题目

在平面内，O为坐标原点，抛物线  上有A,B,C,D四个点，A,B,C,D的纵坐标分别为 。直线AB，直线CD交x轴于点P，AC交x轴于点M，BD交x轴于N。以下说法正确的有：

① 若M与抛物线焦点重合，则 ；

② ；

③ ；

④ ；

⑤ 

来源：2026天津15题

what

#抛物线  #直线与抛物线的位置

how

画图分析，联立方程求点的坐标，根据三点共线求直线与x轴的交点。

solve

先举反例否定，做初步判断，排除错误结论。

取 ，

此时 

此时，AC过焦点F，M与F重合，，故①错；

，故②满足；

，故③错；

，故④满足；

，故⑤错。

从一般情况证明②、④正确

设 由AB,CD相交于P，得 

由 ，

得 解得 

同理，由  可得 故 ，②正确。

同理，由 ，设 ，得 由 ，设 ，得 

因此 ，③错误。

因为 所以 ，④正确。

所以 因此，⑤错误。

综上分析：②④正确

point

① 根据运算中的不变性，知道AB与x轴的交点可用  表示，可以类比得到CD,AC,BD与x轴的交点，这是典型的"多想少算"；

② 先通过特殊位置确定一个特例对结论进行检验，确定错误结论，初步筛选出正确结论；

③ 再从一般情况对正确结论进行证明，顺带将错误结论改正。 证明过程中充分地将式子用坐标代换，体现出良好的数学运算素养和逻辑推理素养。