初中数学解题技巧——怎样化简二次根式并运算之二次根式乘法公式

二次根式乘法公式压轴题，是整式乘法公式的迁移应用。

本讲重点掌握平方差、完全平方在根式中的变形，学会整体配对、连乘重组的巧算思路，避开硬算带来的繁琐与符号错误

根式里同样能用平方差与完全平方。见到共轭配对先平方差得有理数；见到相同整体连乘，先把配对结合再整体平方，大幅简化。

平方差：(√a+√b)(√a-√b)=a-b

完全平方：(√a±√b)²=a+b±2√(ab)

积的乘方整体结合：(A・B)²=A²・B²，先配对再乘方

1. 识别式子中是否存在共轭配对、重复的整体因式；

2. 优先把共轭一组用平方差，转化为有理数；

3. 连乘形式利用积的乘方，先结合配对再乘方；

4. 完全平方展开，分别计算平方项、交叉项；

5. 合并同类二次根式，最终化成最简根式。

误区 1：完全平方漏交叉项 2√(ab)，或者交叉项忘记乘前面的系数 

正解：[(m√a)±(n√b)]² = m²a + n²b ± 2mn√(ab) 

误区 2：平方差结果错写成 a+b 

正解：(√a+√b)(√a-√b)=a−b 

误区 3：不会整体结合，逐项硬乘，计算量大还容易算错 

正解：同组共轭因式优先打包，利用积的乘方统一处理 

误区 4：括号前是负号，平方展开后符号处理出错 

正解：(-A)²=A²，平方之后结果恒正

1、计算 (√6+√5)(√6-√5)

【解析】

平方差直接得有理数

【答案】

解：原式 = 6-5=1

2、计算 (2√3-√2)²

【解析】

完全平方，注意系数与交叉项原式 = 12+2-2・2√3・√2=14-4√6

【答案】

解：原式 = 12+2-2・(2√3)・(√2)=14-4√6

3、计算 (√3+√2)²(√3-√2)²

【解析】 

整体结合为 [(√3+√2)(√3-√2)]²

【答案】

解：原式 =[(√3+√2)(√3-√2)]²=(3-2)²=1

4、计算 (√5+√2)(√5-√2)(√5+√2)²

【解析】 

先分组配对，连续用平方差 + 积的乘方，先凑有理数.

【答案】

解：原式 

=[(√5+√2)(√5-√2)]・(√5+√2)² 

=(5−2)・[5+2+(2√10) ]

=3・[7+(2√10)]

=21+6√10

5、计算 (√7−√3)²(√7+√3)²

【解析】 

整体打包，积的乘方逆用，一步配对

【答案】

解：原式 =[(√7−√3)(√7+√3)]²=(7−3)²=4²=16