高中数学 | 二次函数中的a、b、c与不等式

一元二次不等式：画图就完了

只要把它看成一个二次函数，问的是「函数值什么时候大于 0、什么时候小于 0」——在图上就是看抛物线在 x 轴上方还是下方。

一句话核心

解不等式 = 画二次函数图像 → 看图说话。大于 0 取 x 轴上方，小于 0 取 x 轴下方。

一、先会画抛物线：四步

二、二次函数的三种形式

① 一般式　y = ax² + bx + c② 顶点式　y = a(x−m)² + n，顶点坐标为 (m, n)③ 两根式　y = a(x−x₁)(x−x₂)，x₁、x₂ 是两个根知道顶点用顶点式，知道两根用两根式，能互相转换。

三、韦达定理（根与系数关系）

x₁ + x₂ = −b/a　　，　　x₁ · x₂ = c/a

四、三道例题

例 1　基础题

解　x² + x − 6 < 0

因式分解：x² + x − 6 = (x+3)(x−2)开口向上（a=1>0），两根为 −3、2。「小于 0」取 x 轴下方，即两根中间一段：−3 < x < 2

例 2　开口向下 + 带等号

解　−2x² − x + 6 ≤ 0

因式分解：= (x+2)(−2x+3)开口向下（a=−2<0），两根为 −2、3/2。「小于等于 0」取 x 轴下方两边两段（≤ 端点可取）：x ≤ −2　或　x ≥ 3/2

例 3　带根号：换元法

解　x − 2√x < 3

令 t = √x（注意 t ≥ 0），则 x = t²，代入：t² − 2t − 3 < 0 = (t−3)(t+1) < 0开口向上，两根 −1、3，取中间：−1 < t < 3又 t = √x ≥ 0，故 0 ≤ √x < 3，两边平方：0 ≤ x < 9⚠ 别漏了隐含条件：根号里 x ≥ 0。

五、分式不等式：除号变乘号

当分式与 0 比较时，直接把「÷」换成「×」：

A/B > 0　⟺　A·B > 0（同号）A/B < 0　⟺　A·B < 0（异号）

例 4　右边就是 0

解　(x−1)/(x+2) > 0

直接转乘：(x−1)(x+2) > 0，两根 −2、1，开口向上取两边：x < −2　或　x > 1

例 5　右边不是 0（最易错）

解　(x−1)/(x+2) > 3

右边不是 0，不能直接乘！先移项通分：(x−1)/(x+2) − 3 > 0 = (−2x−7)/(x+2) > 0转乘：(−2x−7)(x+2) > 0，开口向下，两根 −7/2、−2，取中间：−7/2 < x < −2⚠ 若写成 ≥，注意分母 x+2≠0，即 x≠−2，右端 −2 的等号要去掉！

六、含参不等式：还是画图

式子带参数 a 也别怕，本质不变。按「开口 → 对称轴 → Δ → c」四步走，哪一步被参数影响就讨论哪一步。最常见的是 Δ 决定有没有根：

· Δ ≤ 0（没交点或相切）：开口向上的抛物线恒在 x 轴上方，小于 0 无解· Δ > 0：有两根 x₁ < x₂，小于 0 取中间一段 x₁ < x < x₂

七、一张清单避坑

① 先看开口，再决定「取两边」还是「取中间」② ≤、≥ 要带等号；分式端点要验分母不为 0③ 换元后必须换回原变量，且别忘了新变量自带范围（√x ≥ 0）④ 分式右边不是 0，先移项通分，别直接乘