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小题精练05 万有引力与航天问题
一、开普勒三定律
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律
(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处
在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等
的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律
(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转
周期的二次方的比值都相等
＝k，k 是一个与行星无关
的常量
二、天体质量、密度的计算
三、地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
在地面附近静止忽略自转：G Mm
R
2 = mg，故GM =gR
2（黄金代换式）
考虑自转
两极：G Mm
R
2 = mg
赤道：G Mm
R
2 = m g0+ m ω
2R
（天体）卫星在圆
轨道上运行
G Mm
r
2 = Fn={
m an→an=GM
r
2 →an∝1
r
2
m v
2
r →v= ❑√
GM
r
→v∝1
❑√r
m ω
2r→ω= ❑√
GM
r
3 →ω∝1
❑√r
3
m 4π
2
T
2
r→T= ❑√
4π
2r
3
GM
→T∝
❑√r
3
“高轨低速大周期”
四、卫星变轨的基本原理
1.卫星的发射及变轨
卫星的
发射第一宇宙速度：v= ❑√
GM
R
= ❑√gR =7.9km/s，是最小发射速度和最大环绕速度，等于近地卫
星的运行速度；不同的星球g、R不同，第一宇宙速度不同
卫星的
变轨
（1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度变小、动能变小、机械能变
大；由高轨变低轨，反之。
（2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
（3）根据开普勒第三定律可知，半径（或半长轴）越大，周期越长
2.两种特殊卫星
卫星
特点
地球同步卫
星
（1）周期与地球自转周期相等，T=24h。
（2）高度固定不变，h=3.6×10
7m。
（3）运行速率约为v=3.1km/s
近地卫星
（1）轨道半径r=R（地球半径）；
（2）运行速度等于第一宇宙速度v=7.9km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速
度）；
（3）T=85min（人造地球卫星的最小周期）
【例题1】（2025·浙江嘉兴·一模）在某次深空探测活动中，科学家发现两颗恒星A、B 相对静
止绕着共同的圆心O 在同一平面内做匀速圆周运动，A、B 连线经过O 点，P 是A、B 连线与A
运动轨道的交点，某时刻空间位置如图所示。小禹同学猜想，这个系统中如果还存在一个天体
C，应该也可以实现三个天体都绕着O 匀速转动。若这是一个A、B、C 组成的“三星系统”，
则（ ）
A．A 的质量小于B 的质量
B．C 可能位于A、B 连线的中垂线上
C．若C 与A 质量相等，C 可能位于P 点
D．若C 的质量远小于A、B 的质量，C 一定在B 的外侧
【例题2】（2025·浙江·二模）2025 年11 月1 日，神舟二十一号载人飞船成功对接于空间站天和
核心舱；将载人飞船的变轨过程简化为以下模型：飞船变轨前绕地稳定运行在圆形轨道Ⅰ上，椭
圆轨道Ⅱ为飞船的转移轨道，核心舱绕地沿逆时针方向运行在圆形轨道Ⅲ上，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和
Ⅲ分别相切于A、B 两点，下列说法正确的是（ ）
A．飞船分别在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行时经过A 点的向心加速度相等
B．飞船在轨道Ⅰ上的速度小于天和核心舱在轨道Ⅲ上的速度
C．飞船应先变轨到轨道Ⅲ，然后再与天和核心舱对接
D．飞船在转移轨道上从A 向B 运行的过程中宇航员处于超重状态
1.
（2025·浙江·一模）国产AI 已经发展到世界领先水平，小黄用某国产AI 软件搜索“木星与地球的
重要参数比较”，得到如表格所示的信息。已知木星、地球都是绕太阳公转的行星，忽略天体自转
对重力的影响，根据表格中的数据，下列分析正确的是（ ）
木星
地球
直径/km
1.43×10
5
1.27×10
4
质量/kg
1.90×10
27
5.97×10
24
与太阳的平均距离/km
7.79×10
8
1.50×10
8
A．木星的公转周期小于地球的公转周期
B．木星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
C．木星公转的向心加速度大于地球公转的向心加速度
D．木星受到太阳的万有引力小于地球受到太阳的万有引力
2.
（2025·浙江温州·一模）2025 年8 月，在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭，成功将“互联网
低轨08 组卫星”送入高度约550km 的近地轨道，已知卫星的运动可视为匀速圆周运动，下列说法
正确的是（ ）
A．卫星在轨道上运动时，所受重力为零
B．卫星的线速度保持不变，且小于7.9km/s
C．卫星在轨运行的角速度大于地球自转的角速度
D．卫星可长期定点在北京正上空以提供互联网服务
3.
（2025·浙江湖州·模拟预测）2024 年3 月20 日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球
背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24h 的环月椭圆冻结轨道（如图），近
月点A 距月心约为2.0×103km，远月点B 距月心约为1.8×104km，CD 为椭圆轨道的短轴，下列说法
正确的是（ ）
A．鹊桥二号在A、B 两点的加速度大小之比约为81 1∶
B．鹊桥二号在C、D 两点的速度相同
C．鹊桥二号从C 经B 到D 的运动时间等于12h
D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s 且小于11.2km/s
4.
（2025·浙江·一模）科学家相信宇宙是和谐的，1766 年，德国科学家提丢斯研究了下表中太阳系中
各个行星的轨道半径（以AU 为单位），他发现了一个规律，各行星到太阳的距离可近似用公式
r =0.4+0.3×2
n−2表示（其中n 为正整数），但同时又注意到公式中n=5，即r =2.8AU 的地方少
了一颗行星，1801 年后，科学家陆续发现这一区域存在大量小行星。假设所有行星的公转轨道近似
可看作圆，下列说法正确的是（ ）
行星
水星
金星
地球
火星
木星
土星
轨道平均半径r/AU
0.39
0.72
1.00
1.52
5.20
9.54
A．小行星带处于木星与土星之间
B．水星离太阳最近，由此可知受太阳引力最大
C．火星的公转周期小于2 年
D．金星公转的线速度与地球公转的线速度之比约为0.85
5.
（2025·浙江宁波·一模）嫦娥五号返回器携带月壤绕月飞行的轨迹如图所示，其轨迹形似弹簧螺旋
状。将嫦娥五号沿近月轨道绕月运行视为匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀
速圆周运动的平面可看作垂直。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，嫦娥五号离月面的高度
为h，且r ≫R，地球质量为m地，月球质量为m月，嫦娥五号质量为m嫦，引力常量为G，则（
）
A．月球绕地球运行的线速度大小为❑√
G m地
R
B．嫦娥五号受到月球的万有引力大小为G m月m嫦
h
2
C．当月球绕地球运行一圈时，嫦娥五号绕月球运行❑√
m月r
3
m地(R+h)
3
圈
D．当嫦娥五号绕月球运行一圈时，月球沿轨道运行的长度为2π
❑√
m地(R+h)
m月r
6.
（2025·浙江·一模）如图所示，卫星甲、乙、丙沿轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ绕某一星球转动。其中轨道Ⅰ、
Ⅲ为圆轨道，其半径分别为R、2 R。轨道Ⅱ为长轴AC长4 R的椭圆轨道，与轨道Ⅰ切于A点，与
轨道Ⅲ交于B点。下列说法正确的是（ ）
A．卫星甲、乙、丙的绕行周期T 乙>T 丙>T 甲
B．卫星乙从A 点运动到C 点的过程中机械能增加
C．卫星乙在B 点的向心加速度比卫星丙小
D．卫星乙的机械能与卫星丙一定相等
7.
（2025·浙江·一模）2025 年8 月4 日，中国在海南商业航天发射场，成功将卫星互联网低轨07 组
（搭载9 颗功能不同的卫星）发射升空。此次卫星的运动高度为900 公里左右，轨道平面倾角为
50°左右。以下说法正确的是（ ）
A．07 组在发射升空过程中，重力加速度随高度而减小
B．07 组在轨稳定运行时，线速度的大小约为8.0×103m/s
C．9 颗卫星若运行的高度相同，则线速度也相同
D．9 颗卫星若运行的高度相同，则机械能一定相同
8.
（2025·浙江·一模）第二宇宙速度是在行星上发射一卫星挣脱行星引力束缚的最小发射速度。已知
地球平均半径与火星平均半径之比为k1，两物体分别在离地球表面与离火星表面同样高度处做自由
落体运动到达星球表面所花时间之比为k2；若取离行星无穷远处的引力势能为零势能点，则行星与
卫星间引力势能Ep=−G Mm
r
，其中M、m分别为行星和卫星的质量，r 为卫星与行星中心的距离。
则地球的第二宇宙速度与火星的第二宇宙速度之比为（ ）
A．
1
k2
2❑√k1
B．
1
k1
2❑√k2
C．
❑√k1
k2
D．
❑√k2
k1
2
9.
（2025·浙江·一模）哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为r1，
在远日点与太阳中心的距离为r2，若地球的公转轨道可视为半径为r的圆轨道，哈雷彗星的公转周
期为T，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．彗星的质量M = π
2(r1+r2)
3
2GT
2
B．在近日点与远日点的速度大小之比为❑√
r2
r1
C．在两轨道交点处，地球和彗星的向心加速度相同
D．彗星在近日点的速度大于地球的公转速度
10. （2025·浙江温州·一模）地球绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。地球近
日点到太阳的距离约为1.471×10
8km，远日点到太阳的距离约为1.521×10
8km。不考虑其他天体
的影响，则地球在近日点和远日点的线速度大小之比约为（ ）
A．1.53
B．1.03
C．0.97
D．0.73
11.
（2025·浙江嘉兴·一模）哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心
的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，若地球围绕太阳的公转轨道可视为半径为r 的圆轨
道，地球的公转周期为T0，则（ ）
A．哈雷彗星的质量为M = π
2(r1+r2)
3
2GT 0
2
B．哈雷彗星在近日点与远日点的加速度大小之比为r2
2
r1
2
C．无法得到哈雷彗星在近日点和远日点的速度大小之比
D．哈雷彗星的公转周期T =
❑√(
r1+r2
r )
3
T 0
12. （2025·浙江金华·一模）如图所示，实线是地球赤道上空的静止卫星轨道，静止卫星寿命终结时，
它会被二次变速通过椭圆转移轨道推到虚线所示同步轨道上空约300 公里处的“坟场轨道”。已知
地球自转周期为T，引力常数为G，地球质量为M，根据上面提供的信息，下列得到的结论中正确
的是（ ）
A．地球的密度为3π
2
GT
2
B．地球静止卫星离开地面高度为3√
GM T
2
4π
2
C．卫星从同步轨道转移到“坟场轨道”后速度变大
D．宁波的纬度约为30°，定点在经度与宁波经度相同的静止卫星，晚上从宁波观察静止卫星与
水平面的视角大于30°
13. （2025·浙江湖州·一模）如图所示，地球静止轨道卫星甲和沿椭圆轨道运行的卫星乙在同一平面上
绕地球转动。甲的圆轨道直径与乙的椭圆轨道长轴相等。A、B 分别是椭圆的近地点和远地点，P
点为两轨道的交点。则（ ）
A．当乙从A 点第一次运动到B 点，甲刚好转动一周
B．某一时刻甲、乙的速度大小相同
C．甲、乙在P 点时加速度大小不同
D．甲的机械能一定比乙的机械能大
14. （2025·浙江·三模）已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2= ❑√
2G M E
RE
，其中G、ME、
RE分别是引力常量、地球质量和半径，在目前天文观测范围内宇宙物质的平均密度为10
−27kg/m
3，
如果我们认为宇宙是一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度，因此任何
物体都不能脱离宇宙。已知光速c =2.9979×10
8 m/s，引力常量G =6.67×10
−11N ⋅m
2/kg
2，则宇
宙半径的数量级为（ ）
A．1024m
B．1026m
C．1028m
D．1030m
15. （2025·浙江·二模）如图所示为嫦娥六号探测器登月的简化过程，探测器从地球表面a 点发射至地
月转移轨道，在b 点被月球捕获后沿椭圆轨道运动，进而在b 点变轨后沿近月圆形轨道运动，则探
测器（ ）
A．探测器被月球捕获后在椭圆轨道上经过b 点时应该加速才能进入圆形轨道
B．探测器在椭圆轨道上b 点的速度大于月球的第一宇宙速度
C．探测器在地月转移轨道上远离地球时的速度均大于7.9km/s
D．探测器在椭圆轨道上的周期小于圆形轨道上的周期
16. （2025·浙江·二模）如图所示，火星与地球可视为在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。
已知地球的公转周期为T，火星轨道半径是地球轨道半径的k 倍。地球从a 运行到b、火星从c 运行
到d 的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2。下列说法正确的是（ ）
A．若S1小于S2，则可以判定从a 运行到b 的时间小于从c 运行到d 的时间
B．火星与地球做圆周运动的向心力大小之比为1:k
2
C．火星与地球做圆周运动的角速度之比为1:
❑√k
3
D．火星的公转周期为kT
17. （2025·浙江绍兴·模拟预测）中国计划于2028 年前实施天问三号火星探测任务。假设天问三号火星
探测器从地球发射后，由图（a)所示的A 点沿地火转移轨道到C 点，再依次进入图（b）所示的调
相轨道和停泊轨道。已知地球、火星绕太阳做圆周运动的轨道半径分别为R1、R2，图（b）中阴影
部分面积为探测器在不同轨道上运行时与火星中心连线在相同时间扫过的面积。则（ ）
A．图（b）中两阴影部分的面积相等
B．探测器从调相轨道变到停泊轨道需要在P 点加速
C．探测器从A 点转移到C 点的时间为1
4
❑√
(R1+ R2)
3
2 R1
3
年
D．探测器在地火转移轨道上的速度均大于地球绕太阳的速度
18. （2025·浙江金华·三模）在太阳光照射下，卫星太阳能板将光能转化为的电能为卫星设备提供能源。
一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星与地心的距离为地球半径的❑√2倍，卫星圆形轨道平面与地球赤
道平面重合，卫星的运行周期为T。下列判断正确的是（ ）
A．卫星的运行周期T 约为近地卫星运行周期的2 倍
B．卫星的运行速度约为第一宇宙速度的❑√2倍
C．卫星运行轨道上各点的重力加速度为地球表面的
❑√2
2
倍
D．卫星运行一周，太阳能收集板转化电能的时间约为3
4 T
19. （2025·浙江·二模）2023 年11 月29 日美国《自然》杂志发表了新发现----“完美太阳系”。星系中
的6 颗行星大小差不多，以一种和谐的方式围绕一颗恒星a 公转。6 颗行星依照离恒星由近到远被
以英文字母b、c、d、e、f、g 编号。星系中的行星存在罕见的轨道共振现象，其中，b、c、d、e 这
四颗行星存在3 比2 的轨道共振率，即离恒星较近的行星每公转3 圈，紧邻它外侧的行星公转2 圈。
e、f、g 的轨道共振率是4 比3。把行星的运动简化为圆周运动，且只受到中央恒星的引力作用。令
b 行星的运行周期为T，下列选项中正确的为（ ）
A．行星c 与行星e 的运行周期之比为9：4
B．a、b、d 三个天体每经过9
5 T时间会重新处于同一直线
C．行星b 与行星g 的运行轨道半径之比rb:r g=
3√
81
4
D．经过时间t（t<T）后b 行星与d 行星运动划过的面积之比为Sb:Sd =( 2
3 )
2
3
20. （2025·浙江·三模）如图所示，卫星甲、乙沿不同轨道绕半径为R 的某一星球转动。其中，卫星甲
在竖直平面内做匀速圆周运动，其距星球表面的高度为R；卫星乙在水平面上做长轴为4R 的椭圆
运动。则（ ）
A．甲的运行周期比乙的大
B．甲的平均速率比乙的小
C．某时刻甲的速率与乙的速率相等
D．甲的加速度大小始终比乙的小
21. （2025·浙江温州·三模）“食双星”是特殊的双星系统，由两颗亮度不同的恒星组成，它们在相互
引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，且轨道平面与观测者视线方向几乎平行。由于两颗恒星
相互遮挡，造成观测者观察到双星的亮度L 发生周期性变化，如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒
星轨道半径分别为r1和r2（r1和r2远小于该双星系统到观测者的距离）。下列说法正确的是
（ ）
A．t2时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星
B．较亮的恒星与较暗的恒星质量之比为r2
r1
C．两颗恒星做匀速圆周运动的周期均为(t2−t1)
D．较亮的恒星线速度与较暗的恒星线速度之比为❑√
r1
r2
22. （2025·浙江宁波·三模）某同学想利用小孔成像实验估测太阳的平均密度。设计如图所示的装置，
不透明的圆桶上底密封，但中央有一小孔O，下底为半透明纸。将圆桶轴线正对太阳，可在半透明
纸上观察到太阳的像的直径d =1cm。已知圆桶长L=1m，引力常量G =6.67×10
−11N ⋅m
2/kg
2。
根据以上信息可得到太阳的平均密度的数量级为（ ）
A．10
1kg/ m
3
B．10
3kg/ m
3
C．10
5kg/ m
3
D．10
6kg/ m
3
23. （2025·浙江湖州·三模）“四星一线”是指太阳、地球、月球和火星依次排成一条直线。当天，先
出现“火星冲日”（太阳、地球和火星三者依次且几乎排成一条直线）的天文现象，随后月球也出
现在同一条直线上，上演了罕见的“四星一线”天文现象。已知火星绕太阳运动的轨道半径约为地
球的1.5 倍，则（ ）
A．1 年后将再次出现“四星一线”的天文现象
B．1.5 年后将再次出现“火星冲日”的天文现象
C．地球绕太阳运动的向心加速度约为火星的2.25 倍
D．地球和火星分别与太阳的连线，在相同的时间内扫过的面积相等
24. （2025·浙江金华·三模）“天问二号”探测器即将出征，将再次创造中国航天新高度。假设“天问
二号”绕地球的运动可视为匀速圆周运动，距地面的高度为h，飞行n 圈所用时间为t，“天问二
号”的总质量为m，地球半径为R，引力常量为G，则（ ）
A．地球的质量M = 4π
2n
2 R
3
Gt
2
B．地球表面的重力加速度g= 4π
2n
2
t
2 R
2
(R+h)
3
C．探测器的向心加速度a=
Gm
(R+h)
2
D．探测器的线速度v = ❑√
2πnR
t
25. （2025·浙江杭州·二模）如图所示，地球公转所处的四个位置A、B、C、D 分别大致对应四个节气。
夏至和冬至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，地球在相同时间内的路程分别为s1、s2且
有s1<s2，F1、F2是椭圆的两个焦点，下列说法正确的是（ ）
A．太阳处于F1处
B．从春分到夏至的过程中地球做加速运动
C．在夏至和冬至时太阳对地球的引力之比为r2
2:r1
2
D．根据题目和图中信息可以求出地球质量
