高中数学选择性必修一第三章圆锥曲线最值问题教学建议(4)

题型五：线段或者弦长有关的最值问题

一、以线段长度与弦长为背景的最值问题解题原理（弦长或者线段比或者弦长积的最值）

动直线与圆锥曲线相交得弦 PQ，或与圆锥曲线交于 P,Q 且与定直线交于 M,N，求弦长 |PQ|、线段比 |PM|/|QN|、线段积 |PM|⋅|QN| 的最值，核心是利用弦长公式和两点间距离公式转化为代数式，代入韦达定理消去参数。

基础公式（需要记忆）

1.弦长公式：|PQ|=

（常规是消 y 后，得到关于x的一元二次方程，再用韦达定理计算）

或者

（不常规消 x 后，得到关于y的一元二次方程，再用韦达定理计算，注意k≠0）

2.两点间距离公式：设 M(xM,yM)、P(x1,y1)，则（若 M 在动直线上，可代入直线方程消去 yM）。

二、以线段长度与弦长为背景的最值问题标准解题思路（以“求弦长比最值”为例，弦长积最值或者弦长最值可类比）

1.设参：设圆锥曲线方程，动直线 y=kx+m（参数是k,或者是m），定直线 l:x=t（或定点 M），动直线与圆锥曲线交于 P(x1,y1)、Q(x2,y2)，与定直线交于 M(xM,yM)、N(xN,yN)；

2.联立：

① 直线与圆锥曲线联立，消 y 得一元二次方程，写 Δ>0，求 x1+x2、x1x2，代入弦长公式得 |PQ|（含参数）；

② 直线与定直线联立，求 M,N 坐标，得 |PM|、|QN|（含参数）；

3.转化线段关系：写出最值目标函数（如 |PQ|/|PM|），将 |PQ|、|PM| 的表达式代入，约去公共因子（如 1+k2）；

4.消参求最值：将韦达定理结果代入化简后的表达式，结合题目中的参数约束（如直线过定点 m=−k+3），得到关于参数的函数，再求出该函数的最值；

5.验证：验证斜率不存在时，线段长度或者线段长度比，或者线段长度积是否仍为该最值，且满足 Δ>0.