文档文本内容
微专题五 带电粒子在立体空间和交变电磁场中的运动问题
目
录
01 课标达标练...................................................................................................................1
题型01 带电粒子在立体空间的运动...........................................................................................1
题型02 带电粒子在交变场中的运动.........................................................................................20
02 核心突破练.................................................................................................................24
03 真题溯源练.................................................................................................................44
01 带电粒子在立体空间的运动
1．
（2025·天津·一模）如图甲为某款医用治疗装置，该装置由粒子源、直线加速器和偏移器等
部件构成。直线加速器由一系列带孔的金属漂移管组成，每个漂移管两端圆板横截面面积相等且依次排列，
中心轴线共线，漂移管的长度按照一定的规律依次增加。序号为奇数的漂移管和交变电源的一极相连，序
号为偶数的漂移管和电源的另一极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙。在t=0 时，奇数漂移
管相对于偶数漂移管的电势差为正值，此时位于序号为0 的圆板中央的粒子源静止释放出一个电子，电子
在圆板和漂移管1 间的狭缝电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进漂移管1，在漂移管1 内做匀速直线
运动。每次电子在漂移管内运动时间恰为交变电源周期的一半。已知电子的质量为m、电荷量为e，交变
电源电压的绝对值为
，周期为T，忽略电子在狭缝内运动的时间及相对论效应，不考虑电子的重力及
其他因素的影响。
(1)求电子进入漂移管1 时的速度v1的大小；
(2)为使电子运动到漂移管之间各狭缝中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，求第n 个漂
移管的长度；
(3)该电子加速到最大动能Ekm后，恰好沿O'O 方向射入偏移器，偏移器为一棱长为L 的正方体，正方体内
充满匀强电场和匀强磁场，O'为偏移器左侧面的中心点，当偏移器内电场强度和磁感应强度均为0 时，电
子恰好沿O'O 射到目标平面中心O 点处（O 点和偏移器左、右侧面中心点共线），目标平面和偏移器右侧
面平行且相距为L，当偏移器同时加上如图所示的匀强电场和匀强磁场（方向均垂直于前、后侧面）时，
电子在极短的时间内穿过偏移器，打在目标平面上（
）处，求偏移器中电场强度E 和磁感应强度B
的大小。（当α 很小时，有
）
【答案】(1)
(2)
(3)
；
【详解】（1）根据动能定理有
解得
（2）电子在第n 节漂移管内的运动时间为
设电子在第n 节漂移管内的运动速度为
，有
解得
故第n 节漂移管长度为
（3）设电子进入偏移器时速度为v，则在偏移器内，由于电场引起的速度增量对y 轴方向的运动不产生
影响，y 轴方向上相当于只考虑磁场存在，设电子进入磁场后做圆周运动半径为
，如图
根据洛伦兹力提供向心力
解得
又有
经过磁场后，电子在y 轴方向偏移距离
离开磁场后，电子在y 轴方向偏移距离
则有
可得
又
解得
根据运动的分解，只考虑电场存在时
x 轴方向加速度为
飞行时间为
又
，解得
离开偏移器时x 轴方向获得的速度为
经过电场后，电子在x 轴方向偏移的距离和偏移角的正切为
、
离开电场后，电子在x 轴方向偏移的距离
则有
可得
又
得
2．
（2025·北京西城·一模）图1 为一种测量电子比荷（电荷量e 与质量m 之比）的实验装置。两
块金属圆盘M、N 平行放置，间距为d，照相底片环绕圆盘，距圆盘边缘的径向距离为L。整个装置放在真
空中。在两圆盘中心连线的中央有一点状粒子源，向各个方向均匀发射速度大小不同的电子，由于d 很小，
只有速度方向平行圆盘的电子才能射出圆盘区域。
磁感应强
度
M、N 间电势
差
模式
1
0
0
模式
2
B
-U
模式
3
-B
U
装置所在空间的匀强磁场的磁感应强度和M、N 间的电势差按表格所示的三种模式切换，表中B、U 均为
已知。以水平向右为磁场的正方向，电场只存在于圆盘间。图2 为装置的俯视图，定义角度θ 为底片上某
点和圆盘中心的连线与磁感应强度正方向的夹角。
(1)判断在θ=90°和270°两个方向中，哪个方向在三种模式下均会有电子从圆盘区域射出，求在模式2、3 情
况下射出电子的速度大小v0.
(2)在（1）中有电子射出的方向上，求在模式2、3 情况下，电子打在底片上的位置间的距离y0与比荷的关
系。
(3)经过三种模式的反复切换，取有曝光线条的一段底片进行分析，如图3 所示。研究人员发现，电子在磁
场中运动的轨迹半径远大于L，可将电子在偏转过程中受到的洛伦兹力视为恒力。为充分利用数据测出电
子的比荷，测量不同角度θ 及对应的上下两条曝光曲线间距y，获取多组数据。以y 为纵坐标轴，合理选择
横坐标轴，就能将数据拟合为一条过原点的直线，使其斜率等于电子的比荷。请写出横坐标轴的表达式。
【答案】(1)见解析，
(2)
(3)
【详解】（1）三种模式下，在
模式二洛伦兹力向上，电场力向下，可以受力平衡直线运动，模
式三洛伦兹力向上电场力向下，可以受力平衡，因此三种模式方向上均有电子射出
模式二洛伦兹力向下，电场力向下不能受力平衡，不能射出。
在模式2、3 情况下，圆盘间电场的电场强度大小
电子在圆盘间做直线运动有
得
（2）在模式2、3 情况下，电子从圆盘间射出后，在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动半径为R，根
据牛顿第二定律有
得
由几何关系可知，在两种模式下，电子打在底片上的位置间的距离
（3）在模式2、3 情况下，设从圆盘间沿θ 角方向射出的电子速度的大小为v，则根据
得
电子射出后，由题意可知，电子的偏转可视为恒力作用下的运动，则电子从圆盘边缘运动到底片的时间
设电子加速度的大小为a，则
电子打在底片上的偏转距离
得
则以
为横轴作出图像，图线的斜率即为电子的比荷。
3．
（2025·广东湛江·一模）芯片科技是支撑数字经济、保障产业链安全、推动人工智能等前沿
领域发展的“工业粮食”，影响着国家科技实力和核心竞争力。科技小组仿照芯片生产中“电场-磁场-离
子注入器”构建了如下图所示的复合场质量为m 的带电粒子运动引导装置。该高为H 且底面半径为R 圆柱
形装置的中心轴与水平面成角为θ，点P 是装置底面圆周上的一点，点Q 是粒子目标汇聚点。借助一定的
条件，在装置内部激发出平行于轴线且方向相同的电场和磁场，其中电场强度大小为E，磁感应强度大小
为B。现在以点P 为初始位置，射入一个电荷量为e 的电子，其初速度与水平地面平行。在只激发磁场时，
电子出射点为P'（图中未标出），且恰好在垂直磁场方向内部完成了n（n>1）次完整的匀速圆周运动。当
同时激发电场时，电子出射点不变，在垂直磁场方向仅完成一次完整的匀速圆周运动，并在点P'处脱离装
置，进入匀速漂移管，最终击中点Q 完成电子注入的模拟操作，电子重力忽略不计。求该电子：
(1)初速度v₀；
(2)脱离装置后，沿轴向最大位移y；
(3)在一次实验中，由于系统不稳定导致预设粒子汇聚点Q 沿轴向下移动了一小段距离，为了矫正误差，科
技小组只在圆柱装置外加上场强为E₀ 的垂直轴向的电场使得电子恰能击中点Q，此时从射入到击中点Q
全过程中，电场力对其做的功W。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，电子射入装置后，在轴线法向做匀速圆周运动，由牛顿第二定律对电子
且
撤去电场时，电子沿轴向做匀速运动有
加上电场时，由牛顿第二定律有
此时有
解得
（2）加上电场后，电子脱离装置沿轴向有最大位移，沿轴向由动量定理
脱离装置后，电子将沿直线运动，由几何关系
解得
（3）由于电子恰好能击中Q，在轴法向上，由牛顿第二定律
且
装置外电场力做功
装置内电场力做功
全过程电场力做功
解得
4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）电场和磁场经常被用来控制带电粒子的运动轨迹。如图，阴极
不断释
放出电子（初速度为零），经
、
间电压加速后，射入偏转器。偏转器是一正方体，棱长为
。当偏转
器内不设置电场或磁场时，电子穿过偏转器左右侧面中心点后，打到靶面中心的
点，靶面足够大，与偏
转器的右侧面平行且相距
，已知
、
间的电压为
，电子的质量为
、带电荷量的值为。
(1)若在偏转器内充满垂直于前后面的匀强电场，电场强度大小为
，电子穿过偏转器的右侧面后打在靶面
轴上的
点，求
、
两点间的距离；
(2)若在偏转器内充满垂直于前后面的匀强磁场，磁感应强度大小
，电子穿过偏转器右侧面
后打在靶面
轴上的
点，求
、
两点间的距离。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据
解得
电子进入偏转器时速度为
，则在偏转器内轴方向有
运动时间为
离开偏转器时轴方向的速度为
在电场中，电子在轴方向偏转的距离和速度偏转角的正切值分别
离开电场后，电子在轴方向偏移的距离为
则
、
两点间的距离为
解得
（2）电子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得
电子速度偏转角为
，则有
在磁场中，电子在
方向偏转的距离为
离开磁场后，电子在方向偏移的距离为
则
、
两点间的距离
解得
5．（2025·西藏日喀则·二模）如图所示，空间中存在一长方体
区域，
，
，
，中间有一竖直截面
，
，
区域中存在沿
方向的匀
强电场，电场强度
，
区域存在沿
方向的匀强磁场（未画出），质量为
、
电荷量为的正粒子以初速度
从
点沿
方向射入电场，从
边上的
点（未画出）进入磁场，发
现粒子恰好不能从上、下底面和前、后侧面飞出，不计粒子重力。求：
(1)
的长度；
(2)粒子从射入电场到射出磁场的时间；
(3)磁感应强度的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）电场中粒子做类平抛运动，根据平抛运动规律
根据牛顿第二定律可得
，
联立解得
，
（2）磁场中粒子做等距螺旋线运动，水平方向做匀速直线运动
解得
运动时间
故总时间
（3）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
粒子运动的周期
若轨迹与
相切，则有
此时
故粒子未达
即出射，不符合题意；
若轨迹与
相切，则有
此时
粒子恰好从
边出射，可得
联立解得
6．
（2025·北京大兴·三模）如图1 所示，真空中有一长直细金属导线
，长为
，与导线同
轴放置一半径为
高也为
的金属圆柱面，将外壳接地。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，且单
位长度导线单位时间内射出的电子数为。已知电子质量为
，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作
用。
(1)若导线单位时间发射电子的总动能为
。求：
a.稳定状态下，通过接地线的电流；
b.出射电子的初速度大小。
(2)在金属圆柱内空间施加平行于导线
向下的匀强磁场，如图2。已知磁感应强度为
，若想让电子依
旧全部打到圆柱面上，求导线单位时间辐射电子的总动能最小值
。
(3)在金属圆柱内空间施加平行于导线
向上的匀强电场，如图3。经数据分析发现，通过接地线的电流
随着匀强电场强度
均匀变化，其图像如图4。若已知该图像的斜率绝对值为，求导线单位时间辐射电
子的总动能
。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）a.根据电流定义式
，时间
内射出的电子电量
，解得
b.根据能量关系
，解得
（2）最小时有
根据洛伦兹力提供向心力
根据几何关系
，解得
（3）水平方向
，竖直方向
，根据牛顿第二定律
导线此时在接地线中产生的电流为
整理得
，则
根据能量关系
，解得
7．
（2025·福建龙岩·模拟预测）如图甲所示是托卡马克装置的结构示意图，其主要包括环形真
空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变
反应产生氦和中子。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设
环形真空室内粒子质量为m、电荷量为+q，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。
(1)写出氘和氚核聚变的核反应方程式；
(2)若粒子以
速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小；
(3)将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为B0的匀强磁场，如
图丙所示。位于两个线圈轴线中点的粒子源O 向右侧各个方向均匀发射速度大小为
的粒子。
① 若某粒子发射时速度方向与x 轴的夹角θ=37°，求该粒子做螺旋线运动的螺距；
② 求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比η1；
【答案】(1)
(2)
(3)①
；②
【详解】（1）氘和氚核聚变的核反应方程式为
（2）设极向场线圈产生的磁场大小为B，由洛伦兹力提供向心力
解得
（3）带电粒子与x 轴成θ 角射入环向磁场，粒子沿螺旋线运动。
① 设粒子垂直轴向做圆周运动的周期为T，则
设粒子沿轴向做匀速运动的速度
，则螺距
解得
② 粒子垂直轴向做匀速圆周运动，设粒子刚好碰到室壁的角度为θ，由洛伦兹提供向心力
又半径为
根据速度的分解，有
可得
粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比
解得
8．（2025·广西南宁·模拟预测） 如图所示，质量为m、带电荷量为+q 的粒子在M 处由静止经加速电场加
速，后沿图中半径为R 的圆弧虚线通过静电分析器，静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，圆弧虚线
所在处场强大小处处为E，然后从面ABCD 中心
处垂直进入棱长为L 的正方体
静电收
集区域。不计粒子重力。
(1)求粒子离开加速电场的速率v 和加速电场的电压U；
(2)若静电收集区域只存在与DB 方向平行的匀强磁场，粒子恰好能打在C 点位置，求匀强磁场的磁感应强
度大小B；
(3)若静电收集区域同时存在与AB 方向平行的匀强电场和匀强磁场，粒子恰好能打在C 点位置，求匀强磁
场的磁感应强度大小B0和匀强电场的电场强度大小E0。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
，
【详解】（1）带电粒子在电场中做加速直线运动，根据动能定理有
粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，根据电场力提供向心力可得
联立解得
，
（2）若静电收集区域只存在与DB 方向平行的匀强磁场，粒子进入静电收集区域后做匀速圆周运动，
恰好是直径，则有
又因为
联立解得
（3）若该区域存在与AB 方向平行的匀强电场和匀强磁场，粒子进入静电收集区域以后，运动分解为
水平向右的匀加速直线运动和平行于
平面的匀速圆周运动，则有
几何关系可知
解得
沿水平向右方向有
加速度
运动时间
其中
联立可得
9．（2025·海南海口·模拟预测）如图1 所示，离子源C 发射质量为m、电荷量为q 的一束正离子，其初速
度可忽略不计。离子经电场U 加速后竖直向上进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外、半径为R 的
圆形匀强磁场区域Ⅰ。水平射出后匀速通过叠加场区域Ⅱ，区域Ⅱ中磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小
为B，电场方向为竖直方向（未画出），离子最后打在与区域Ⅱ右端荧光屏上的O 点。以O 为原点，建立
如图坐标系。不计离子重力和离子间作用力及阻力，求：
(1)加速电场电压U 的大小；
(2)叠加场中电场强度的大小与方向：
(3)如图2 所示，区域Ⅱ宽度为
，撤去区域Ⅱ中电场，粒子从区域Ⅱ右侧射出后打在y 轴上M 点。在y
轴正向铺设足够长的光滑绝缘板（厚度不计），离子打到板上后垂直板方向的碰后速度总是碰前该方向上
速度的0.5 倍，平行板方向上分速度不变，在板左边有边界垂直于y 轴的有界磁场区域Ⅲ。磁感应强度大
小为B，方向垂直纸面向外，磁场水平方向足够长，下边界在M 点，磁场宽度，d＝0.9R，求离子在磁场
Ⅲ中与板碰撞的次数（M 点除外）。
【答案】(1)
(2)
，方向竖直向下
(3)3 次
【详解】（1）在加速电场中，有
以速度v 进入磁场I 后刚好水平出射，由几何关系可知半径
即有
解得
（2）在叠加场区域II 中，电场力与洛伦兹力等大反向，所以电场方向竖直向下，且
计算得
（3）在区域II 内偏转时半径依然为R，从板间射出时速度方向与竖直方向夹角设为，根据几何关系有
解得
，从区域II 出射时速度方向与竖直方向成30°角。
此时速度沿光屏方向的分量为
，垂直光屏的分量为
第一次碰撞后速度垂直面的速度变为
此时的合速度
，角度与竖直方向夹角变为
在磁场中运动的半径为
第1 次与第2 次打在板上的落点之间距离为
代入数据可得
同理可得，第2 次与第3 次打在板上的落点直接距离为
第3 次与第4 次打在板上的落点之间距离为
第n 次与第n+1 次打在板上的落点之间距离为
时，n 的最大整数为3，
则会碰撞3 次。
10．（2025·安徽阜阳·二模）电子工业中，离子注入成为了微电子工艺中一种重要的掺杂技术，利用磁场、
电场可以实现离子的分离和注入。某同学设想的一种离子分离与注入原理如图所示。空间直角坐标系O-
xyz 中，x 轴正半轴上放置有足够长涂有荧光物质的细棒，有离子击中的点会发出荧光。在Oxy 平面的上方
分布有沿y 轴正向的匀强磁场，磁感应强度为B。一发射带正电离子的离子源置于坐标原点O，只在Oxz
平面内不断射出速率均为v 的离子，速度方向分布在z 轴两侧各为
角的范围内，且沿各个方向的离
子个数均匀分布，包含有电量相同，质量分别为m 和0.5m 的两种离子。发现x 轴上出现两条亮线，可确
认击中右侧亮线最右端到O 点的距离为L。不计离子间的相互作用力和离子重力，整个装置置于真空中。
（
，
）
(1)质量0.5m 的离子在x 轴上的亮线长度∆x1；
(2)若磁感应强度在（B-kB）~（B+kB）范围内波动（k 小于0.5，波动周期远大于离子在磁场中的运动时
间），要使x 轴上的两条亮线某时刻恰好能连接成一条亮线，求k 值；
(3)若某段时间内磁感应强度恒为B，θ 角增为
，离子源只发出质量为m 的离子。在Oxy 平面的上方再施
加沿y 轴正向的匀强电场，电场强度为E，在Oxy 平面上某点（O 点除外）垂直离子速度方向放置待注入
离子的某种材料小圆板（忽略大小），可得到最大注入深度，若离子进入该材料过程中受到的阻力恒为其
速度的k 倍，求该最大深度d。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）离子在磁场中做匀速圆周运动，由
得
又
则有
有几何关系得
解得
（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得
可得
，
因为
可得
x 轴上的两条亮线某时刻恰好能连接成一条亮线，则有
，
由几何关系知
联立解得
（3）带电粒子运动的周期
在磁场中运动时间最长
在电场中的角速度
沿电场方向有
则进入材料的速度
离子进入该材料过程中受到的阻力恒为其速度的k 倍，在很小的时间内对某个离子由动量定理，可得
在全程中则有
联立解得
11．如图所示，在空间中存在沿着z 轴正方向的匀强磁场或匀强电场，z 轴经过O 点垂直于坐标系xOy 所
在的平面，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。将一检测器Q 垂直于z 轴放置于该空间，检测器中
心
在z 轴上，当粒子撞击检测器Q 时，检测器被撞击的位置会发光。在检测器所在平面上建立另一坐标
系
，
，
，
之间的距离
。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子从y 轴上
的A 点沿x 轴正方向以初速度
射入场中，运动过程粒子所受重力可以忽略不计。
(1)若空间内只存在匀强磁场，其轨迹圆的圆心在O 点，求A 点的位置，用坐标
表示；
(2)若空间内只存在匀强电场，求检测器上发光点的位置，用坐标
表示；
(3)若空间内同时存在上述的匀强磁场和匀强电场，求检测器上发光点的位置坐标
及粒子打在检测
器上时速度的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
故A 点的位置为
（2）粒子做类平抛运动，则有
解得
则横坐标为
纵坐标与
点的纵坐标相同，故发光点的位置为
（3）粒子的运动均可以分解为沿
轴方向初速度为零的匀加速直线运动和与
平面平行的速度为
的匀速圆周运动。结合上述有
可知，恰好完成一周的运动
所以
，
故发光点的位置为
粒子的分速度
，
则有
02 带电粒子在交变场中的运动
12．（2025·全国·模拟预测）（多选）某空间存在着一个变化的电磁场，电场方向向右（即图中由B 到C
的方向），电场大小变化如E-t 图像，磁感应强度的变化如B-t 图像，在A 点从t=1s（即1s 末）开始每隔
2s 有一相同带电粒子（重力不计）沿AB 方向（垂直于BC）以速度v 射出，恰都能击中C 点，若
AC=2BC，且粒子在A、C 间运动的时间小于1s，则（ ）
A．磁场的方向垂直纸面向里
B．图像中E0和B0的比值为
C．图像中E0和B0的比值为
D．若第一个粒子击中C 点的时刻已知为（1+
t）s，那么第二个粒子击中C 点的时刻是
【答案】BD
【详解】A．根据题意可知，粒子在电场中的偏转方向与电场方向相同，故粒子带正电，由左手定则可
知，磁场方向垂直纸面向外，故A 错误；
BC．在
至
间，第一个粒子从A 到C 做匀速圆周运动，以O 为圆心，设
，
AC=2BC=2d，
由几何知识可得，粒子圆周运动的半径
粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有
解得
粒子在电场中运动时，粒子做类平抛运动，沿AC 方向则有
沿BC 方向则有
联立解得
则
，故B 正确，C 错误；
D．根据上述分析可知，粒子在磁场中运动的时间
由题可知
第二个粒子在电场中运动时间
联立可知，第二个粒子击中C 点的时刻为
，故D 正确。
故选BD。
13．（2025·江西新余·模拟预测）如图甲所示，在
，
的区域中，存在平行板电容器，板
长
，板间距也是
，极板上加周期性电压如图乙所示，电容器右侧的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀
强磁场，磁感应强度
，电容器左侧的周围分布着垂直纸面向里的恒定匀强磁场
。一个质量为
，电荷量为的带正电粒子在
时刻从
点沿轴方向以
进入极板间（不计粒子重力），从上极板
边缘飞出电容器，粒子恰好能再次经过
点完成周期性运动。求：
(1)交流电的电压大小。
(2)磁场的磁感应强度
的大小。
(3)交流电的周期。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，从上极板边缘飞出电容器，运动时间为
，竖直位
移为
，其中加速度为
，联立可得
（2）根据题意易得，带电粒子以速度大小为
，方向与水平成
角进入右侧磁场，粒子做匀速
圆周运动
，解得
则带电粒子将从下极板右侧边缘返回电容器，在
方向做匀减速运动，到上极板的左侧边缘竖直速度恰
好减为零，粒子以
水平速度打入左侧磁场，做逆时针偏转，根据题意可知
，根据
，得
解得
（3）根据题意，带电粒子以速度大小为
、方向与水平成
角进入右侧磁场，粒子做匀速圆周运
动的偏转周期
粒子在磁场
中实际偏转时间
粒子在返回电容器中，运动时间相同即
同理粒子进入左侧磁场的周期为
粒子在磁场
中实际偏转时间
故交流电的周期为
14．（2025·陕西宝鸡·三模）如图甲所示，在xOy 平面内存在一个半径为R 的圆形匀强磁场区域（含边
界），磁感应强度随时间变化如图乙所示，取垂直纸面向外为正方向。在x<0 的圆形区域外面存在竖直向
上的匀强电场，在x>0 的圆形区域外面存在竖直向下的匀强电场，两处电场强度大小相等，t=0 时刻，在（
，0）的A 点有一带电量为+q 的粒子以初速度v 进入圆形磁场，经过时间T 到达（R，0）位置，然后进
入匀强电场中，又经过时间T 后刚好从（R，0）位置进入磁场中，不计粒子重力。求：
(1)圆形区域匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)圆形区域外匀强电场的电场强度大小；
(3)粒子运动一个周期内通过轨迹的长度。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由粒子在磁场中经过时间T 到达（R，0）位置，粒子又经时间T 能恰好回到（R，0）位
置，说明粒子经（R，0）时速度方向沿y 轴正方向，轨迹如图
可知粒子在磁场中的圆周运动的半径
由洛伦兹力提供向心力
解得磁感应强度
（2）粒子进入匀强电场中先匀减速，后反向匀加速，运动过程中加速度不变
由动量定理可知
解得电场强度
（3）粒子运动一个周期需要在磁场中完成4 个半圆，在电场中完成两个匀减速和两个匀加速运动
设电场中匀加速或匀减速过程的位移为x1，由动能定理：
解得
半个圆周运动的路程
故一个周期运动的轨迹长度
1．
（2025·湖南长沙·模拟预测）如图甲所示为带电粒子三维动量映射分析技术的原理图。系统
整体设计采用圆柱对称型结构，对称轴为
，亥姆霍兹线圈用以形成沿系统轴向的均匀磁场区，可以抑
制带电粒子的横向发散，使得系统具有较大的粒子收集效率。位置敏感探测器用以接收带电粒子，记录带
电粒子的飞行时间t 和粒子撞击探测器的位置
。粒子源和探测器中心均位于对称轴上，建立空间坐
标系
，z 轴与对称轴重合，y 轴竖直向上，探测器的平面坐标系
从左向右看如图乙所示。已知
粒子源发射质量为m，电荷量为q 的带正电荷的粒子，粒子速度v 方向与z 轴的夹角为，探测器半径为
R，轴向匀强磁场的磁感应强度为B，方向水平向右。不计粒子重力和粒子间相互作用。
(1)从左向右看，粒子运动方向是顺时针还是逆时针？
(2)若粒子刚好打在探测器的中心O，求粒子源到探测器距离
需要满足的条件；
(3)若粒子发射时速度大小
，速度方向位于zOy 平面内，与z 轴夹角
，粒子打在探测器的
位置坐标为
，求带电粒子的飞行时间；
(4)若粒子源沿着与z 轴夹角
的各个方向连续发射粒子，粒子速度大小
，粒子源到探测器
的距离
，求粒子打到探测器上的位置坐标所满足的方程。
【答案】(1)逆时针
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）从左向右看，根据左手定则可知粒子运动方向是逆时针。
（2）带电粒子的轨迹为螺旋曲线，要使粒子刚好打在探测器的中心，则所有时间为周期的整数倍，则
有
粒子源到探测器的距离为
解得
（3）设粒子做圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力可得
整理并代入数据解得
在探测器的位置坐标如图1 所示
根据几何关系可知
则带电粒子的飞行时间为
代入周期公式有
（4）设粒子做圆周运动的半径为
，则有
解得
设粒子飞行的时间为
，则有
解得
在探测器的位置坐标如图2 所示
由几何关系可知
因为粒子沿着与z 轴夹角
的各个方向连续发射，由粒子在探测器上位置如图2 虚线，则位置坐标方程
为
2．
（2025·四川遂宁·模拟预测）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量
为m 的正离子，沿水平中轴OO1经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L 的正方形偏转区，偏转
后进入加有水平向右的匀强磁场
的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强
电场均为
，方向相反，匀强磁场均为
，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α 很小，且
。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ 很小时，有
，
，
(1)离子的电荷量；
(2)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离轴线OO1的距离；
(3)离子以（2）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力
，k 为已知常数。施加垂直O2O3
轴线且匀速旋转的匀强电场E2使离子加速。稳定后离子在垂直O2O3轴线的某切面内以与电场相同角速度
做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。
①为保证离子不接触芯片，求芯片距离O2的最小距离；
②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。
【答案】(1)
(2)
(3)①
；②
【详解】（1）离子沿水平中轴
经过速度选择器，设离子电荷量为
满足
偏转区仅加电场时，水平方向
竖直方向
且有
联立解得
（2）离子在磁场中偏转时，设偏转角为
，磁场半径
偏转角等于圆心角，由几何关系
可得
，离子出射时偏离
轴线的距离
解得
（3）当离子进入共振腔后，将速度分解为两个方向，其中水平方向
其中
①水平方向在阻力
下做减速运动，为保证离子不接触芯片，对离子进入到水平方向速度减小为0
过程分析，由动量定理有
其中
得芯片距离
的最小距离
②稳定后离子会以与旋转电场相同的恒定角速度在某一切面内做匀速圆周运动，设最终速度为
。沿圆
周的半径方向
沿圆周的切线方向
可得
旋转电场对离子做功的功率
当
即
时，电场对离子做功的瞬时功率最大。
3．（2025·浙江金华·一模）如图（a）所示，在矩形
区域内存在周期性变化的匀强电场，电场的变
化规律如图（b）所示，电场方向由
指向
时为正方向。在
上方存在方向垂直纸面向里的磁场区域
Ⅰ，
下方存在方向垂直纸面向外的磁场区域Ⅱ，磁感应强度大小均为
且磁场区域足够大。在
的
中点处有一电子发射源，可以源源不断地发出质量为
、电荷量为
、速度方向与
垂直、大小为
的电子。
上有一电子吸收板。已知，
，
，
，
，
，且电子重力不
计。
(1)若
时刻发出的电子没有进入磁场，且恰好能经过
的中点，求
的大小；
(2)若所有从电子源发出的电子都不会从
和
边界进入磁场，请求出满足该情况的
的取值范围；
(3)若
，求
时刻发出的电子最终打在吸收板上的位置；
(4)现保持电场强度
不变，方向向上，从
中点射出的电子恰好经过
的中点，电子源从
的中点
匀速缓慢向
靠近，计算这一过程中打在吸收板上的电子占射出总电子的百分比。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）电子到达吸收板时所需时间为
到
时间内，类平抛运动满足
解得
（2）若不出电场，在水平方向向右做匀速直线运动，到达吸收板时所需的时间为
所有电子中
时刻发出的电子在向上或向下的方向上有最大的位移，且
解得
（3）0 时刻射出的粒子，经过
后，
方向位移满足
说明粒子恰好从
的中点射出，射出瞬间
方向速度满足
速度偏转角满足
可得
故合速度及入射角为
因此由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹为四分之一圆周。
电子在磁场中做匀速圆周运动，有洛伦兹力提供向心力
又有时间满足
联立解得
，
故有
，
电子重新进入电场后在水平方向向右做匀速直线运动，有
所以电子在电场中运动时电场方向为正方向，且方向未发生变化。因此电子向上做匀加速直线运动，有
因此电子不会进入磁场区域Ⅰ，直接打在吸收板距
点的距离为
处。
（4）假设在电场中加速时间为的电子恰好打在
点，在电场中运动的水平位移
进入磁场时竖直方向的速度
由第三问可得
进入磁场后
电子从进入磁场到到达
点
又有
联立解得
射出的电子在电场中竖直方向运动的距离
上方电子射出，下方电子打到吸收板电子占射出总电子的百分比
4．（2025·河南·三模）如图甲所示，平面直角坐标系xOy 的第一象限内存在垂直于xOy 平面的磁场（图中
未画出），规定垂直于xOy 平面向外为磁感应强度正方向，该区域内磁感应强度随时间变化的规律如图乙
所示；第二象限内（含x 轴负半轴）存在沿y 轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电的
粒子由A 点（−L，0）沿x 轴正方向以大小为v0的速度射入电场，在t=0 时刻，粒子经y 轴上的P 点与y 轴
正方向成θ=30°角射入第一象限，忽略粒子重力。求：
(1)电场强度的大小；
(2)在
至
时间内，粒子运动轨迹的半径；
(3)在
时刻，粒子的位置坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在第二象限做类平抛运动，设粒子由A 至P 历时t0，则
粒子在P 点沿y 轴正方向的分速度大小
沿y 轴正方向上，由动量定理有
解得
（2）设粒子在P 点的速度大小为v，则
设粒子在此阶段运动轨迹的半径为r2，由洛伦兹力提供向心力有
解得
（3）粒子运动轨迹如图所示，设粒子刚进入第一象限时运动轨迹的半径为r1，由洛伦兹力提供向心力
有
，
解得
，
由轨迹的对称性可知四边形PQMN 为矩形，设PN 的长度为s，则
设P 点的纵坐标为yP，则
则N 点的纵坐标为
则N 点的横坐标为
设
时刻粒子位于K 点，则K 点的纵坐标
K 点的横坐标
故在
时刻，粒子的位置坐标为
5．（2025·山东·三模）如图甲所示，足够大的两平行板P、Q 水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周
期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所
示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0 时刻，一质量为m、带电量为+q 的带电粒子（不计重
力），以初速度v0由Q 板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使
粒子经一段时间垂直打在P 板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d 为已知量。
(1)若只加磁场且磁感应强度
，粒子垂直打在P 板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移；
(2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度
，粒子垂直打在P 板上，求粒子在板间运动的位移大小。
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度
，根据洛伦兹力提供向心力
解得
粒子在磁场中的轨迹如图
由图可知
解得
水平距离
圆周运动的周期
运动时间
（2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度
，根据洛伦兹力提供向心力
解得
粒子在磁场中的轨迹如图
圆周运动的周期
粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P 板上，有
解得
粒子沿电场方向的位移大小
在磁场中的位移
粒子在板间运动的位移大小
6．（2025·甘肃平凉·模拟预测）平面直角坐标系
如图甲所示，第一、四象限内存在垂直于
平面的
匀强磁场（未画出），规定垂直于纸面向外为磁场的正方向，磁场的磁感应强度随时间的变化规律如图
乙所示，
为已知量；第二象限内存在沿
轴负方向、电场强度大小为
（未知）的匀强电场。一质量为
、电荷量为的带正电的粒子，由点
处以平行于
平面、与轴正方向成的夹角、大小为
的初速度射入电场区域，
时刻粒子经
轴上的
点沿轴正方向射入磁场区域。不考虑磁场变化的
影响，忽略粒子的重力。求：
(1)
的值；
(2)从
至
时间内，粒子速度变化量的大小；
(3)粒子在
时刻的位置坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电场中时，竖直方向
，
水平方向
解得
（2）粒子进入右侧磁场的速度
后做匀速圆周运动，则从
至
时间内的周期
则从
至
时间内粒子转过90°角；同理从
至
时间内的周期
从
至
时经历了半个周期，粒子转过180°，则从
至
时间内，粒子速度变化量
的大小
（3）粒子刚进入磁场时的纵坐标
根据
可知粒子在B0中运动时的半径
在2B0中运动时的半径
则在磁场中运动时
时间内的轨迹如图
粒子在
时刻的位置坐标
，
位置坐标为
7．（2025·福建三明·三模）如图甲，在纸面内建立直角坐标系xoy，坐标系的第一、二象限有足够长的宽
度为d、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的上边界MN 平行于x 轴。P、Q 是长度为L 的平行金属板、
垂直于纸面放置，两板中线与y 轴共线，两板间加上周期为T、场强大小为
的周期性变化的电场，如图
乙所示。取x 轴正方向为电场的正方向，位于P、Q 两板中线上的粒子源沿y 轴正方向持续发射质量为m、
电荷量为q、速度大小为
的带正电的粒子，粒子均能从x 轴离开电场进入磁场。不计粒子的重力及粒子
间的相互作用，忽略电场与磁场的边界效应。
(1)求
时刻进入电场的粒子，在
时刻沿x 轴方向的偏移量
；
(2)若粒子从O 点进入磁场，求粒子需从哪些时刻进入电场？若粒子从O 点进入磁场且恰好不穿出磁场的上
边界MN，求磁感应强度
的大小；
(3)磁场方向不变，将磁感应强度大小改为
，粒子进入磁场后，若还受一个与速度方向总相反的阻力作用，
且阻力大小
为已知量，粒子轨迹恰与磁场MN 边界相切，求最左边与最右边两相切点的横坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）
，粒子沿 x 轴方向做初速度为零的匀加速度直线运动，由运动学知识可知沿x 轴
方向位移
由牛顿第二定律有
联立解得
（2）从
时刻进入的粒子在电场中沿x 轴方向的位移为零，粒子从O 点进入磁
场；
粒子穿过电场的时间为
粒子离开交变电场时沿电场方向速度变化为零，从 O 点进入的粒子均以
的速度垂直于x 轴进入匀
强磁场中做匀速圆周运动。
由几何关系，轨迹与上边界相切，则
粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即
联立解得
（3）粒子从
时刻进入的粒子沿x 轴的运动位移最大，由牛顿第二定律可知粒子
在电场中的加速度为
沿x 轴方向做匀加速直线运动，沿x 轴方向的最大位移为
进入磁场后，轨迹恰与磁场MN 边界相切处，y 方向速度为0，对粒子在y 方向由动量定理有
即
解得
由几何关系，从x 轴上
进入磁场的粒子在MN 边界上的横坐标为
从x 轴上
进入磁场的粒子在MN 边界上的横坐标为
8．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图甲所示，真空中建立一个平面直角坐标系
。紧靠
轴左侧有一对
水平放置的平行金属板，板间距离为
，中轴线沿轴，板间所加交变电压
随时间的变化图像如图乙
所示，
时刻上极板电势高。
轴右侧存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，在
轴右
侧一定距离处有一个荧光屏。现有大量质量为
、电荷量为
的粒子以初速度
沿轴正方向持续不断地
射入两板间，所有粒子均可以从板间射出并进入
轴右侧范围足够大的复合场，两板间的粒子穿过两板的
时间等于交变电压的周期
。当
，电场强度
与磁感应强度
的大小关系为
，
为已
知量，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求：
(1)
时刻进入两板间的粒子从板间射出时沿
轴方向速度的大小
；
(2)若能让粒子垂直打到荧光屏上，荧光屏距离
轴的最小距离；
(3)若荧光屏处在第（2）问的位置，粒子打到荧光屏上
轴的坐标范围。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在平行板中运动过程，由动量定理得
代入已知量解得
（2）方法一：由第（1）问可知，粒子从平行板间射出时速度相同，粒子在
轴右侧区域运动过程中：
由牛顿第二定律得
设粒子在复合场中运动周期为
，则
沿
方向由动量定理得
全程累积得
联立解得
方法二：粒子从平行板间射出时同时参与了沿轴正向的初速度为
的匀速直线运动，和顺时针旋转的
速度为
的匀速圆周运动，四分之一周期后速度第一次垂直于屏，四分之一周期内匀速运动位移
四分之一周期内圆周运动水平位移
最小距离
（3）
时刻进入的粒子，在平行板中
方向的位移为
时刻进入的粒子：运动
时的速度为
为
粒子在复合场中运动过程中
所有粒子均向上平移
，故
则荧光屏上坐标范围为
粒子打到荧光屏上
轴的坐标范围
9．（2025·江西南昌·三模）通过电磁场控制带电粒子的运动是现代化的重要技术。如图1 所示，两块平行
正对金属板水平放置，两侧分布着以虚线为边界垂直纸面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为
，
左侧靠近下方金属板边缘有一个粒子输送管道，管道不仅可以屏蔽管外磁场的影响，而且可以对带电粒子
起到匀加速作用。已知上、下两金属板间加上如图2 所示矩形交变电压，电压大小为
，周期为
，一
带电粒子在
时从管道左侧无初速度释放，经管道加速后，在
时刻离开管道进入金属板之间区域，
在
时刻离开金属板之间区域，又在
时刻从下金属板右侧边缘水平向左进入金属板之间区域，粒
子运动的部分轨迹如图1 中虚线所示。已知金属板长度是板间距离的
倍，忽略粒子所受的重力、管道直
径大小和场的边缘效应和交变效应。
(1)判断带电粒子的电性，并求其比荷
；
(2)求管道的长度
和金属板的长度
；
(3)若在右边磁场中增加竖直方向的匀强电场，使得带电粒子不从右侧磁场的左边界飞出，则：
①请判定此匀强电场的方向；
②小明计算了满足此要求的电场强度大小的取值范围为
，请论证这一结果是错误的。
【答案】(1)正电，
(2)
；
(3)①电场场强方向应该向上；②见解析
【详解】（1）在右侧磁场中，根据左手定则，可以判断粒子带正电。依题可知，粒子在磁场中运动的
周期
又有
可计算
（2）粒子在金属板之间区域运动，分析其运动，可知是对称的匀变速曲线运动，进入或离开该区域的
速度大小相同，设为
，则有
又有
且
又有
结合给定条件
可计算
又有
可知
（3）①增加竖直方向的匀强电场后，粒子将做曲线运动，此曲线运动可分解为水平方向的匀速直线运
动和竖直面内的匀速圆周运动。只有水平方向的匀速直线运动向右，粒子才不会返回两金属板之间区域，
根据配速法可知，电场力方向向上，故电场场强方向应该向上。
②根据前述计算可知
即小明的计算结果等价于
令
则根据
即匀速直线运动分速度为
则匀速圆周运动的分速率为
即进入复合电磁场后，任何时刻粒子的垂直电磁场左边界的分速度
，即粒子不会向左边界“回
旋”，可见电场强度最小值还可以更小一些。
10．（2025·河北·二模）如图甲所示，平行板电容器两极板P、Q 间的距离为d，Q 板中央有一小孔，M 点
是P 板上与Q 板小孔正对的位置，板间加上如图乙所示的交变电压，电压的峰值
不变，但周期T 可调，
Q 板右侧虚线CD 与Q 板间的夹角
，CD 右侧空间有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀
强磁场，
时刻，从M 点附近由静止释放一质量为m、电荷量为
的粒子，粒子的重力忽略不计。
(1)调整周期T，要使粒子从小孔射出时的速度最大，求T 应满足的条件；
(2)若
，求粒子穿过电场所需的时间；
(3)求（1）问中满足条件的粒子和（2）问中的粒子经过磁场偏转后射出磁场的位置间的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题可知，两极板间的场强
带电粒子在电场中运动的加速度大小
要使粒子从小孔射出时的速度最大，粒子必须一直加速，即在
前离开小孔，故有
解得
（2）粒子在第一个
时间内一直加速，运动的位移x
解得
根据对称性可知第二个
和第三个
内粒子运动的位移均为
d，即第三个
末粒子出电场，故粒子穿
过电场所需的时间
（3）设（1）问中的粒子出电场时的速度大小为
，有
解得
设（1）问中的粒子在磁场中做圆周运动的半径为，有
解得
设（2）问中的粒子出电场时的速度大小为
，有
解得
设（2）问中的粒子在磁场中做圆周运动的半径为
，有
解得
由几何关系可知两粒子离开磁场的位置之间的距离
解得
1．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进
器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间
距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向
沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E 和
；还有方向沿半径向外的径
向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为
R 的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、
电荷量为
，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电
室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为
；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小
；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求
此霍尔推进器获得的推力大小F。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第二定
律
解得氙离子在放电室内运动的加速度大小
（2）电子在阳极附近在垂直于轴线的平面绕轴线做半径做匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场力与
径向磁场给的洛仑兹力平衡，沿着轴线方向的匀强磁场给的洛仑兹力提供向心力，即
，
解得径向磁场的磁感应强度大小为
（3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，设
单位时间内进入放电室的电子数为
，则未进入的电子数为
，设单位时间内被电离的氙离子数为
,则有
已知氙离子数从放电室右端喷出后与未进入放电室的电子刚好完全中和，则有
联立可得单位时间内被电离的氙离子数为
氙离子经电场加速，有
时间
内氙离子所受到的作用力为
，由动量定理有
解得
由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小
则
2．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O 处各开有一小孔。
以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤ 0 区域有一匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。一电子
枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度大小均
为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大夹角为θ，求
tanθ 的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x 轴的匀速直线运动和在yOz 平面内的匀速圆
周运动，设电子入射时沿y 轴的分速度大小为
，由电子在x 轴方向做匀速直线运动得
在yOz 平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
可得
且
由题意可知所有电子均能经过O 进入电场，则有
联立得
当
时，B 有最小值，可得
（2）将电子的速度分解，如图所示
有
当
有最大值时，
最大，R 最大，此时
，又
，
联立可得
，
（3）当
最大时，电子在电场中运动时沿y 轴正方向有最大位移
，根据匀变速直线运动规律有
由牛顿第二定律知
又
联立得
3．（2024·广东·高考真题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为
、周期为
的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀
强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在
时刻从左侧电场某处由静止释放，在
时刻从下板左
端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在
时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁
场，并在
时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的
倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
（1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
（2）求金属板的板间距离D 和带电粒子在
时刻的速度大小v；
（3）求从
时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
【答案】（1）正电；
；（2）
；
；（3）
【详解】（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中
运动的周期为
根据洛伦兹力提供向心力
得
则粒子所带的电荷量
（2）若金属板的板间距离为D，则板长
粒子在板间运动时
出电场时竖直速度为零，则竖直方向
在磁场中时
其中的
联立解得
，
（3）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由（2）的计算可知金属板的板间距离
则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4 t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加
速，在6 t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5 t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时
间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始
进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则
