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深入学习高中数学——向量
向量其实最先出现在物理研究中，物理研究现实世界，数学比较抽象而已，其实是相通的。
向量or矢量
物理学中的矢量是既有大小又有方向的物理量，光知道数值不够，还得知道朝哪边，运算时不能直接加减数字，要用几何法则，例如力、速度。
例如人用绳子拉地面上的箱子，给的力与水平方向夹角为θ，箱子水平移动了，求拉力做了多少功？我们用力的分解，拉力在水平方向的分量为,那么。
矢量既有大小又有方向，用有向线段来表示，在数学领域内另起个名字叫向量，也就是既有大小又有方向的量。 前面我们在计算力做功时，其实就是力在位移方向上的分量大小与位移大小的乘积。那向量引入后能起到什么作用呢？下面我们在直角坐标系里研究一下：
向量我们用小写字母上面加一个箭头表示，也可以用起点终点加箭头表示。上图中三个向量，，，我们参照点坐标方式描述了向量，这样既有方向也有大小了，例如方向是从原点指向点，大小是,向量的大小称为模。
上面说了这么多还没看出来有什么用，下面继续展示：
假设某一物体在力的作用下产生位移，求力对物体做功多少？
前面我们知道，转换成向量的含义就是
要求，我们借用余弦定理，假设三角形ABO，，，原点O,则
，，
，
最终可化简后得到
那么做功，
带入后，得到
平面向量的运算
一个物体如果同时受两个力作用，因为力是矢量，计算合力的话不能单纯加减，需要平行四边形法则。又例如一个物体先位移，然后又位移，那就等于两个向量首尾相连，利用三角形法则，得到。其实如下面动图所示，向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质是一样的，我们可以把向量看做是可以平移的量。
向量的减法和加法相反，设动图中橙色的向量，那么就有，。
向量的数乘运算
前面学习了向量的加减法，那是什么呢？先写成吧，应该没毛病，看上去还是一个向量，方向和相同，模是它的2倍。
我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by sca-lar)，记作入，它的长度与方向规定如下:
(1) ||=|λ|||;
(2)当λ>0时，的方向与的方向相同;当λ<0 时，的方向与的方向相反.
两个向量方向相同或相反，我们可以称之为共线，向量与共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ，使。
平面上，任意向量（包括零向量）均可用两个非零且不共线的向量、表示，即为任意实数)。
这里用来表示向量的两个非零向量、就称为向量a的一组基底。注意以下几个方面的要点：
（1）基底向量、不共线；
（2）作为基底的向量不能是零向量，即、（这里0指零向量），一组基底并非一个非零向量，而是指两个都是非零向量；
（3）用基底、表示向量时，实数、的取值是唯一的。当基底为、时，即有且只有一对实数使得。
向量的数量积
一开始的时候我们用力、位移、做功来讨论了，，这里其实就是和的数量积，其中θ(0≤θ≤π)叫做两个向量的夹角。数量积又叫点积或内积。因为叫做点积，那就用一个表示：
显然，功是标量，只有大小，没有方向，说明两个向量的数量积是一个数量。 由于向量是有方向的，两个向量的夹角可能是钝角或平角。 如果两个向量夹角为，由于，那么两个向量的数量积也为0。可以用两个非零向量的数量积是否为0，来判断两个向量是否垂直。
下面我们用向量的概念来证明余弦定理，体会一下向量的数量积的概念。
如图，
一个向量和其自身的夹角为0，夹角余弦值为1，所以，上式转换为
其中最终可得：
与余弦定理形式一样。
①，那么向量，即终点坐标对应减起点坐标。
②，那么向量。
③，那么向量。
平面向量例题
向量跟多是作为工具来使用，高考中多有难度较小的选择题出现。
2024年全国一卷
已知向量，若，则( )。
解析：由垂直关系可知，将向量坐标带入，
解得：
空间向量
类似于平面向量，空间向量也有数乘、数量积，规则如下：
①，那么向量，即终点坐标对应减起点坐标。
②，那么向量。
③，那么向量。
以下内容仅做兴趣学习，高中数学中没有。
平面向量的外积
前面在数量积部分可以看到，数量积又叫内积，那有外积吗？
已知向量的数量积：
我们变化一下试试：
这表示什么呢？
既然内积和求向量夹角余弦值有关，
我们不妨试试外积跟夹角正弦值有关吗，先猜测：
下面证明试试：
，
上式化简后得到：
上式又等价于：
有没有感觉很相似？我感觉这条路走对了！
平面向量的外积(叉积)结果是一个标量，计算公式为
几何意义是两向量构成的平行四边形的有向面积：外积的绝对值等于以两向量为邻边构成的平行四边形的面积；结果为正表示从到是逆时针方向，为负表示顺时针方向。这里的θ是指到的角度，是有方向的，取值范围是； 若外积结果为0，则两向量共线（平行或反向）。
空间向量的向量积
其实严格来说向量积只在三维及以上空间有定义，平面向量向量积是其在平面上的投影应用。
空间向量，
我们定义：
现在还是一个向量，这个向量有什么特点呢？
向量和的点积为0，说明
，
经过检验也可以得到
因为，，说明是向量所在平面的法向量。
那向量的模表示什么呢？
类似平面向量的外积，根据
说明：两个空间向量的向量积仍是一个向量，而且是向量所在平面的法向量，其长度(模)是向量组成的平行四边形的面积。
