沪科版 七年级数学上册

第3章　一次方程与方程组

单元学习目标

1．理解方程、方程的解等概念，掌握等式的基本性质；

2．掌握一元一次方程的解法步骤，能熟练解一元一次方程；

3．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程解决实际问题；

4．理解二元一次方程组及其解的概念，会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；

5．能列二元一次方程组解决实际问题；了解三元一次方程组的解法（选学）。

一次方程与方程组  知识点梳理

知识结构图

知识点1　方程与方程的解

（1）含有未知数的等式叫做方程。判断一个式子是不是方程，要看两点：①是等式；②含有未知数。例如2x+1=5是方程，而2+3=5（不含未知数）、2x+1（不是等式）都不是方程。

（2）能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解（只含一个未知数的方程的解也叫做方程的根）。求方程的解的过程叫做解方程。

【例1】

检验x=3和x=-2是不是方程2x-1=x+2的解。

解：当x=3时，左边=2×3-1=5，右边=3+2=5，左边=右边，所以x=3是方程的解；

当x=-2时，左边=2×(-2)-1=-5，右边=-2+2=0，左边≠右边，所以x=-2不是方程的解。

知识点2　等式的基本性质

性质1：等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。即若a=b，则a±c=b±c。

性质2：等式的两边都乘同一个数，或都除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。即若a=b，则ac=bc；若a=b，c≠0，则ac=bc。

知识点3　一元一次方程及其解法

（1）只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。一般形式为ax+b=0（a≠0）。

（2）解一元一次方程的一般步骤：

【例2】

解方程：3x−14-1=5x−76。

解：去分母（两边同乘12），得3(3x-1)-12=2(5x-7)；

去括号，得9x-3-12=10x-14；

移项，得9x-10x=-14+3+12；

合并同类项，得-x=1；

系数化为1，得x=-1。

知识点4　一元一次方程的应用

列方程解应用题的一般步骤：审（审清题意，找出等量关系）→设（设未知数）→列（列方程）→解（解方程）→验（检验解是否符合实际）→答（写出答案）。

常见题型及等量关系

行程问题常借助线段图分析：

图1　相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离

图2　追及问题：快者路程-慢者路程=出发时相距的路程

【例3】

一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要18天完成。现由甲队先单独做3天，剩下的由两队合做，还需几天完成？

解：设还需x天完成。把总工作量看作1，甲的工作效率为112，乙的工作效率为118。

依题意得312+(112+118)x=1，两边同乘36，得9+(3+2)x=36，解得x=5.4。

答：还需5.4天完成。

知识点5　二元一次方程（组）

（1）含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解，二元一次方程有无数个解。

（2）由两个一次方程组成，共含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。方程组中各个方程的公共解叫做这个方程组的解。例如{x=2y=1是方程组{x+y=3x−y=1的解。

知识点6　解二元一次方程组

解二元一次方程组的基本思想是消元，即把“二元”转化为“一元”。

（1）代入消元法

步骤：①从一个方程中用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②代入另一个方程，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④把求得的值代回，求另一个未知数的值；⑤写出方程组的解。

【例4】

用代入法解方程组{2x+y=73x−2y=0。

解：由①得y=7-2x③。把③代入②，得3x-2(7-2x)=0，即7x=14，x=2。把x=2代入③，得y=3。

所以原方程组的解是{x=2y=3。

（2）加减消元法

当两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，把两个方程的两边分别相减或相加，就能消去这个未知数；若系数不等，可先将方程两边乘适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。

【例5】

用加减法解方程组{2x+3y=123x−2y=5。

解：①×2，得4x+6y=24③；②×3，得9x-6y=15④。③+④，得13x=39，x=3。

把x=3代入①，得6+3y=12，y=2。所以原方程组的解是{x=3y=2。

知识点7　三元一次方程组（选学）

含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解法思路：三元→二元→一元，逐步消元。

【例6】

解方程组{x+y+z=12x+2y=162x−y+z=6。

解：①-③，得-x+2y=6④。②+④，得4y=22，y=112。代入②，得x=16-11=5。代入①，得z=12-5-112=32。

所以原方程组的解是{x=5y=112z=32。