级开设了文学社科创社体育社艺术社辩论社五类社团，每名同
､
､
､
､
学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育
社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽
取20 名学生做问卷调查.
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．艺术社的学生人数有120 人
B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5 人
C．从参加社团的学生中任选1 人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为
D．调查结果显示文学社科创社的满意率均为
､
0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意
率为0.81
【答案】ABD
【详解】对于A，因为文学社有60 人占比为
，所以五类社团总人数为
人，
辩论社有90 人，占比应为
，所以体育社和艺术社共占比为
，
又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为
，
可知艺术社的学生人数有
人，即A 正确；
对于B，文学社和辩论社共
人，分层抽样比为
，
因此文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有
人，即B 正确；
对于C，根据已有分析可知该学生不是文学社成员的概率为
，又因为是科创社成员的概率为
，
因此在该学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为
，即C 错误；
对于D，依题意可知社团活动总体满意率为
，即D 正确.
11. （2026·宁夏银川·一模）某市气象部门对本市的温度
（单位：℃）与相对湿度
进行研究，记录了
五组数据如表所示：
温度
28
25
22
19
16
相对湿度
41
48
62
65
70
已知
与
线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为
，则（ ）
A．
与
负相关
B．经验回归直线一定经过点
C．当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2%
D．样本相关系数
【答案】AC
【详解】A.由表格可知，温度
越小，
越大，所以
与
负相关，故A 正确；
B.
，
，所以经验回归直线一定经过点
，
故B 错误；
C.
，得
，所以
，当
时，
，
所以当温度为
时，相对湿度大约为
，故C 正确；
D.因为
与
负相关，所以样本相关系数
，故D 错误.
12. （2026·四川绵阳·模拟预测）设
，
分别为随机事件
的对立事件，以下概率均不为零，则下列结
论正确的有（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据全概率公式、条件概率公式等知识逐项计算判断即可.
【详解】对于A，由全概率公式得，
，故A 正确；
对于B，
，所以
，所以
，
相互独立，
那么
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
表示在
发生的条件下
发生的概率，
表示在
发生的条件下
发生的概率，
两者之和不一定为1，例如：设
为“掷骰子点数为偶数”，
为“掷骰子点数为奇数”，
为“掷骰子点数大于2”，则
，
，和为
，D 错误.
13. （2026·重庆·一模）（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是
否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：
疗法
疗效
未治愈
治愈
甲
15
52
乙
6
63
附常用小概率值及其相应的临界值表为：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
计算得
．则下列说法正确的是：（ ）
A．以频率估计概率，有
B．以频率估计概率，有
C．若取
，可以认为疗效与疗法独立
D．若取
，可以认为疗效与疗法独立
【答案】ABD
【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解
判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD.
【详解】由题设求出表格
疗法
疗效
总数
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
总数
21
115
136
以频率估计概率，有
，故A 正确；
以频率估计概率，有
，故B 正确；
零假设
：认为疗效与疗法独立，由题
且
，
所以若取小概率值
，则零假设
不成立，即不可以认为疗效与疗法独立；
若取小概率值
，则没有充分的证据推翻零假设
，故可以认为疗效与疗法独立，故C 错误，D 正
确.
故选：ABD
14. （2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，这是某校写作兴趣小组25 名同学暑假的课外阅读量（单位：
本）的折线统计图，则（ ）
A．这25 名同学暑假的课外阅读量的众数是4 本
B．这25 名同学暑假的课外阅读量的中位数是5 本
C．这25 名同学暑假的课外阅读量的平均数是4.4 本
D．这25 名同学暑假的课外阅读量的第80 百分位数是6 本
【答案】BCD
【详解】由图可得课外阅读量为本的同学有人，为
本的同学有
人，为本的同学有
人，
为
本的同学有
人，为本的同学有
人，为
本的同学有人，为
本的同学有人，
对于A，这25 名同学暑假的课外阅读量的众数是5 本，A 错误；
对于B，将课外阅读量按照从小到大排列，第
个数为，中位数是5 本，B 正确；
对于C，平均数是
本，C 正确；
对于D，
，将课外阅读量按照从小到大排列，第
个数为
，第
个数为
，
所以这25 名同学暑假的课外阅读量的第80 百分位数是6 本，D 正确.
15. （2026·湖北孝感·二模）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的
，
两家共享自助洗车店洗车．
已知小张第一次去
，
两家洗车店洗车的概率分别为
和
，如果小张第一次去
洗车店，那么第二次
去
洗车店的概率为
；如果小张第一次去
洗车店，那么第二次去
洗车店的概率为
，则下列结论正
确的是（ ）
A．小张第一次去
洗车店，第二次也去
洗车店的概率为
B．小张第二次去
洗车店的概率比第二次去
洗车店的概率小
C．若小张第二次去了
洗车店，则他第一次去
洗车店的概率为
D．若小张第二次去了
洗车店，则他第一次去
洗车店的概率为
【答案】BCD
【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD.
【详解】记小张第次去
洗车店为
，第次去
洗车店为
，
则
，
，
，
，
，
.
选项A：
，故A 错误.
选项B：
，
，
所以小张第二次去
洗车店的概率比第二次去
洗车店的概率小，故B 正确.
选项C：
，故C 正确.
选项D：
，故D 正确.
考点2 立体几何
1. （2026·江西九江·一模）如图，正方体
中，点
分别为
的中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项
一一判断，得到答案.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则
，
对于A，
，显然
与
没有倍数关系，
故
不平行，即
与
不平行，故A 错误；
对于B，平面
的一个法向量为
，
，故
，又
平面
，故
平面
，故B 正确；
对于C，因
，
，
则
，所以
，故C 正确；
对于D，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，故可取
，
因
，则
与平行，故
平面
，故D 正确.
故选：BCD
2. （2026·广东深圳·一模）在正三棱台
中，
为
的中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
【答案】BD
【详解】如图，将三棱台补足为三棱锥
，
对于A，由于
，而
与
相交，则
与
相交，故A 错误；
对于B，由于平面
平面
，且
平面
，则
平面
，故B 正确；
对于C，由于
，且
，则
，又因为在平面
内
，所以
与
不垂直，故C 错误；
对于D，由于
，
，且
，
，
平面
，则
平面
，故
D 正确.
3. （2026·河南·模拟预测）如图，在四棱锥
中，四边形
为矩形，
平面
，
，
，
分别是
，
，
的中点，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
【答案】ACD
【分析】利用线面平行的判定定理证明
平面
，判断A 的真假；假设
平面
，可得
，根据
未必成立，可得假设错误，进而判断B 时错误的；利用面面平行的判定定理证
明平面
平面
，判断C 的真假；利用面面垂直的判定定理证明平面
平面
，判断D
的真假.
【详解】对A：因为
分别为
，
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.故A 正确；
对B：假设
平面
成立，因为
平面
，所以
，因为四边形
为矩形，所
以
未必成立，所以假设错误.故B 错误；
对C：因为
分别为
，
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
，
平面
，且
，所以平面
平面
.故C 正确；
对D：因为
平面
，
平面
，所以
；
又因为四边形
为矩形，所以
，
因为
，
平面
，且
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，故D 正确.
4. （2026·江西南昌·一模）在正三棱柱
中，
，
，
，
分别为
，
，
的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
平面
B．平面
平面
C．
D．
平面
【答案】BC
【分析】设
，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，可求出平面
的法向量，根据数量积公
式，可判断A、C 的正误；根据向量平行的坐标关系，可判断D 的正误；根据面面垂直的判定定理，可判
断B 的正误.
【详解】取AC 中点O，
中点
，连接
，设
，
因为正三棱柱
，所以
两两垂直，
以O 为原点，
为
轴正方向建系，如图所示，
则
，
所以
，
选项A：设平面
的法向量
，
则
，即
，
令
，则
，即
，
则
，所以
与平面
不平行，故A 错误；
选项B：连接
，因为正三角形ABC，所以
，
又正三棱柱
，所以
平面ABC，
因为
平面ABC，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，故B 正确；
选项C：
，所以
，则
，故C 正确；
选项D：因为
，所以
与
不平行，
所以
与平面
不垂直，故D 错误.
5. （25-26 高三下·河南·开学考试）如图，矩形
是圆柱
的轴截面，
，
为
的
中点，
为
的中点，则（ ）
A．圆柱
的侧面积为
B．三棱锥
的体积为
C．圆柱
的外接球的表面积为
D．
平面
【答案】BCD
【分析】代入圆柱侧面积的公式，判断A，将三棱锥
的体积转化为求三棱锥
的体积，判
断B，首先确定
是圆柱外接球的直径，根据勾股定理求半径，再代入球的表面积公式，判断C，构造平
行四边形，得到线线平行，再结合线面平行的判断定理，即可判断D.
【详解】对于A，圆柱
的侧面积
，故A 错误；
对于B，由题意得
，且
所以
，故B 正确；
对于C，取
的中点
，连接
，易求得
，
即圆柱
的外接球的半径为
，故该球的表面积为
，故C 正确；
对于D，取
的中点
．连接
．因为
为
的中点，所以
，
又
，所以
，所以四边形
为平行四边形，
则
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，故D 正确．
故选：BCD．
，
6. （2026·山东德州·一模）已知正方体
的棱长为
分别是棱
的中点，则
（ ）
A．异面直线
与
所成角的大小为
B．直线
与平面
所成角的正弦值为
C．
平面
D．四面体
的体积为
【答案】ACD
【分析】对于异面直线所成角，因为异面直线所成角可通过找平行线转化为共面直线所成角，所以先找与
其中一条直线平行的直线，再计算夹角；对于直线与平面所成角，因为直线与平面所成角是直线与平面中
所有直线所成角中最小的，等于直线与它在平面内的射影所成角，所以先找直线在平面内的射影，再计算
正弦值；对于线面垂直的判断，因为线面垂直的判定定理是直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线垂
直于该平面，所以需验证直线与平面内两条相交直线的垂直关系； 对于四面体体积，因为四面体体积可
利用等体积法转换底面，所以选择易计算面积的底面和对应的高来计算体积.
【详解】对于A，正方体
中，
，
则异面直线
与
所成角即为
与
所成角，即
（或其补角），
而
为等腰直角三角形，故
，故A 正确；
对于B，由于
平面
，故
为
在平面
内的射影，
则直线
与平面
所成角为
，
在
中，
，故
，故B 错误；
对于C，设G 为
的中点，连接
，则
，
而
，故
，
则四边形
为平行四边形，故
；
≌
，则
，
而
，故
，
设
交于H，则
，即
，
则
；又
平面
，
平面
，故
，
又
平面
，故
平面
，故C 正确；
对于D，由于
，（h 为三棱锥
的高，
），
而
，则
，故D 正确.
7. （2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知正六棱锥的底面边长为2，高为3，则该正六棱锥的（ ）
A．侧面积为
B．表面积为
C．体积为
D．外接球的表面积为
【答案】AB
【分析】根据底面边长求出底面积，根据高可求出侧面积，进而可求出表面积，根据外接球的球心在高上，
列方程可求出外接球的半径，进而可求其表面积.
【详解】如图，在正六棱锥
中，取
的中点
，底面的中心
，连接
，
因为底面正六边形的边长为2，则
，所以底面积
，
又高为3，得体积
，故C 错误；
则侧面三角形的高
，侧面积
，
所以表面积
，故A，B 正确；
因为正六棱锥的外接球的球心
在
上，设半径为
，
则
，即
，解得
，
所以正六棱锥的外接球的表面积
，故D 错误.
8. （2026·山东枣庄·一模）在正方体
中，若点
为底面
的中心，则（ ）
A．
平面
B．
C．
与
所成的角为
D．
与平面
所成的角的正切值为
【答案】ABD
【分析】应用空间向量法证明线线垂直、线面平行以及向量法求线线角余弦，向量法求线面角从而确定正
确答案.
【详解】以
为原点建立如图所示空间直角坐标系，设
，
则
，
所以
，又因为
，所以
，B 选项正确；
取
中点
，所以
，所以
，又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，A 选项正确；
设
与
所成的角为
，
，
所以
，所以
与
所成的角为
，C 选项错误；
设平面
的法向量为
，设
与平面
所成的角为
，
则
，所以
，
所以
，所以D 选项正确.
故选：ABD
9. （25-26 高三上·河南漯河·期末）如图，在棱长为
的正方体
中，
为
的中点，
为
上任意一点，
为
上任意两点，且
的长为定值.则下列四个值中必为定值的是（ ）
A．
的面积
B．三棱锥
的体积
C．直线
与平面
所成的角
D．二面角
的大小
【答案】ABD
【分析】根据三角形的面积判断A，根据三棱锥的体积公式判断B，根据线面角的定义判断C，根据二面
角的概念判断D.
【详解】对于A，
的长为定值，且点
到
的距离即为两平行直线
与
之间的距离也为定值，
所以
的面积为定值，故A 符合题意；
对于B，
的面积是定值．(
定长，
到
的距离就是
到
的距离也为定长，即底和高都
是定值），
再根据平面
也就是平面
，既然
和平面
都是固定的，
所以
到平面
的距离是定值，所以三棱锥的高也是定值，于是体积固定．
三棱锥
即三棱锥
的体积是定值，故B 符合题意；
对于C，
到平面
距离是定值（事实上即
到平面
距离），
而
长度在变化中，所以直线
与平面
所成的角不是定值，故C 不符合题意；
对于D，二面角
的平面角即是
二面角的平面角，
而二面角
的两个半平面均是固定平面，显然为定值，故D 符合题意.
故选：ABD.
10. （2026·广东佛山·一模）已知正方体
的棱长为2，
为
的中点，
为
上的动点，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
平面
C．直线
与平面
所成角的正切值为
D．三棱锥
的体积为定值
【答案】AD
【分析】对A，利用
判断；对B，平面
即平面
，由
与平面
关系可判断；对
C，直接找到线面角对应的直角三角形，计算边长得到正切值；对D，由
，分析动点
到平
面
的距离是否为定值，结合
的面积是否为定值判断体积.
【详解】对于A：以
为原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
由题意得
，设
，
向量
，
，
故
，A 正确；
对于B：平面
即平面
，直线
过平面内一点
且
不在平面内，直线
与平面相交，不平
行，B 错误；
对于C：因为
平面
，则
为
在平面
上的射影，
所以
即直线
与平面
所成角，在
中，
（
是中点），
，故
，C 错误；
对于D：
因为
，
平面
，
平面
，故
平面
，
上所有点到平面
的距离恒为正方体棱长
（定值），
因此
为定值，而
，D 正确.
11. （25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）已知正三棱柱
的各棱长均为2，
分别为棱
，
的中点，
为上底面
内一动点（包括边界），则（ ）
A．
B．
平面
C．
平面
D．三棱锥
的体积为定值
【答案】ABD
【分析】利用面面垂直和线面垂直性质定理判断A 选项；建立空间直角坐标系利用向量法判断B、C 选项，
最后利用锥体体积公式判断D 选项.
【详解】对于A，如图所示：
在正三棱柱
中，
平面
平面
，且平面
平面
，
在等边
中，
是棱
的中点，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，故A 正确；
对于B，取
的中点
连接
，在正三棱柱
中，
由四边形
为正方形，且
是棱
的中点，
所以
，又
平面
，所以
平面
，
又
，所以
两两互相垂直，
故以点
为坐标原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
由正三棱柱的各棱长均为2，
所以
，
则
，
设平面
的一个法向量为
，
由
，
令
，则
，所以
，
由
，
所以
，所以
平面
，故B 正确；
对于C，由B 选项知
，
此时
，
所以
不平行于平面
，故C 错误；
对于D，因为
为上底面
内一动点（包括边界），
所以点
到平面
的距离为
即为三棱锥
的高，
所以
为定值，故D 正确.
12. （2026·重庆·一模）如图所示，在棱长为2 的正方体
中，
分别为棱
的中
点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点
到直线
的距离为
C．直线
与直线
所成角的余弦值为
D．直线
与直线
是异面直线
【答案】ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判
断B；利用线线角的向量法求解判断C.
【详解】在棱长为2 的正方体
中，建立如图所示的空间直角坐标系，
点
，
对于A，
，
，则
，A 正确；
对于B，
，点
到直线
的距离为
，B 正确；
对于C，
，直线
与
所成角的余弦值
，C 正
确；
对于D，
，即
，又
直线
，
因此直线
直线
，点
共面，直线
与直线
不是异面直线，D 错误.
13. （2026·湖北黄石·一模）如图，在正方体
中，记各面的对角线为它的面对角线，
为它的体对角线.设
分别为
的中点，则（ ）
A．存在面对角线与平面
平行
B．存在面对角线与平面
垂直
C．存在体对角线与平面
平行
D．存在体对角线与平面
垂直
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，由空间关系的向量求法可得出结论.
【详解】以
为坐标原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系，如下图：
设正方体的棱长为2，则
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
,
所以
，
令
，则
，可得
；
对于A，由
可得
，
因此
，又
平面
，所以
平面
，所以A 正确；
对于B，又
，
则
，
显然以上向量与法向量
均不平行，所以以上面对角线与平面
均不垂直，即B 错误；
对于C，体对角线
，
易知
,
因此不存在体对角线与平面
平行，即C 错误；
对于D，显然
，所以
平面
，即D 正确.
14. （2026·安徽合肥·模拟预测）如图，
为圆锥
的底面圆
的直径，点
是圆
上异于
的动点，
，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥
的侧面积为
B．三棱锥
体积的最大值为
C．
的取值范围是
D．若
，
为线段
上的动点，则
的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用条件求出圆锥的母线长和底面半径，对于A，根据圆锥侧面积公式求结论即可判断，对于
B，先求
的面积的最大值，结合体积公式求体积最大值即可判断，对于C，先求
，确定
的范围，再根据等腰三角形性质和内角和公式求
的范围即可判断，对于D，将
以
为轴旋
转到与
共面的位置，结合平面几何知识求结论即可判断.
【详解】在
中，
，则圆锥的母线长
，半径
，
对于A，圆锥
的侧面积为：
，A 错误；
对于B，当
时，
的面积最大，此时
，
则三棱锥
体积的最大值为：
，B 正确；
对于C，
是等腰三角形，
，又因为
，则
，
依题意，
，而
，因此
，C 正确；
对于D，由
，
，得
，
有
为等腰三角形，将
以
为轴旋转到与
共面的位置，
得到
为等腰三角形，
，
，
，
于是
，
所以
，D 正确．
15. （2026·四川内江·二模）在棱长为
的正方体
中，点
是棱
的中点，点
在正方形
内部（不含边界）运动，若
平面
，则（ ）
A．点
的轨迹经过线段
的中点
B．点
的轨迹长度为
C．三棱锥
的体积为定值
D．球面经过
，
，
，
四点的球的半径最小值为
【答案】ACD
【分析】取
的中点
，连接
，根据条件可得点
的轨迹为线段
（不含端点），即可判断
出A 和B 的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设
，
球心
，半径为
，利用球的性质可得
，即可求解.
【详解】如图，取
的中点
，连接
，
，易知
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
又
是
中点，所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
又
平面
，则
平面
，又点
在正方形
内部（不含边界）运动，且平面
平面
，
所以点
的轨迹为线段
（不含端点）.
对于A，连接
，由正方体的性质易知
与
相交，且交点为
的中点，所以A 正确；
对于B，因为
，所以点
的轨迹长度为
，故B 错误；
对于C，因为
平面
，点
是棱
的中点，
则
，所以C 正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为
，
则
，设
，球心
，半径为
，
由
，得到
，解得
，
，
所以
，又
，且
，所以当
时，
取到最小值，最小值为
，故D
正确.
考点3 圆锥曲线
1. （2026·安徽合肥·一模）已知抛物线
的焦点为
，以
为圆心，
为半径得
到圆
，圆上有一点
．过点
的直线与
交于
两点，与圆
另交于点
，则（ ）
A．
B．当
时，
的横坐标为
C．当
时，
D．
【答案】AC
【分析】写出圆
的方程，利用给定点求出
，设出直线
方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，
即可逐个选项判断．
【详解】抛物线
的焦点为
，圆
方程为
，
对于A，由点
在圆
上，得
，而
，则
，A 正确；
抛物线
的焦点为
，
设直线
方程为
，
由对称性不妨令点
在第一象限，
由
，得
，则
，
对于B，由
，得
，解得
，B 错误；
对于C，由选项B 得点
，直线
斜率
，即
，
则
，而
，因此
，C 正确；
对于D，
，
又
，且圆
的弦
，
因此
不一定小于
，D 错误．
2. （2026·黑龙江·一模）已知抛物线
的焦点为
，
为
上一动点，A 为一定点，则正确的有
（ ）
A．若
，则点P 的坐标为
B．若
，则
的最小值为6
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C 选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出
的表达式，再利用函数导数求最值.
【详解】对于A，因为焦半径
，所以
，代入
，解得
，
所以
，故A 错误；
对于B，将横坐标5 代入抛物线方程中，得
，所以点A 在抛物线内，
所以
，当且仅当
与
轴平行时取等，故B 正确；
对于C，设
，则
，
所以
，
所以
的最小值为
，C 正确；
对于D，设点M 是x 轴上点A 右侧一点，不妨设P 位于第一象限，
如图所示：
则
，
令
，分母为
，则
，
当
，
，所以
在
上单调递减；
当
，
，所以
在
上单调递增；
所以当
时，
，
此时
，由图知
，所以
，故D 正确.
3. （2026·山西运城·一模）已知抛物线
：
的焦点为
，直线：
与
轴交于点
，
是抛
物线
上的动点，以
为圆心的圆
经过点
，
为坐标原点，则（ ）
A．圆
与直线相切
B．圆
的面积的最小值是
C．
的最大值是
D．存在点
，使得
【答案】ACD
【分析】对AB 直接用抛物线的定义判断可得，对CD 用抛物线的定义及距离公式即可得.
【详解】如图：过
点作
于
点，设
，则
，
.
对于A，由抛物线的定义可知，圆心
到直线的距离等于半径
，
所以圆
与直线相切，A 正确；
对于B，因为圆
经过点
，所以圆的半径
，
所以圆
的面积的最小值是
，B 错误；
对于C，因为
，所以
，
所以
，
令
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以C 正确；
对于D，
，
，
化简得
，得
，即
，再代入
得
，所以存在
或
使得
成立，D 正确.
4. （2026·山西朔州·一模）已知抛物线
：
的焦点为
，点
在
上，且
，
则（ ）
A．
B．
C．直线
与
轴有公共点
D．
的面积为4
【答案】AD
【分析】根据抛物线的定义求出
及抛物线方程，再逐项分析判断即可.
【详解】抛物线
的焦点为
，准线为
.
选项A：由抛物线的定义知，
，解得
，故A 正确.
选项B：由A 知，
.
因为点
在
上，所以
，解得
，故B 错误.
选项C：焦点
，
，所以直线
是垂直于
轴的直线
，与
轴没有公共点，故C 错误.
选项D：
，
，
因为
轴，所以
，故D 正确.
5. （2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，点
在抛物线C 上，若
，O 为坐标原点，则（ ）
A．
B．
C．
D．点F 到直线OM 的距离为
【答案】BC
【详解】抛物线
的焦点
，准线
，
对于A，由抛物线的定义，得
，则
，A 错误；
对于B，由点
在抛物线C 上，得
，则
，B 正确；
对于C，
，C 正确；
对于D，设点F 到直线OM 的距离为d，则
，
，D 错误.
6. （2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知点
在圆
：
上，
，
为坐标原点，动点
满
足：在
中，
.则（ ）
A．
的轨迹方程为：
B．
的最小值为2
C．
的最小值是
D．
的最大值为
【答案】AC
【分析】根据题意作出示意图，设点
坐标，然后表示出
，即可建立方程，求得
的轨迹方程，
判断A；当
为
时，
时取最小值，即可判断B；由抛物线的性质化简
结合基本不等式求得
结果判断C；设点
在一象限，化简
，由基本不等式求得
的最值，从而得到角
的范围，判断D；
【详解】由题意可知
，设
，过点P 作
轴于点N，如图：
对于A，则
，
∴
，即
，∴
，A 选项正确；
对于B，
，
，
∴当
点为
时，
的最小值为1，B 选项不正确；
对于C，
，
当且仅当
时，
的最小值是
，C 选项正确；
对于D，由对称性可假设点P 在一象限，则
，
∵
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
∴
，∴
最大值为
，
当AQ 与圆F 相切时，
，∴
的最大值
，
∴
，D 选项错误.
7. （2026·山东济宁·一模）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过
且斜率为
的直线与
的右支交于点
，则（ ）
A．
的离心率为
B．
C．
的最小值为-9
D．若以实轴为直径的圆与相切，则
【答案】BCD
【分析】对于A 选项，通过离心率的定义求解即可；对于B 选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直
线与双曲线交于右支求解即可；对于C 选项，设
，分别表达出
，
，再由
在双曲线上求解
即可；对于D 选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解
，再由直线与双曲线联立，由余弦
定理求解即可.
【详解】对于A 选项，由双曲线方程为
，可得
，
，所以
，所以
，
，所以离心率为
，故A 错误；
对于B 选项，
，设直线：
，直线与双曲线联立可得，
，
，
，
，
，因为直线与双曲线右支交于一点，
所以
，解得
，故B 正确；
对于C 选项，设
，
，
，所以
，
由
在双曲线上可得
，代入可得
，
，
当
时，取得最小值，可得
，故C 正确；
对于D 选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点
，半径
，直线与圆相切，
由点到直线的距离公式，
，联立求解
坐标，
将
代入双曲线方程，可得
，解得
，
，
所以
，
，
，
，故D 正确.
8. （2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆
，
，
分别是椭圆C 的左右焦点，O 是原点，P
是椭圆C 上任意一点，下列说法正确的有（ ）
A．
的周长是
B．
时，
的面积是
C．
的最大值是2
D．过P 作椭圆C 的切线与x 轴和y 轴分别交于A，B 两点，则
面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，先得到
，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得
，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设
，易得切线
方程为
，进而得到
，由
结合基本不等式可得
，进而求
解判断即可.
【详解】对于A，由椭圆
知椭圆焦点在
轴上，且
，
则
的周长是
，故A 正确；
对于B，由椭圆的定义得
，
，
由余弦定理得，
，
则
，即
，则
，
所以
的面积为
，故B 错误；
对于C，由
，则
，
当且仅当
时等号成立，故C 正确；
对于D，先证明：椭圆
上的一点
处的切线方程为
.
联立
，得
，
点
在椭圆上，
，
，即
，
， 得
，故直线和椭圆仅有一个公共点，
则椭圆
上的一点
处的切线方程为
.
设
，由题意知
的切线斜率存在，则切线方程为
，
令
，得
，令
，得
，即
，
又
，则
，
即
，当且仅当
时等号成立，
则
面积为
，
即
的面积的最小值为
，故D 正确.
9. （2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆
与双曲线
的左、右两
焦点
，
重合，则下列正确的有（ ）
A．当
时，M 的虚轴长为
B．当
时，C 与M 的离心率之积为
C．当
时，过
作与x 轴垂直的直线与C 交于A，B 两点，则
D．当
时，若点P 为C 与M 的其中一个交点，则
的面积为
【答案】BC
【分析】由题意可得
，对于AB：可知
，进而可得
的虚轴长以及椭圆和双曲线的离心率；
对于CD：可知
，进而可得椭圆通径，联立方程可得
，即可得面积.
【详解】由题意可得
，即得
，
对于选项AB：当
时，则
，所以
的虚轴长为
，故A 错误；
且椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，
所以
与
的离心率之积为
，故B 正确；
对于选项CD：当
时，则
，
可得椭圆
与双曲线
：
，且
，
所以
，
，故C 正确；
联立方程
，消
整理得
，
所以
的面积
，故D 错误.
10. （2026·辽宁抚顺·一模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，过
点
作垂直于
的直线交
于
两点，则（ ）
A．
的离心率为
B．
的短轴长为
C．
为等边三角形
D．
为等边三角形
【答案】AC
【分析】先根据椭圆方程应用焦点坐标列式得出
，进而求出离心率及短轴长，判断A，B，C，最后
结合椭圆定义求出边长判断D.
【详解】由
的左、右焦点分别为
，得
1，解得
，
则
，所以C 的离心率
，短轴长为
，
又因为
，所以
为等边三角形，故选项A 正确，选项B 错误，选项C 正确；
由题意设
，则
，解得
，
所以
，又
，
所以
，即
不是等边三角形，故选项D 错误.
考点4 函数与导数
1. （25-26 高三上·河北·期末）已知函数
，若曲线
在点
处的切线方
程为
，则（ ）
A．
B．
C．
的极小值点为1
D．
的极大值点为
【答案】ACD
【分析】根据导数的几何意义求出
，结合
即可求出
可判断AB，通过导数求出函数
的单调性，结合极值点的定义可判断CD.
【详解】因为
，切线斜率为
，所以
，
由题意得，切点
在切线上，故
，
则
，
联立
，解得
，故A 正确，B 错误；
，
当
时，
，
在
单调递减，
当
或
时，
，
在
单调递增，
所以
的极小值点为1，极大值点为
，故CD 均正确，
故选：ACD.
2. （2026·陕西渭南·一模）设函数
，则（ ）
A．点
是
图像的对称中心
B．当
时，函数
有三个零点
C．当
时，直线
不是曲线
的切线
D．若
有三个不同的零点
，则
【答案】ABD
【分析】对于A 计算
即可判断，对于B 由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断，
求切线方程即可判断C，结合零点的定义代入计算，即可判断D，
【详解】对于A：由
，
所以
是
图像的对称中心，故A 正确；
对于B：当
时，
，所以
，
令
，得
或
，由
有：
或
，由
有：
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
又
，所以函数
有三个零点，故B 正确；
对于C：当
时，
，所以
，由
，
，
所以
在
处的切线方程为：
，故C 错误；
对于D：设
的三个零点为
，
所以
，
对比
项的系数有：
，故D 正确；
故选：ABD.
3. （2026·河北·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
为
的导函数
的极大值点
C．
是函数
的极值点
D．函数
的零点个数为1
【答案】BD
【分析】利用函数奇偶性判断选项A，对函数
求导得
，令
，对
求导，利用函
数单调性分析即可得出结论；通过函数
在
上单调性分析得出选项C；利用函数零点存在
性定理以及函数单调性判断即可得出选项D.
【详解】由函数
的定义域为
关于原点对称，
且
，
所以函数
不是偶函数，故A 选项不正确；
由
，
令
，
则
，
令
，
因为
，所以
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
为
的极大值点，
即
为
的导函数
的极大值点，故B 选项正确；
由B 选项可知当
时，
，
即当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
不是函数
的极值点，故C 选项不正确；
由函数
在
上单调递减，
且
，
，
所以函数
在
上只有1 个零点，
故D 选项正确；
故选：BD.
4. （2026·江西·一模）已知函数
有两个极值点
.设
，
点
为曲线
上一点，则（ ）
A．
B．若直线
的倾斜角为
，则
C．
有最值
D．若存在
使得
，则
【答案】BD
【分析】A 将问题转化为
有两个零点求解；B 求出
，再根据斜率公式计算；C 结合B
选项求出
，结合函数的单调性即可；D 求出线段
的垂直平分线的方程，将问题转化为
在区间
有零点，利用导数求出最大值即可.
【详解】由题意知，
有两个零点，则
，则
，故A 错误；
由
得
或
；
得
，
则
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
，
则
，
因为直线
的倾斜角为
，所以
，得
，则B 正确；
由B 选项可知，直线
的斜率为
，
则
，
易知函数
在
单调递减，
当
时，
；当
时，
，
故
的值域为
，无最值，因此
也无最值，则C 错误；
因为
，所以
，
，
则线段
的中点为
，
因为直线
的斜率为
，所以线段
的垂直平分线的斜率为
，
故线段
的垂直平分线的方程为
，
若存在
使得
，则
与
有交点，
因为
，所以
的定义域为
，
则
在区间
有零点，
得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减，
所以
，即
，
因为
，所以解得
，则D 正确.
故选：BD.
5. （2026·安徽宿州·一模）设函数
，则（ ）
A．
在
处的切线方程为
B．
是
的极大值点
C．当
时，
D．
【答案】AD
【分析】对于A 选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C 选项求出函
数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解.
【详解】对于A，
，在
处的切线方程为
，化简可
得
，故A 选项正确；
对于B，
，令
，解得：
,
令
，解得：
或
,
令
，解得：
,
所以函数
在
和
递增，在
递减，
则
是
的极小值点，故B 选项错误；
对于C，由于函数
在
和
递增，在
递减，故当
时，最小值为
，最
大值为
，所以
，故C 选项错误：
对于D 选项，由于
，D 选项正确.
故选：AD
6. （2026·浙江·模拟预测）已知
，则下列正确的是（ ）
A．直线
为
的切线
B．若
，则
C．若
在
上单调递增，则
D．设
为曲线
在
处的两条切线，若
，则
【答案】ACD
【分析】根据导数的几何意义可求得
处切线为
得到A 正确；通过举反例证明B 错误；根据导
数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C 正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，
找到相应等式即可求得D 正确.
【详解】已知
，求导得
选项A：当
时，
，且
，因此
处切线斜率为0，切线方程为
，
故直线
一定是
的切线，故A 正确；
选项B：当
时，
，故 B 错误；
选项C：若
在
单调递增，则
在
恒成立，当
时，
，
因此需要
对所有
恒成立，即
，解得
，即
，故C 正确；
选项D：求导得：
，切线
等价于
，
整理得：
，
因为
，两边除以
得
，
即
，故D 正确.
7. （2026·福建福州·模拟预测）设函数
，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数
是奇函数
B．
在区间
上单调递增
C．直线
，
与曲线
的公共点个数不相等
D．斜率为
的直线与曲线
有且仅有一个公共点
【答案】ACD
【分析】A 选项运用奇函数的定义进行运算判断即可；B 选项根据函数的导函数的正负性进行判断即可；
C 选项根据函数的单调性，结合B 的结论进行判断即可；D 选项根据函数的导函数解析式，结合配方法进
行判断即可.
【详解】对于A，
，
令
，函数定义域为R，
因为
，
所以函数
是奇函数，所以A 选项正确；
对于B，
，
当
时，
单调递减，所以B 选项不正确；
对于C，因为
，
所以当
时，
单调递减，
当
，或
时，
单调递增，
因为
，当
时，
，
当
时，
，
所以直线
，
与曲线
的公共点个数分别为和
，
所以C 选项正确；
对于D，设斜率为-12 的直线方程为
，
联立
，消去
得
，
即
，
令
，
，
当且仅当
时取等号，所以
在R 上单调递增，
当
时，
；当
时，
，
根据单调函数的性质，
与
轴有且仅有一个交点，
所以斜率为
的直线与曲线
有且仅有一个公共点，所以D 选项正确.
8. （2026·河北唐山·一模）若函数
与函数
的图象关于y 轴对称，则（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
为偶函数
C．
与
有相同的极值点
D．对任意的
，都有
【答案】ABD
【分析】利用对称性求出
，求出零点判断A；确定奇偶性判断B；求出极值点判断C；借助单调性及
偶函数性质推理判断D.
【详解】由函数
与函数
的图象关于y 轴对称，得
，
对于A，由
，得
，由
，得
，则
与
有相同的零点，A 正确；
对于B，
，则
，
为偶函数，B 正确；
对于C，由
，求导得
，当
时，
，当
，
，
函数
有唯一极值点
，由
，求导得
，当
时，
，
当
，
，函数
有唯一极值点，C 错误；
对于D，令
，函数
都是
上的增函数，
则
是
上的增函数，当
时，
，则
，
由
为偶函数，得当
时，
，因此
，都有
，D 正确.
9. （25-26 高三下·安徽·月考）设函数
，则（ ）
A．曲线
切线斜率的最小值为
B．
的图象关于点
对称
C．
是
的充要条件
D．
是
的充要条件
【答案】AD
【分析】对原函数求导，结合导数的几何意义及二次函数的性质即可判断选项A；根据函数的对称性即可
判断选项B；分别求出
，
，结合充分条件、必要条件、充要条件的概念即可判断选项
C、D.
【详解】对于A，由题意，得
，
根据导数的几何意义可知，切线斜率的最小值为
，故A 正确；
对于B，若
的图象关于点
对称，则
.
又
，所以
的图象不关于点
对称（关于点
对称），故B 错误；
对于C，
，若
，即
，
所以
，解得
且
.
所以
的解集为
.
因此
是
的充分不必要条件，故C 错误；
对于D，
，若
，即
，
所以
，解得
，所以
的解集为
.
因此
是
的充要条件，故D 正确.
10. （25-26 高三上·云南普洱·期末）已知函数
，则（ ）
A．函数
在
上单调递减
B．曲线
在点
处的切线方程为
C．
恒成立
D．
恒成立
【答案】BCD
【分析】利用指数和对数的运算化简
，再利用求导判断单调性，利用求导来求切线斜率，
利用导数来证明不等式即可作出选项判断.
【详解】由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，故A 错误；
由
，
,
可得
在点
处的切线方程为
，故B 正确；
由
，
构造
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
即
，故
恒成立，故C 正确；
由
，求导得
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，即
，则
，
当
时,上式两边取对数可得:
，
则由
，可知
恒成立，故D 正确.
故选：BCD
考点5 三角函数
1. （2026·广东·一模）下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递减的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据选项中的函数，利用三角函数的周期公式和单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】对于A，因函数
在
上单调递减，故
在区间
上单调递增，故A 错误；
对于B，函数
的最小正周期为
，且在
上单调递减，故B 正确；
对于C，函数
的最小正周期为
，故C 错误；
对于D，因函数
的最小正周期为
，则函数
的最小正周期为
，
当
时，
，函数
在
上单调递减且函数值为正，
故函数
在
上单调递减，即D 正确.
2. （2026·辽宁辽阳·一模）已知函数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
的最小值为
【答案】AD
【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A 选项；利用余弦型函数的单调性可判断B 选项；根据余弦型
函数的最值可得出关于
、
的表达式，进而可得出
的表达式，可判断CD 选项.
【详解】对于A，函数
的最小正周期为
，故对
，
，A 对；
对于B，当
时，
，故函数
在
上不单调，B 错；
对于C 选项，若
，则
或
，
若
，则
，
将两式相减，得
，可得
，
此时
的最小值为
；
若
，则
，
将两式相减，得
，可得
，
此时
的最小值为
，
综上所述，
的最小值为
，C 错；
对于D，若
，则
，
，
所以
，
将两式相减，得
，
所以
，
故
的最小值为
，D 对.
3. （2026·江苏·一模）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的最小正周期为
C．
在区间
上单调递增
D．
的图象关于点
对称
【答案】BCD
【分析】利用奇偶性的定义，举反例可判断A；利用周期公式可判断B；利用复合函数的单调性法则可判
断C；利用三角函数对称中心的求法可判断D.
【详解】函数
可化为
，据此分析各选项：
A：取
，则：
，
，
由于
，因此
不是偶函数，A 选项错误；
B：正弦型函数的最小正周期为
，B 选项正确；
C：当
时，令
，
，
由于
在
上单调递增，
且
在
上单调递增，故C 选项正确；
D：令
，解得
，
当
时，
，即
的一个对称中心为
，故D 选项正确.
4. （2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数
的图象如图所示，则下列说法中正
确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象
D．若方程
在
上有2 个不相等的实数根，则
的取值范围是
【答案】BC
【分析】根据图象可确定
，判断A 的真假；利用
可验证B 的真假；利用函数的平移变换结合
诱导公式，可判断C 的真假；利用换元法，结合函数图象可求
的取值范围，判断D 的真假.
【详解】由题意：
，
，
又
，所以
，
，故A 错误；
对B：因为
，所以
，所以函数
的图象关于点
对称，故B 正确；
对C：将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得：
，故C 正确；
对D：
，当
时，
.
设
，
，若要
在
上有两个不相等的实数根，
由下图可知：
，故D 错误.
5. （2026·河北邯郸·一模）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
的最小正周期为
C．
在
上单调递增
D．
的值域为
【答案】AC
【分析】利用奇偶性的定义判断A，由三角恒等变换化简函数式为
，结合正切函数的性质判
断B、C，特殊值法说明D 即可.
【详解】由
，得
，则
的定义域关于原点对称，
且
，所以
是奇函数，A 正确．
由
，
其最小正周期
，且在
上单调递增，B 不正确，C 正确．
由
，可得
，则
，D 不正确．
6. （2026·山东德州·一模）函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．函数
在区间
上单调递增
D．若
在区间
上恰有一个最大值2 和一个最小值
，则实数
的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据周期以及最值可得
，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求
解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D.
【详解】由图可得
，函数的最小正周期
，又
，所以
，
则
，由
，得
，
，
解得
，
，又
，所以
，故A 正确；
由上分析，得故
，因为
，
故函数
的图象关于点
对称，故B 正确；
令
，
，解得
，
，
故函数
的单调递增区间为
，
令
，
，解得
，
，
故函数
的单调递减区间为
，
，
则函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，故C 错误；
当
时，则
，
要使
在区间
上恰有一个最大值2 和一个最小值
，
需使
，解得
，故D 正确.
故选：ABD.
7. （2026·湖北黄石·一模）已知函数
，则下列命题正确的有（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的最大值是2
C．若实数
使得方程
在
上恰好有三个实数解
，则
D．
是函数
的单调递减区间
【答案】BC
【分析】首先化简函数，分别求函数的单调性，对称性及值域，选项C 将函数数形结合，转化为交点问题.
【详解】
若函数图象关于点
对称，则
.但是
，所以A 错误；
因为
的最大值为1，所以
的最大值为
，所以B 正确；
方程
在
上恰好有三个实数解，即
在
有三个解，
此时
，对应的三个解为：
，则
，所以C 正确；
求
的单调递减区间：
，解得
，所以D 错
误.
8. （2026·河南开封·模拟预测）对于函数
和函数
，则下列正确的有（ ）
A．
与
有相同的最小正周期
B．
与
有相同的零点
C．
在区间
上单调递增
D．
与
的图象有相同的对称轴
【答案】ABD
【分析】根据正弦函数和正切函数的图像性质即可求解.
【详解】对于A 选项，函数
的最小正周期为
，正弦函数加绝对值后，最小正周期变为原来
的
，所以
的最小正周期为
；
的最小正周期为
，正切函数加绝对值后，最小正周期不变，所以
的最小正周期为
，故
A 正确；
对于B 选项，令
得
，解得
，
令
得
，解得
，故B 正确；
对于C 选项，取
，则
，取
，则
，因为
，
，所以函数
一定不是单调递增，故C 错误；
对于D 选项，函数
的对称轴为
，解得
，
函数
的对称轴为
，解得
，故D 正确.
综上所述，选项ABD 都正确.
9. （2026·陕西咸阳·二模）已知函数
，
为
的一个零点，
的图象关于点
对称，且
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上单调递增
【答案】AC
【分析】先由函数的性质可得
，
，进而可得
，从而判断各个选项可得.
【详解】因为
的一个零点为
，
的图象关于点
对称，且
在
上单调递增，
所以
，所以
，A 正确；
由
及
，得
，B 错误；
所以
，C 正确；
因为
时，
不存在，因为
，
所以函数
在
上单调递增，故D 错误．
10. （2026·山西朔州·一模）已知
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值域为
D．当
在
有2 个不同实根
时，
的取值范围是
【答案】AD
【分析】A 选项，根据奇偶性的定义和诱导公式判断；B 选项，根据对称性的性质判断；C 选项，分
和
两种情况讨论；D 选项，结
合图象得到
的范围和
，然后判断即可.
【详解】
的定义域为
，关于原点对称，
，所以
为偶函数，A 正确；
，所以
关于
对称，B 错；
当
，
时，
，
，
，则
，
当
，
时，
，
，
，则
，
综上可得
的值域为
，C 错；
时，
，图象如下所示：
所以
，
，则
，D 正确.
1．（2026·云南·模拟预测）已知，
，
是空间内三条不同的直线，
，
是空间内两个不同的平面，
下列说法不正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则“
”是“
，且
”的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系结合充分不必要条件定义一一分析判断即可.
【详解】对于A：若
，
，则
或
，故A 错误；
对于B：若
，
，则
．
又因为
，则在平面
内存在直线使得
，
所以
，所以
，故B 正确；
对于C：若
，
，则
与
的关系是异面或平行，故C 错误；
对于D：当
，则可以得到
；
当
时，若
平行，则无法推出
，
所以“
”是“
，且
”的充分不必要条件，故D 正确.
故选：AC．
2．（2026·山东威海·一模）在正方体
中，P，Q，R 分别是
的中点，则
（ ）
A．
B．
平面
C．平面
平面
D．
平面
【答案】AC
【分析】根据线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行的判定定理逐项判定即可.
【详解】对于A，因为
分别是
的中点，所以
.
因为在正方体
中，
，所以
.
因为
，所以
，A 正确；
对于B，因为
分别是
的中点，所以
.
而
平面
，所以
与平面
相交，不平行，B 错误；
对于C，因为
，所以
.
因为
平面AC D1，
不在平面AC D1内，所以
平面AC D1.
因为
，所以
，
因为
平面AC D1，
不在平面AC D1内，所以
平面AC D1.
又
平面
，所以平面
平面AC D1，C 正确；
如果
平面
，而
平面
，所以
，
则根据勾股定理有
.
设正方体的棱长为1，则在直角三角形
中，
，
所以
，而
，
.
很显然
不成立，所以
不成立，所以D 错误.
故选：AC.
3．（2026·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数越大，则线性相关性越强
B．1，2，4，5，6，12，18，20 的上四分位数是15
C．随机变量
的方差
，期望
，则
D．某班30 个男生的数学平均分为90，方差为4，20 个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50
个学生的数学成绩的方差为10.8
【答案】BD
【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A 错误；
B：该组数据共8 个数据，又
，
因此上四分位数为第6 个数和第7 个数的平均数，即
，因此B 正确；
C：因为
，由方差
，期望
，可得
，即C 错误.
D：易知全班50 个学生的数学成绩的平均值为
，
因此方差为
，即D 正确.
4．（2026·江苏镇江·一模）在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，
8.1，8.2，8.7，9.4，9.9，若去掉一个最高分和一个最低分，则（ ）
A．这组分值的极差变小
B．这组分值的均值变大
C．这组分值的方差变小
D．这组分值的第75 百分位数不变
【答案】AC
【分析】根据极差、百分位数、平均数和方差的定义求解，即可判断选项．
【详解】原始数据：7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.9，
去掉一个最高分和一个最低分后： 8.1，8.2，8.7，9.4，
极差分别为
，极差变小，故A 正确；
均值分别为
，
，均值变小，故B 错误；
方差分别为
，
，方差变小，故C 正确；
，
，
第75 百分位数分别为
，
，第75 百分位数变小，故D 错误．
5．（2026·江苏扬州·一模）一组数据
满足
，若去掉
后组成一组新
数据.则新数据与原数据相比（ ）
A．极差变小
B．平均数变大
C．方差变小
D．第25 百分位数变小
【答案】AC
【详解】由题意可知，原数据
是公差为
的等差数列，
设
，则
，去掉
后，新数据为
共8 个数.
选项A：原极差：
，
新极差：
，
极差变小，A 正确；
选项B：原平均数：
，
新平均数：
，平均数不变，B 错误；
选项C：原平均数和新平均数均为
，
原方差
新数据的方差
所以方差变小，C 正确；
选项D：原数据共
个：
，向上取整得第25 百分位数为第3 个数
新数据共个：
，第25 百分位数为第2、3 个数的平均
，
百分位数变大，D 错误.
6．（2026·四川成都·二模）设随机变量X 的分布列为
X
1
2
P
p
其中
．若
，则一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】先通过
求出未知参数
，再依次计算
和
，最后验证选项.
【详解】依题意，
，
已知
，代入得：
，故A 错误，B 正确；
，
代入
得：
，C 正确；
，D 错误.
7．（2026·广东广州·二模）为普及法制教育，对50 名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩
统计如表所示，其中两个数据被遮盖.
成绩/分
92
93
95
96
98
99
100
人数
5
7
8
14
13
下列结论正确的是（ ）
A．众数为99
B．极差为9
C．
分位数为96
D．平均数大于中位数
【答案】AC
【详解】根据题意，总共有50 名市民，
所以成绩为
或
的共
人，
则99 分有14 人，众数为99，A 正确；
极差为
，B 错误；
因为
，则第13 个数分值为96，C 正确；
中位数是第25 和第26 两个数的平均数，由于这两个数都是99，
所以中位数为99，
设成绩为
的有
个人，
平均数为
，
所以平均数小于中位数，D 错误.
8．（2026·河南许昌·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．
的展开式中
的系数为
B．一组数据2，4，6，5，
，4，3 的中位数一定是4
C．一组数据
的线性回归方程为
，若
，则
D．对随机事件
，
，若
，
，则事件
与
相互独立
【答案】ABD
【分析】A 选项，利用二项展开式的通项求展开式中
的系数；B 选项，结合中位数的定义求解；C 选项，
根据回归直线恒过样本中心点
，求得
，即可求解；D 选项，利用条件概率公式和相互独立事件的
定义求解.
【详解】对于A，
的展开式的通项为
，
时，
，则有
，
所以
的展开式中
的系数为
，A 选项正确；
对于B，这组数据共7 个，中位数为排序后第4 个数，
先排序已知数：
，加入
后，无论
还是
，第4 个数一定是4，
所以这组数据中位数一定是4，B 选项正确；
对于C，由
得
.
因为
过点
，所以
，所以
，C 选项错误；
对于D，由
，有
，
已知
，则
，
又
，则
， 得
，
所以事件
与
相互独立，D 选项正确.
9．（2026·重庆·模拟预测）已知
，
为两个随机事件，
，
分别表示
，
的对立事件，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
相互独立，则
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】根据事件的包含关系，结合互斥事件的概率公式，可判断A、B 的正误；根据独立事件的概率公
式，可判断C 的正误；根据全概率公式及条件概率公式，可判断D 的正误.
【详解】选项A：由
，得
，故A 正确；
选项B：由
，得A、B 互斥，
所以
，故B 正确；
选项C：若
，
相互独立，则
所以
，故C 错误；
选项D：因为
，所以
，
则
，故D 正确.
10．（2026·山东菏泽·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且
宽度越窄表示拟合效果越好
C．对a，b 两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对m，n 两个变量进行相关性检验，
得到相关系数为0.8278，则a 与b 负相关，m 与n 正相关，其中m 与n 的相关性更强
D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的第80 百分位数为4.5
【答案】ABD
【分析】根据正态分布的性质、残差的意义、相关系数的内涵以及百分位数的计算公式逐项计算判断即可.
【详解】由题意得
，
，
，
则
，故选项A 正确；
∵在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B 正确；
∵
，且
，
∴a 与b 负相关，m 与n 正相关，且a 与b 的相关性更强，故选项C 错误.
对于D，
，所以一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的第80 百分位数为第8 个数字和第9
个数字的平均值，即
，D 正确；
故选：ABD.
11．（25-26 高二上·广东江门·期末）已知双曲线
：
（
）的左右两个焦点分别是
，
，
焦距为8，则（ ）
A．
B．双曲线
的离心率为2
C．双曲线
的渐近线方程为
D．若
是双曲线
上一点，且
，则
的周长为22 或14
【答案】BC
【分析】先根据题意，求出
的值，再由选项内容逐一判断A，B，C 项；对于D，需要按照点
在双
曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可.
【详解】对于A，因双曲线的焦距为
，即得
，由
：
（
）可得
，
则
，故A 错误；
对于B，由上分析，
，故B 正确；
对于C，由上分析可得，
，则该双曲线的渐近线方程为
，即
，故C 正确；
对于D，若点
在双曲线的左支上，由
可得
，
此时，
的周长为
；
若点
在双曲线的右支上，因
，这与已知
不符，故D 错误.
故选：BC.
12．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知抛物线
的焦点
，直线
与抛物线交于
两点.分别作抛物线在
两点处的切线，两切线交于点
为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．若
过焦点
，则
最小值为4
B．若
过焦点
，则
一定为直角三角形
C．若
中点
的横坐标为4，则
最大值为12
D．若点
在直线
上，则
【答案】ABD
【分析】设出直线
方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求解判断A；求出切线
方程并求出
切点坐标，利用向量垂直的坐标表示判断BD；利用抛物线定义求出弦长最大值判断C.
【详解】抛物线
的焦点
，设
，
对于A，直线
方程为
，由
，得
，则
，
，当且仅当
时取等号，A 正确；
对于B，设抛物线
在点
处切线方程为
，由
，
得
，则
，解得
，
该切线方程为
，即
，同理抛物线
在点
处切线方程为
，联立得点
，
，
，因此
，
为直角三角形，B 正确；
对于C，由
中点
的横坐标为4，得
，则
，
当且仅当点
共线时取等号，C 错误；
对于D，由点
在直线
上，得
，即
，而
，
，因此
，D 正确.
故选：ABD
13．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，点
在
的准线上，
过
且斜率为
的直线交
于
两点，则（ ）
A．
B．
C．
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系求解.
【详解】对于
，因为抛物线
的准线方程为
，已知点
在准线上，
所以
，解得
，即
，焦点
.故
正确；
对于
，设过
且斜率为
的直线方程为
，
联立抛物线方程
，整理得
，
因为直线与抛物线有两个交点，所以
，
解得
或
，故
错误；
对于
，设
，由抛物线定义
，
，
要判断
，即
，
两边平方
，
化简得
，即
，
因为直线与抛物线有两个交点，所以直线与抛物线不相切，即
，
所以
成立，即
，故
正确；
对于
，当
时，
是
的中点，设
，
，
则
，由韦达定理
，
所以
，解得
（舍去），或
，则
，
则
，由对称性，不妨令
，则
，
则由
，得
，故
正确.
故选：
14．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知圆
，抛物线
的焦点为F，P 为
E 上一动点，当P 运动到点
时，
，直线l 与E 相交于A，B 两点，则（ ）
A．
B．若
，则直线PF 与圆C 相切
C．若M 为C 上一点，则
的最小值为1
D．存在直线l，使得A，B 两点关于
对称
【答案】ABD
【分析】根据焦半径公式求得
判断A，求出直线
的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径判
断B，设
，利用二次函数性质求得
最小值为4，进而利用圆的性质求得
最小值为
判断C，设
，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，代入
求
出
，与
判断D.
【详解】因为当P 运动到点
时，
，所以
，故A 正确；
抛物线
，其焦点
，
圆
的圆心
，半径为
，
设
，则
，
解得
，则
，
故直线PF 的方程为
，因为圆心
到直线PF 的距离为
，
所以直线PF 与圆C 相切，故B 正确；
由上可知，
，即
的最小值为4，
所以
的最小值为
，故C 错误；
假设存在直线l 使得A，B 两点关于
对称，
设直线
，
，
，
由
，消去x 得，
，
则
，解得
，
又
，
，
则
，解得
，符合题意，故D 正确．
15．（25-26 高三上·山东青岛·期末）已知函数
，
是
的一个极值点，
则（ ）
A．
B．
的图像在点
处的切线方程为
C．若方程
有一个解，则
D．
【答案】BCD
【分析】利用极值点的定义可判断A；利用切线的方程的求法可判断B；利用三次函数图象的特点可判断
C；代入作差，可判断D.
【详解】求导得
，
由题意得
，解得
或
，
由
得
，故 A 错误；
由
得
，
，
，
点
处的切线斜率
，
所以切线方程为
，即
，B 正确；
令
，得
或
，
当
时，
，所以函数
单调递增，
当
时，
，所以函数
递减，
当
时，
，所以函数
递增.
所以
的极大值为
，
的极小值为
.
为三次函数，要使
只有一个解，只需
的极小值
或
的极大值.
所以
或
，故C 正确；
易知
，则
.
即
恒成立，故D 正确.
故选：BCD
16．（25-26 高三上·浙江绍兴·期末）设函数
，其中
.则下列说法正确的
是（ ）
A．
可能为奇函数
B．
既有极大值也有极小值
C．若
恒成立，则
D．若
是方程
的两个不同实根，且
，则
【答案】BCD
【分析】对于A 根据
判断；对于B 求导判断函数的单调性即可；对于C 由
的正负性
和单调性可得；对于D 根据韦达定理以及
计算.
【详解】对于A，若
为奇函数，则
，则
，
或
，
均与
矛盾，故
不可能为奇函数，故A 错误；
对于B，
因为
，
所以
存在两个不等实根
，不妨设
，
则
得
或
；
得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取极大值，在
处取极小值，故B 正确；
对于C，由
以及
的单调性可知，
当
或
时
；当
或
时
；
因为
，且
恒成立，所以
，即
，故C 正确；
对于D，因为
是方程
的两个不同实根，
所以
，
令
，则
，
令
，得
，
则
关于点
对称，即关于点
对称，
由
以及
在区间
上单调递减、
可得
，又
，
，
可得
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD
17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥
中，
，D 是
中点，E 是
中点，点
F，G 满足
，
，直线DF，GE 相交于H，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
与
是共线向量
D．
【答案】AC
【分析】以
为一组基底，结合数量积的运算法则可判断A；B 利用数量积的定义得出
判断B；利用平面
平面
以及
判断
三点共线可判断C；利
用向量的加减运算判断D.
【详解】对于A，设
，
，
则
，
于是
，故A 正确；
对于B，因为
，
，所以
，则
夹角等于
，
因为
，则
为锐角，由数量积的定义可知
，故B 错误；
对于C，因为
，
平面
，则
平面
，
同理
，
平面
，则
平面
，
又平面
平面
，故
，即
三点共线，故C 正确；
对于D，因
，故D 错误.
18．（2026·江苏·一模）已知函数
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．曲线
与曲线
存在相同的对称中心
B．曲线
与曲线
存在相同的对称轴
C．曲线
向左平移
个单位得到曲线
D．曲线
与曲线
关于
轴对称
【答案】AC
【详解】选项A，因为
，
令
，
得
，所以
的对称中心为
.
因为
，令
，得
，所以
的对称中心为
.
假设存在相同对称中心，则
，
化简得
，当
时，
，所以存在相同对称中心
，A 正确.
选项B，
：令
，得
，对称轴为
.
：令
，得
，对称轴为
.
假设存在相同对称轴，则
，化简得
，
左边为偶数，右边为奇数，无整数解，所以曲线无相同对称轴，B 错误.
选项C，
，平移
个单位，得：
，C 正确.
选项D，若
与
关于
轴对称，则需满足
.
因为
，而
，
显然
与
不能恒相等，所以两曲线不关于
轴对称，D 错误.
19．（2026·黑龙江·一模）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的一条对称轴为
C．
在区间
内单调递增
D．将函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，所得图像关于
轴对称
【答案】AB
【详解】对于A，
的最小正周期为
，A 正确；
对于B，由
，得
图象的一条对称轴为
，B 正确；
对于C，由
，得
，则函数
在
上不单调，C 错误；
对于D，将函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度得
的图象，
而函数
是奇函数，其图象关于原点成中心对称，D 错误.
20．（2026·安徽安庆·一模）已知函数
的最小正周期为
，则
图象的对称
中心的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】先根据周期得出
，再应用正切函数的对称中心计算求解.
【详解】由题意可得
，解得
（负值舍去），则
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，故
、
都是
图象的对称中心，故B、D 正确；
令
，解得
，由
不符，故
不是
图象的对称中心，
令
，解得
，由
不符，故
不是
图象的对称中心，故A、C 错误.
21．（2026·河北衡水·一模）若函数
（
）在
内存在唯一的
，使得
，
则
的取值可能为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】BC
【详解】由
，知
在
内存在唯一的解.
当
时，
，则
，即
，
因仅有选项B,C 中的值在此范围，故B,C 正确.
22．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，点P 是正方体的上底面
内（不含边界）的动点，点Q 是棱
的中点，则以下命题正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积是定值
B．存在点P，使得
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
D．存在点P，使得
平面
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算（点积求夹角、法向量）和体积公式，逐一分析判断命题的
正确性.
【详解】以
点建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
；
，设
（其中
，
）；
选项A：因为
，以
为底面，点
到平面
的距离为高，
因为
，所以
，
点
在上底面
内，
到平面
的距离恒为
，
则
，
故
为定值，A 正确；
选项B：
，取其方向向量为
，
；
，
若
，则
，代入得：
，
由于
，
，故
，
，
则
，方程无解，B 错误；
选项C：平面
的一个法向量为
，
由线面角
的正弦值公式得：
；
令
（
），则
：
当
时，
，
，
令
，则
，
因
，故
，即
在
上严格单调递增，
；
，故
；
当
时，
，则：
，
因此：
，同时
恒成立；
综上，
，C 正确；
选项D：
，
，
设平面
的法向量为
，则：
，
即：
，令
，则
，
，可得平面
的一个法向量为：
，
若直线
与平面
平行，则
，即
，
由于点
在上底面
内（不含边界），即
，
，方程
在此区域内有解（例
如取
，则
），
此时
，且
不在平面
内，故
平面
，选项D 正确.
23．（2026·江西·模拟预测）已知椭圆
上存在一点P，使椭圆C 在点P 处的切线l 与
直线
所成角的大小是
，点Q 是切线l 上的动点，
，
为椭圆C 的焦点，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的面积为2
B．椭圆C 的离心率
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用椭圆的光学性质可得
，再结合椭圆定义及几何性质逐项判断即可.
【详解】由椭圆C 在点P 处的切线l 与直线
所成角的大小是
，得直线是
的外角平分线，
则
，设椭圆C 的半焦距为，
，
，
对于A，
的面积
，A 正确；
对于B，由
，得以
为圆心，为半径的圆与椭圆
有公共点，
则
，椭圆
的离心率
，B 错误；
对于C，椭圆
上的点到点
的距离的最小值为
，而直线上除切点
外都在椭圆
外，
因此
，当且仅当
重合，且点
为椭圆
短轴端点时取等号，C 正确；
对于D，当
时，点
在以
为圆心，为半径的圆与切线相交弦上（除端点外），
，D
错误.
故选：AC
24．（2026·四川·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，过点F 的直线
交C 于
A，B 两点，点A 在第一象限，过点A，B 作C 的准线l 的垂线，垂足分别为
，
，则（ ）
A．l 的方程为
B．
为正三角形
C．
D．
的面积为
【答案】ABD
【详解】抛物线
的焦点
在直线
上，则
，解得
，
对于A，抛物线
的准线l 的方程为
，A 正确；
对于B，由
，解得
或
，
，
，
为正三角形，B 正确；
对于C，由选项B 得
，
，
，C 错误；
对于D，点
到直线
的距离
，
，
，D 正确.
25．（25-26 高三下·甘肃白银·月考）已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
，
为
上的动点，
轴，垂足为
，
为
的中点，
为上顶点，则（ ）
A．椭圆
的焦距为
B．
的最小值为
C．
（
为原点）是定值
D．
的最大值为
【答案】BC
【分析】由离心率求出
，再由
求出可判断A；利用椭圆的定义、基本不等式可判断B；设
，根据中点坐标公式、
在
上可判断C；求出
利用配方法可判断D．
【详解】对于A，由题意，
，解得
，
，则焦距
，A 错误；
对于B，
，
当且仅当
时，等号成立，B 正确；
对于C，设
，易知
，
为
上的动点，
则
，即
，C 正确；
对于D，
，即
，D 错误．
故选：BC.
