【习题研讨】128. Ai:以小见大,高一月考卷填空压轴题的专题学习 --- 分式线性函数的迭代的周期性 (上)

我经常跟同学们说，你们在师资上多少吃了点亏，因为你们的老师——也就是我——即使再努力，毕竟也是第一次教高一的内容，难免会踩一些坑，也会有相当考虑不周、没有注意到的地方.

教数学和学数学是两回事. 自己会做、会理解，还不等于能把它教好. 教学既需要对学科扎实而深入的理解，也需要在实践中积累经验，还需要始终保持对教学的热忱. 这些都不是我能靠短时间的努力就能补齐的.

于是，也就有了这些课后的补充文章. 课堂上没讲完的内容、没讲透的问题，都要在课后复盘，再想办法补上. 尤其需要反思的是，自己有时还是沿用了重解题、轻概念的习惯，讲了题目怎么做，却没有把背后的基本概念和道理讲清楚，没有遵循第一性原理的原则.

本文的 90% 由 AI 完成，我在此基础上补充了一点点自己的讲解，并调整了一些表达，使得活人感更强，希望大家读起来更自然，也更便于高一小朋友理解. 

本月的月考题中，得分率是一道以分式线性函数为背景的一道填空压轴题，题面如下：

已知集合 ，其中  且 . 若对任意 ，都有 ，求  的值.

这题应该是上海 2019 年春季高考第 12 题的改编题. 原题如下：

12.（ 分）已知集合 ，，存在正数 ，使得对任意 ，都有 ，则  的值是 .

后来同年的上海交通大学附属中学自主招生中立即出现了其改编题：

数轴上的点  分别对应实数 . 若存在实数 ，使任意  都满足 ，则称  为完美数组. 已知 ，，，求全部完美数组.

答案：，，.

题目要求，两个区间的并集中的每个数，经过分式线性函数变换后，仍落在这个并集中. 利用函数的单调性，再结合“一个区间内的函数值不会跳过中间某一段”（或许可以称之为连续性和连通性）的直观认识，就能从端点的对应关系入手求解. 图示如下：

说起分式线性函数，我想起一段至今记忆犹新的面试经历. 22 年去 h2 面试时，当时还在 h2 的 wsz 老师问我：“为什么可以用特征根法求二阶常系数齐次线性递推数列的通项公式？”我当时高中的内容已经忘得一干二净，一脸茫然，没能解释清楚. 如今回头看，这面试问题多少和分式线性函数的迭代有着直接的联系，不过在此按下不表.

不过，猜完答案后，我们还想再往前走一步，多了解一些分式线性函数的一些性质.

形如  的函数，称为分式线性函数，其中  是实数，且 . 它的定义域为 .

可以把它理解为：分子、分母都是关于  的一次式或常数式，分母不能为零，整个分式也不能约成常数. 条件  正是为了排除退化成常数的情况.

例如，、 和  都是分式线性函数；而  在其定义域内恒等于 ，不属于本文讨论的分式线性函数.

这里允许 . 此时条件保证  都不为零，函数变为 ，即斜率不为零的一次函数.

有些分式线性函数在反复作用若干次后，会使每一个允许的初始值都回到自身，但并非所有分式线性函数都有这样的性质. 下面，我们先约定迭代的记号，再分别定义函数的迭代周期与点的迭代周期.

设函数  在非空集合  上有定义，且 . 这个条件保证：从  中任意一个数出发，每次计算得到的结果都可以继续代入.规定

称  为  的  次迭代. 例如，，. 注意，这里的下标表示代入次数， 并不是 .

函数的迭代周期. 如果存在正整数 ，使对所有  都有 ，就称  为  在  上的一个迭代周期. 其中最小的正整数，称为  在  上的最小迭代周期.

点的迭代周期. 对于某个确定的 ，如果存在正整数 ，使 ，就把最小的这样的  称为点  的迭代周期. 特别地，若 ，则称  为固定点，其迭代周期为 .

这两个概念的区别在于：函数的迭代周期要求所有点在同一次数后都回到原值，而点的迭代周期只考察一个点. 一个函数的最小迭代周期为 ，并不排除其中某些点一次就回到自身.

本文讨论的迭代周期，也不同于用  描述的周期性. 前者是反复代入函数，后者是平移自变量.

例一：最小迭代周期为 .

取 ，并令 . 对于 ，有 ，所以可以一直迭代.

直接计算可得 . 又因为 ，一次迭代并不能使所有点都保持不变，所以  在  上的最小迭代周期恰好为 .

例如， 与  来回对应. 不过，、，所以  和  都是固定点. 这正好说明，点的迭代周期与函数的最小迭代周期未必相同.

例二：最小迭代周期为 .

取 ，并令 .

这里不仅要排除 ，还要排除 ，因为 ，从  出发无法进行第二次代入. 排除这两个数后，便有 .

计算得到 、. 而从  出发，依次得到 、、，直到第三次才回来. 因此， 在  上的最小迭代周期为 .

例三：最小迭代周期为 .

取 ，并令 . 可以验证 .

依次计算得到

从  出发，四次代入的结果依次为 、、、. 前三次都没有回来，所以  在  上的最小迭代周期恰好为 .

这些例子也提醒我们：讨论迭代前，必须先确定一个能够一直代入的集合，不能只看化简后的最后一个式子.

本题中的函数是 . 它满足 ，并非偶然.

考虑一般的分式线性函数 ，其中 . 如果  互为相反数，即 ，那么

这里的约分是合法的，因为  此时等价于 .

还要检查第二次代入是否有意义. 对自然定义域中的任意 ，有 ，所以计算结果不会落到分母为零的位置，各次迭代都能继续进行.

在上述非退化条件下， 也不可能是恒等函数. 事实上，若  恒成立，就有  恒成立，从而 ，与  矛盾.

因此，我们得到：对于实系数的非退化分式线性函数，当分子的  项系数与分母的常数项互为相反数时，函数在其自然定义域上的最小迭代周期为 .

本题恰好对应 、、、. 因而，对任意 ，都有 . 也就是说，把一个数代入这个函数，再把所得结果代入一次，就会回到原来的数. 这一性质，是解开本题的关键.

为了简洁地描述一个集合经过函数作用后的结果，我们先引入一个记号. 对于定义域内的集合 ，把其中每个数代入函数 ，所得函数值组成的集合记为 ，即

例如， 表示：对任意 ，都有 . 而  还要求： 中的每一个数，都能由  中的某个数经过函数作用得到. 两者的区别，就在于有没有遗漏.

现在回到原题. 记 、，则 ，且两个区间互不相交， 在  的左侧. 题设条件可以写成 .

不过，本题的函数满足 ，这使得“映入自身”实际上变成了“恰好映回自身”.

具体来说，任取 ，由题设可知 ；再令 ，便有 ，且 . 因此， 中的每一个数都没有被遗漏，即 . 结合题设，得到 .

如果把  理解为集合  中所有数经过两次函数作用所得的集合，上面的推理也可以简写为

所以 .

接下来，我们要把“整个集合映回自身”，转化为“两个区间如何对应”.

先从图像上理解. 函数  的图像有两支，在  和  上分别严格递减. 由于 ，每个区间都完整地落在其中一支所对应的定义区间内. 沿着这一支图像移动，输入连续走过一个区间，输出也会走过一个完整的区间，而且左右端点的对应顺序相反.

这个直觉可以直接用代数说明，无须引入新的定理.

设区间  不含 ，且 . 对任意 ，有 ，所以  在  上严格递减.

于是， 时，必有 . 反过来，任取 ，由于 ，可知 、 位于  的同一侧. 再利用递减性和 ，可得 . 令 ，就有  且 .

因此，区间的对应关系确实是 ，中间没有遗漏.

特别地，、 都是完整的区间. 其中任何一个都不可能既包含  中的点，又包含  中的点，否则也会包含两个区间之间的某些数，与  矛盾. 又因为 ，它们也不能都落在同一个区间内. 因而，两个像区间必须分别覆盖 、.

所以，只有下面两种情形.

情形一，两个区间各自映回自身，即 、.

由于函数在每个区间上严格递减，左右端点交换，因此 、.

这里还要先确定两个区间分别位于哪一支. 如果它们都在  的同一侧，那么由于  在  的左侧，递减性会使  整体位于  的右侧，这与 、 矛盾. 因此， 必须位于  的左侧， 必须位于  的右侧.

由 ，整理得 . 结合 ，取 .

由 ，整理得 . 结合 ，取 .

还需检查这一组数确实符合题意. 此时 ，两个区间互不相交，且都不含 . 上述方程给出了各区间一对端点的对应关系，再利用 ，另一对端点的对应关系也随之成立. 因此，两个区间确实各自映回自身.

情形二，两个区间彼此交换，即 、.

函数在  上严格递减，所以  的左端点对应  的右端点， 的右端点对应  的左端点. 因而

分别整理，得到 、. 两式相减可得 ，代回第一式，得到 ，即 .

若 ，则 ，不满足题设的 ，舍去.

若 ，则 ，于是 、. 直接计算可得 、、、. 结合各区间上的递减性，两个区间确实彼此交换，符合题意.

综上，

回头看，这道题的直觉就是：函数作用两次就能还原，结合题设的映入条件，便可保证集合中的数不会被遗漏；本题中，一个完整区间经过函数作用仍是完整区间，所以它不能跨过两个区间之间的空隙；每一支上的函数严格递减，所以区间对应时，左右端点必须交换.

今天就写到这里了，下一期我们将进一步讨论分式线性函数的周期，把原题改成三个区间的并，并且和一些其他问题联系起来！