文档文本内容
题号猜押12 全国卷高考数学第18 题（解答题）
溯源
年份
卷别
原题号
考点
具体内容
2025
Ⅰ卷
T18
圆锥曲线
椭圆方程、离心率、点坐标、最值问题
2025
Ⅱ卷
T18
函数与导数
函数单调性、极值点、零点存在性证明
2024
Ⅰ卷
T18
函数与导数
含参函数最值、对称性证明、恒成立求参
2024
Ⅱ卷
T18
概率统计
投篮比赛、分布列、期望、决策比较
2023
Ⅰ卷
T20
数列
等差数列通项、前n 项和、不等式证明
2023
Ⅱ卷
T20
立体几何
三棱锥、线面垂直证明、二面角正弦值
2022
Ⅰ卷
T20
概率统计
独立性检验、条件概率、指标估计
2022
Ⅱ卷
T20
立体几何
三棱锥、线面平行证明、二面角正弦值
2021
Ⅰ卷
T20
立体几何
三棱锥、线面垂直证明、体积与二面角
2021
Ⅱ卷
T20
圆锥曲线
椭圆方程、三点共线充要条件
近5 年解答题第四题（等价T18）考点分布较为分散，无明显固定模块，但呈现一定轮换规律。立体几何
出现3 次（2023Ⅱ、2022Ⅱ、2021Ⅰ），概率统计出现2 次（2024Ⅱ、2022Ⅰ），函数与导数出现2 次
（2025Ⅱ、2024Ⅰ），圆锥曲线出现2 次（2025Ⅰ、2021Ⅱ），数列出现1 次（2023Ⅰ）。2024-2025 年该位置
考点出现新变化：2024 年Ⅰ卷函数导数、Ⅱ卷概率统计；2025 年Ⅰ卷圆锥曲线、Ⅱ卷函数导数，表明该位
置已不再是立体几何的固定阵地，而是成为多个核心模块轮换的重要位置，承担中档偏难的综合题功能。
预测
2026 年T18 极大概率在圆锥曲线、函数与导数、概率统计、立体几何四类中轮换。圆锥曲线若未出现在
T16，则可能在此位置考查椭圆或双曲线方程、直线与圆锥曲线位置关系、弦长面积问题；函数与导数若
未在T19 压轴，则可能在此位置考查含参函数单调性、恒成立问题或零点讨论；概率统计可能考查离散型
随机变量分布列、期望与决策分析；立体几何可能考查空间垂直证明与二面角计算。
备考核心
主攻圆锥曲线，熟练掌握椭圆、双曲线方程求法，熟练运用设而不求、韦达定理处理弦长、面积、定点定
值问题，关注非对称韦达定理的处理技巧；突破函数与导数，掌握含参函数单调性分类讨论标准，理解恒
成立问题的参变分离与构造函数法，能处理零点存在性证明；强化概率统计，掌握离散型随机变量分布列
与期望计算，理解二项分布、超几何分布的应用场景，能进行方案比较与决策分析；巩固立体几何，熟练
空间垂直关系证明，能准确建立空间直角坐标系求二面角、线面角。规范书写，步骤清晰，注意分类讨论
的完整性。限时训练，每道题控制在15~18 分钟。
考点1 概率统计
1．（2026·河北衡水·一模）某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若
设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日
的检测结果相互独立.
(1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.
(2)若该工厂对该设备进行连续4 天的检测，求恰有2 天的检测结果与实际不符的概率.
(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100 元，若检测结果为“故障”，则需花费400 元检修费
（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000 元.若不使用自动化检测系
统，每日故障损失的期望为280 元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由.
2．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，
则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，
则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10 元；若零件不合格，则亏损20 元.已知每件该零
件第一次检测合格的概率为
，第二次检测合格的概率为
，且每件零件是否合格相互独立.
(1)求检测3 件该零件，至少有2 件合格的概率；
(2)已知一箱中有4 件该零件，记这箱零件总获利
元，求
的分布列与期望.
3．（2026·陕西·模拟预测）2026 年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600
元（含600 元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立.
方案一：从装有10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球2 个，白球1 个，黑球7 个）的抽奖盒中，一
次性摸出3 个球.其中奖规则为：若摸到2 个红球和1 个白球，享受免单优惠；若摸出2 个红球和1 个黑球，
则打5 折；若摸出1 个白球2 个黑球，则打7 折；其余情况不打折.
方案二：从装有10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球3 个，黑球7 个）的抽奖盒中，有放回每次摸
取1 球，连摸3 次，每摸到1 次红球，立减200 元.
(1)若两个顾客均分别消费了600 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
(2)若某顾客消费恰好满1000 元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
4．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30 个大小相同的球，其中有10 个红球、20 个白球，从中
随机放回地逐次摸一个球作为样本，5 次摸球后停止，用
表示停止时摸出红球的次数.
①求
的分布列和数学期望；
②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2 的概率.
（2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇
门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇
门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概
率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.）
5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精
神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效
应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026 年一年内有两次机会领取补贴，每次消
费5000 元以上可以领取500 元补贴.通过调查可知，该市有
的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，
有
的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有
的家庭因市场氛围等因素产生了消费意
向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为
，且可能带动另一个不了解政策的家
庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为
．
(1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率；
(2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列；
(3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可
以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000 元补贴，带动家庭可以拿到100 元奖励；两个
家庭合计拿到1500 元补贴，带动家庭可以拿到200 元奖励；两个家庭合计拿到2000 元补贴，带动家庭可
以拿到300 元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）.
6．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）鄂尔多斯市装备制造基地的某企业生产一种零部件，其质量指标
介于
的为优品．技术改造前，其质量指标
；技术改造后，其质量指标
．如果生产该零部件的控制系统中有超过一半的元件正常工作，则系统就能正常工作．
系统正常工作的概率称为系统的可靠性．已知该系统中每个元件正常工作的概率都是
，且各个
元件能否正常工作相互独立．
若
，则
，
．
(1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差；
(2)若控制系统原有3 个元件，计算该系统的可靠性；若该系统增加一个元件，判断其可靠性有何变化．
7．（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3 局，
每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下：
游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币
第1 局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100 元奖金；第2 局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得
500 元奖金；第3 局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900 元奖金；
游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6 的骰子）.
第1 局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300 元奖金；第2 局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得
600 元奖金；第3 局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900 元奖金.
(1)求游戏Ⅰ第2 局获胜的概率；
(2)若销售部门的3 位员工均选择游戏Ⅰ，设X 为前两局均未获胜的人数，求X 的分布列和数学期望；
(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
8．（2026·浙江·模拟预测）某高新区对7 家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：
企业
研发投入
（万元）
300
600
900
1200
2000
2800
4000
年度专利产出数
（件）
3
5
7
6
9
10
11
(1)现从这7 家企业中随机抽取1 家.记事件
：抽到的企业“研发投入不超过2000 万元”；事件
：抽到
的企业“专利产出数超过8 件”.
（i）求条件概率
的值；
（ii）判断事件
与
是否相互独立，并说明理由；
(2)从这7 家企业中随机抽取3 家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6 件的企业数为随机变量
，
求
的分布列和数学期望
.
9．（2026·广东深圳·一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独
立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，
若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此
次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为
，模型乙回答正确的概率为
0.75，假设各模型每次回答相互独立.
(1)当
时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率；
(2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求
的最小值.
10．（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客
服的回答被采纳的概率为
；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
．已知输入
的问题表达不清晰的概率为
．每次回答是否被采纳相互独立．
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3 个问题，设
表示智能客服的回答被采纳的次数，求
的分布列及期望、方差；
(3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10 个问题，智能客服的回答每被采纳1 次计10 分，不
采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为
，若
，则推广该系统．试推断该系统是否会得
到推广，请说明理由，
11．（2026·山东东营·一模）在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不
挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比
赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设
固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0 比0 开局，率先净胜对手2 分的一方赢得该局.经赛前技术分
析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为
，乙得分的概率
为
.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响.
(1)在某一局比赛中，求经过2 回合结果为平局的概率
和经过4 回合结果为平局的概率
；
(2)在某一局比赛中，记“经过
个回合甲获胜”为事件
，分别求
及在该局比
赛中甲获胜的概率；
(3)比赛结束时，双方共进行了
局比赛，求
的分布列.
(附:当
时，
).
12．（2026·浙江·模拟预测）“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村
振兴新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术
水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲
队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A 组，负者编入B 组；第
二轮：A，B 两组的球队分别进行组内比赛，A 组的胜者进入决赛，B 组的负者获得第4 名；第三轮：A 组
的负者和B 组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3 名；第四轮：决赛，胜者获得第1 名，负者获得
第2 名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为
.乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支
球队获胜的概率均为
（比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响.
(1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3 名的概率；
(2)记甲队最终获得的名次为随机变量
，求
的分布列和数学期望.
13．（2026·四川成都·二模）2026 年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众
的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应
如下六组质量指标值：
，
，
，
，
，
．根据大量检测结
果，得到部件的质量指标值X 服从正态分布
，并把质量指标值不小于的产品称为A 等品，其它
产品称为B 等品.现从该部件的生产线中随机抽取100 件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s 的近似值为
，用样本平均数
作为
的近似值，
用样本标准差s 作为
的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X 服从正态分布
的
角度估计该部件为A 等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；
①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．）
(2)（ⅰ）从样本的质量指标值在
和
的部件中随机抽取3 件，记其中质量指标值在
的部件件数为
，求
的分布列和数学期望；
（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100 件一箱包装.已知一件A 等品部件
的利润是
元，一件B 等品部件的利润是
元，根据（1）的计算结果，试求x 的值，
使得每箱产品的利润最大.
14．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园
总面积超过80 公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭
楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛
等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民
和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游
客选择东门入园的概率是
，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机选取3 人，记3 人中选择东门入园的人数为X，求X 的分布列、均值和方差；
(2)东湖山公园管理处计划在2026 年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为
0，从东门进入一名游客，增加人气值2 点，其它门进入一名游客，增加人气值1 点，记当日人气值显示屏
上曾经出现数值n 的概率为
（不考虑人流量有限的限制）．
①求
，
；
②求
．
15．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两
种词元
，
，且生成词元总数不超过
.若生成
，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数
达到
.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为
，
的概率均为0.5，且各次预测相互独立.
审核规则如下：
①若预测中第一次出现词元
，则审核后生成
，
的概率均为0.5；
②若预测中第二次出现词元
，则审核后必生成
；
③若预测中出现词元
，则审核后必生成
.
设
表示过程结束时生成词元的总个数.
(1)求
，
；
(2)求
的分布列；
(3)求
.
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，
涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机
调查了200 位社区居民，得到如下数据（单位：人）：
学历
关注
不关注
合计
本科及以上
80
20
100
本科以下
60
40
100
合计
140
60
200
(1)依据小概率值
的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？
(2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下：
第一关：设置3 道必答题，参与者需至少答对2 道才能参与下一关答题，否则淘汰；
第二关：设置3 道题，前2 道题每答对1 道奖励200 元，答错即结束答题，奖励清零，2 道题都答对可选择
放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3 道题答对奖励400 元，答错前2 道奖
励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3 道题每道题答对的概率均为
，第二关答题的前
2 道题每道题答对的概率均为
，第3 道题答对的概率为
，各题答对与否相互独立.
（i）求甲能进入第二关答题的概率；
（ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3 道题，使获取的奖金更多.
参考公式及参考数据：
.
0.05
0.01
3.841
6.635
2．（2026·湖南湘潭·二模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进
行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率
为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判
定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3 次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”
的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件
中合格品占80%，不合格品占20%．
(1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．
(2)若随机抽取1 个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．
(3)已知生产一个零件的成本为50 元，每个零件被连续检测3 次的总费用为10 元．若某零件最终被判定为
合格品，则以每件120 元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户
全额退款，并赔偿客户40 元．设一个零件的利润为
元，若
的均值小于25，则该工厂将停止生产该零
件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．
3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员
进行传球训练，
训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员
其中一人，学员
接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为
，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递．
(1)若四人进行了4 次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；
(2)设
表示经过
次传球后篮球在
手中的概率，求
．
4．（25-26 高三上·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI
科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量
试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则
软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的
问题软件生成正确答案相互独立.
(1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；
(2)在某次试验中，用户输入
（
）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为
，事件
（
）的概率为
.当
取何值时，
的值最大？
5．（2026·山西晋中·模拟预测）晋中市的平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，其制作过程中描金罩漆
､
､
抛光三个核心环节的成功率直接影响漆器的等级与收益.已知某工艺师在描金罩漆抛光环节的成功率分别
､
､
为
（各环节相互独立）.若描金失败，则该漆器直接报废，每件废品损失25 元；若描金成功但罩漆
和抛光中至少有一个环节失败，则为普品；若三个环节均成功，则为精品.普品和精品均为成品，可对外销
售，假设每件漆器的制作过程相互独立.
(1)求该工艺师制作的一件漆器为精品的概率；
(2)该工艺师共制作
件漆器，记其中精品的数量为
，普品的数量为
，若
，求
的值；
(3)该工艺师计划制作一批漆器进行销售，现有两种销售方案：方案①：成品全部线下零售，普品每件可获
利80 元，精品每件可获利300 元；方案②：成品全部线上零售，在方案①获利的基础上，每件成品均需支
付5 元快递费，且每件精品可获得25 元的线上平台补贴.分别求采用销售方案①②时一件漆器的期望利润，
并判断对该工艺师来说，哪种方案更好.
6．（2026·广东佛山·一模）现有8 张大小质地完全相同的卡片，其中4 张是红色，4 张是蓝色.从中随机摸
出3 张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为
，然后进行如下操作：从袋子中随机
摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一
种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋
子中始终保持3 张卡片．记经过
次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为
．
(1)求
；
(2)当
时，求随机变量
的分布列和数学期望；
(3)求随机变量
的数学期望．
7．（2026·江苏南京·三模）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为
）玩游戏，游戏
规则如下：每次由1 人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4 的倍数，则由原来投
掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4 的倍数，则由对方接着投掷．
(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4 的倍数的概率；
(2)规定第一次从小明开始，在游戏的前4 次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量
，求
的分布列和均
值；
(3)若第一次从小芳开始，求第
次由小芳投掷的概率
．
8．（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩
（满分为150 分）近似服从正态
分布
，且
，测试成绩120 分以上（含120 分）为优秀.
(1)若该企业共有30000 名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80 分以上（含80 分）的员工人数（结果
四舍五入保留到整数）；
(2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3 人，设3 人中测试成绩优秀的人数为
，求
的分布列和期
望.
附：若随机变量
，则
，
，
.
9．（2026·重庆·模拟预测）小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2 轮，每轮的规则如下：每
轮开始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1 张牌相互交
换，交换3 次后该轮结束.2 轮进行完游戏结束.
(1)记每轮游戏在交换1 次后，小明手里王牌的张数为
，求
的分布列及数学期望；
(2)在游戏开始前，数学老师问了小明一个问题：当游戏结束时，只要在2 轮中有至少1 轮结束时，你手里
的两张牌是相同的，你就获胜，否则小红获胜，你愿意接受这样的游戏规则吗？如果你是小明，你会如何
回答？
10．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称
AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek 开启了我国AI 新纪元.某地区随机调查了经常使
用某AI 工具的360 名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
人数
30
150
90
60
30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI 工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360 名用户中随机抽取了12 人，现从这12 人中随机抽取4 人，记
抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设
，求
的分布列；
(3)已知该
工具对某20 个问题能准确答对其中的（
，且
）个．若从这20 个问题中随机抽
取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率最大，求此时的取值．
11．（25-26 高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出
n 道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影
响．
(1)如果参赛者须回答5 道问题，当连续答对4 道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，
均有
的概率答对，求甲赢得挑战的概率；
(2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有
的概率答对．记
为乙同学回答
道题目后，没有
出现连续答对至少4 道题目这一情形的概率．
（i）求
；
（ii）证明：
．
12．（2026·陕西西安·一模）2025 年12 月1 日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚
焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，
的家庭只拥有电动车，
的家庭既有电动车也有其他
交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1 分，若同时拥有其他交通工具则记2 分.假设各家庭是否拥
有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率.
(1)从被调查家庭中随机抽取3 户，记这3 户的合计得分为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)从被调查家庭中随机抽取n（
）户，记这n 户的合计得分恰为
的概率为
，求
.
13．（2026·四川宜宾·一模）2025 年政府工作报告明确提出持续推进“人工智能+”行动.上海某人工智能实
验室的多模态大模型
在某次数学测评中表现特别突出，所有测评试题能得1 分的可能
性为
，能得2 分的可能性为
，假设每道试题得分情况相互独立.
(1)从所有测评试题中随机抽取4 道试题，记这4 道题得分总数为
，求
的分布列和数学期望；
(2)从所有测评试题中随机抽取n 道试题
，记这n 道题得分总数为
的概率为
，求
的值；
(3)已知王老师班有20 名学生分别用
模型解答该数学测评中最后一题.若王老师按照这
20 人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，请问王老师应该提前准备多少朵小红花比较合理？
14．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围
内投掷沙包入框， 并制定了两个小游戏， 且每位参与者只能参加其中一项游戏， 规则如下：
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷
次
（
且
）后仍未累计命中 2 次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记 1 分，未命中记
分，当累计得分达
到 3 分， 则游戏立即结束并获奖， 当累计得分达到
分， 游戏立即结束， 无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立． 已知甲同学参加游戏一，
且每次命中率为
；乙同学参加游戏二，每次命中率为
．
(1)当
时，记甲同学投掷次数为
，求
的分布列及期望；
(2)当
时，求甲同学获奖的概率(用含
的表达式表示)；
(3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过 4 次的概率为
；若乙同学获奖概率不小于
，求
的最小值．
15．（2026·广东肇庆·二模）学校社团准备了编号1 到
的
个盲盒，不同的编号对应不同的奖品（编号越
大，奖品越好）．规则如下：参与者有放回地抽取盲盒
次，一次抽取一个盲盒，抽到的编号最小
的盲盒对应的奖品即为最终奖品，设获得的奖品对应的盲盒编号为
．
(1)当
，
时，求最终拿到编号1 的奖品的概率和拿到编号2 的奖品的概率．
(2)若
．
①求最终拿到编号不小于
的奖品的概率；
②用
表示出期望
．
(3)当
时，证明：期望
．
16．（2026·重庆·一模）甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3
分、2 分、0 分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3 分、2 分、0 分的概率分别为
，乙不投3
分球，他一次投篮得2 分、0 分的概率分别为
．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相
互独立，每次投篮也互不影响．
(1)记一轮投篮后，甲的得分为
，乙的得分为
，求
；
(2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量
，求
的分布列及数学期望．
17．（2026·广东茂名·一模）已知甲乙两个盒子均装有
､
1 个白球和1 个黑球，现进行如下操作：从这两个
盒子中各取1 个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第
次操作后甲盒中白球的个数记为
.
(1)求
；
(2)证明：
是等比数列；
(3)求
的数学期望.
18．（2026·湖南长沙·三模）已知集合
含有
个元素，其中
，先后两次随机、独立地选取集合
的
两个子集，记为
与
．设
为集合
中元素的个数，
(1)若
，且
，请列举所有满足条件的
和
；
(2)求随机变量
的数学期望
；
(3)设
在
处取得最大值，试建立
与
的关系．
19．（2026·山东潍坊·模拟预测）某人工智能实验室测试一款新型深度强化学习智能体，每次测试中，智
能体会随机接受
类或
类任务，每次测试相互独立.已知每类任务出现的概率均为
，且智能体成功完成
类任务的概率为
类任务的概率为
.记成功完成
类任务得1 分，
类任务得2 分，不成功均得0 分.
(1)求智能体经过1 次测试后得2 分的概率；
(2)记智能体经过
次测试后的总得分为
.
（i）若
，求在
的条件下，第1 次测试得1 分的概率；
（ii）求
.
附：若
为随机变量，则
.
20．（2026·贵州安顺·一模）有N 个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的
事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为
，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．
现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r 个小组，每组
人．在每一组中，取每人
的血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用
采集血样，利用现有采集过的血样）．
(1)若
，
，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2 人”血液中含有该酶的概
率；
(2)用N，k，p 表示该方法所需检测次数的期望值；
(3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a 元/人份，化验检测成本为b 元/次．若
，每组
人数
，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求
的取值范围．（参
考数据：
）
