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初中数学解题技巧——怎样化简二次根式并运算之除法法则与单项式分母有理化
怎样化简二次根式并运算
二次根式除法法则与单项式分母有理化
前言
二次根式除法是根式运算的核心法则，也是分母有理化的基础。
本讲先学习除法公式、化简规则，重点掌握单项式分母有理化的标准操作，理清有理化的目的与依据，为后续多项式分母有理化、根式混合运算打好基础。
二次根式除法法则
√a/√b=√(a/b)（a≥0，b＞0）
即：两个算术平方根相除，等于被开方数相除的算术平方根。
逆用
√(a/b)=√a/√b=√(a/b)（a≥0，b＞0）
用途：根号里面是分数时，把根式拆开，是化简分式型二次根式的第一步。
重点限制：b不能等于 0，同时b>0，分母不能为 0，被开方的除数不能是负数。
反例
√(-4)/√(-2)=√[(-4)/(-2)]
❌️，负数不能直接放在根号内做除法
分母有理化的定义
分母里面含有根号，不是最简二次根式；通过恒等变形，把分母中的根号去掉，这个过程叫做分母有理化。
单项式分母
分母只有一项，形如√2、√(3a)这类。
有理化因式(单项式)
√m的有理化因式就是√m
原理：√m·√m=m，乘积之后根号消失
解题步骤
先利用除法法则，整理根式；
观察分母，确定分母的有理化因式；
分子、分母同时乘这个有理化因式（分式基本性质，值不变）；
分别化简分子、分母，最后化成最简二次根式。
常见易错点
做除法时，容易忽略b>0，直接写b≥0，分母为 0 无意义；
有理化只给分母乘、分子忘记同乘，分式大小改变；
有理化之后，分子还能继续约分、化简，没有化到最简；
带字母的题目，漏掉字母取值范围的判断。
示例
1、化简(√24)/(√3)
【解析】
直接用除法法则，先合并根号内的除法，再化简根式
【答案】
解：(√24)/(√3)=√(24/3)=√8=2√2
2、化简√(2/5)
【解析】
根号内是分数，逆用商的算术平方根，再做分母有理化。
【答案】
解：原式=(√2)/(√5)=[(√2)·(√5)]/[(√5)·(√5)]=(√10)/5
3、化简(4√6)/[3√(2a)]
【解析】
先约分系数与根式，再对剩余单项式分母有理化，注意a>0的条件。
【答案】
解：(4/3)·{(√6)/[√(2a)]}=(4/3)·{√[6/(2a)}=(4/3)·√(3/a)=[4√(3a)]/(3a)
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