文档文本内容
题
带电粒子在立体空间运动问题
微专
五
目录
01 考
题
•
情解码命
预警......................................................................................................................................2
02 体
思
•
系构建
维可视......................................................................................................................................3
03
向
•
核心突破靶
攻坚......................................................................................................................................5
考点一 带电粒子在立体空间的运动 ..........................................................................................................................5
知识点1 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动........................................................................................................5
知识点2 带电粒子在立体空间中的偏转..................................................................................................................5
考向1 带电粒子的螺旋线运动
..............................................................................................................................5
考向2 带电粒子的旋进运动.........................................................................................................................................9
考向3 带电粒子在立体空间中的偏转
.............................................................................................................10
考点二 带电粒子在交变场中的运动 .......................................................................................................................13
知识点1 交变场的常见类型........................................................................................................................................13
知识点2 分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路................................................................................14
考向1 带电粒子在交变电磁场中的运动
....................................................................................................14
【思维建模】 带电粒子在交变场中运动的解题关键和应注意的问题...........................................18
04
题
考向
知
•
真
溯源
感
....................................................................................................................................18
考点
要求
考频
2025 年
2024 年
2023 年
带电粒子在立
体空间的运动
综合应用
中频
2025•海南、2025•陕晋
青宁卷、
2024•北京、2024•湖
南、
2023•天津、
带电粒子在交
变场中的运动
综合应用
低频
2025•黑吉辽蒙卷、
2024•广东
/
考情分析：
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：带电粒子在立体空间中的运动是近年高考物理命题的热点，主要考查学生的空间想象能力和
几何关系分析能力。带电粒子在交变电磁场中的运动问题主要考查周期性运动规律和动力学分析能力。这
两类问题通常作为高考物理的压轴题或次压轴题出现，分值高、难度大。它们将静电场、磁场（恒定或交
变）、牛顿运动定律、圆周运动、平抛运动、动能定理、动量定理等核心知识紧密融合，并叠加复杂的空
间几何关系和周期性动态分析。
3.备考建议：本讲内容备考时候，深刻理解并熟练运用静电场、恒定磁场、运动学、动力学（牛顿定律、
动能定理、动量定理）、圆周运动的基本概念和公式。特别是洛伦兹力公式、圆周运动向心力公式、半径
和周期公式必须烂熟于心。务必勤画图！将立体问题转化为多个平面视图（主视图、俯视图、侧视图）是
关键突破口，攻克“交变场”的周期性分析，画出场的时空分布图（如B-t 图、E-t 图），标记场强大
小、方向、切换时间点。
4.命题情境：
①生活实践类： 质谱仪、回旋加速器、 粒子速度选择器、磁流体发电机/电磁流量计、 霍尔效应、
等离子体约束（如托卡马克）；
②学习探究类：速度选择器（电场磁场叠加） + 磁场偏转（测定荷质比或同位素分离）、交变电场
（加速） + 恒定磁场（偏转）的周期性运动模型、 复杂磁场位形约束带电粒子运动。
5.常用方法：牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理
复习目标：
1. 掌握解决带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。
2. 掌握解决带电粒子在交变场中的运动问题的解题思路和处理方法。
考点
一
带电粒子在立体空间的运动
知识点1 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情
况：
1. 空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中
就做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
2. 空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运
动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
知识点2 带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依
次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界
处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题．有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动
( 比如螺旋线运动和旋进运动
) 来求解
．
考向1 带电粒子的螺旋线运动
例1
（2025·浙江杭州·一模）一圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，
圆筒足够长，半径R。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为
、质量是m、电量为e 的
电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图
（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，恰好没有电子落到筒壁上。忽略场的边界效应、电子受到的重
力及电子间相互作用力。若电子碰到筒壁，则被吸收且电中和，R、
、m、e 均为已知量。
(1)求
的大小；
(2)接第（1）问，当磁感应强度大小调至
①求垂直中心轴发射的电子，从发射到落到筒壁上的时间；
②求筒壁上落有电子的区域面积S；
如图
③
c 若电子发射速度与中心轴夹角为α，可经过离O 点正上方距离为
的点，求α 角的可能值。
【答案】(1)
(2)①
；②
；③
或
【详解】（1）当磁场的磁感应强度为
时，电子刚好不会落到筒壁上。则电子以速度
垂直轴线方向
射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为
，根据洛伦兹力提
供向心力可得
联立解得
（2）①当
，电子轨道半径
，如下图所示P 点为电子在筒壁落点
为等边三角形
所以
②磁感应强度调整为
后，将速度方向与中心轴夹角为θ 的电子运动分解为垂直轴线方向上做匀速圆
周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解
，
电子击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹圆半径为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
，
解得
电子发出到与筒壁相切时间
电子发射方向上下对称，则打在筒壁沿轴方向长度
可知最大面积
根据题意可知
③
时电子不受洛伦兹力，可匀速直线运动过
点。
当
电子水平方向圆周运动周期为
竖直方向匀速直线运动
解得
当n=1 时
；
当n>1 时
，电子打在筒壁上，不符合要求。
综上所述：经过O 点正上方距离为
的点α 角的可能值是
或
。
【变式训练1·变情境】
（2025·广东广州·模拟预测）如图甲，磁透镜是利用磁聚焦现象制成的，
在电子显微镜中具有非常重要的作用。现将其原理简化：质量为m、电荷量为
的粒子从O 点以与
x 轴正方向成θ 角斜向上射入磁感应强度大小为B、方向沿x 轴正方向的匀强磁场中，在洛伦兹力的作用下，
粒子的轨迹为一条螺旋线，如图乙所示，不计粒子的重力，π 已知。
(1)若已知该粒子在O 点入射的速度大小为v 且
，再次回到x 轴时，粒子与x 轴交于P 点，求经过多
长时间粒子到达P 点及P 点与O 点间的距离；
(2)若撤去磁场，并施加一与x 轴正方向成60°且斜向下的匀强电场，当该粒子在O 点入射的速度大小仍为v
且
，仍然与x 轴交于P 点，求该电场强度E 的大小。
【答案】(1)
；
(2)
【详解】（1）把v 沿平行B 和垂直B 的两个方向分解为
、
如图所示
粒子在垂直于B 方向上以v2做匀速圆周运动，在平行B 的方向上以v1做匀速直线运动。因此，当粒子
恰好在垂直于B 的方向上完成一次完整的圆周运动时，将第一次回到x 轴。
根据牛顿第二定律有
解得
即
则O 点到P 点的距离为
可得
（2）在电场力的作用下，粒子沿初速度方向做类平抛运动，设运动到P 点时间为t，有
沿初速度方向
沿电场方向
又
联立解得
考向2 带电粒子的旋进运动
例2（2025·江苏泰州·模拟预测）某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R 的圆柱腔分为两
个工作区，I 区长度
，内有沿y 轴正向的匀强电场，II 区内既有沿z 轴负向的匀强磁场，又有沿z 轴
正向的匀强电场，电场强度与I 区电场强度等大，现有一正离子从左侧截面的最低点A 处以初速度
沿z
轴正向进入I 区，经过两个区域分界面上的B 点进入II 区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞
出，最终从右侧截面上的C 点飞出，B 点和C 点均为所在截面处竖直半径的中点（如图中所示），已知离
子质量为m、电荷量为q，不计离子重力，求：
(1)电场强度的大小；
(2)II 区中磁感应强度的大小；
(3)II 区L 的最小长度。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）离子在
区做类平抛运动，根据类平抛规律有
Ⅰ
，
根据牛顿第二定律有
解得电场强度的大小为
（2）离子在
区运动过程，由动能定理可得
Ⅰ
解得离子到达B 点时速度的大小为
离子在
区类，做复杂的旋进运动。将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和
Ⅱ
z 轴正方向的匀加
速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如下图所示
设临界圆轨迹半径为r，根据几何知识有
解得离子的轨迹半径为
离子沿y 轴正方向的速度为
则根据洛伦兹力提供向心力有
解得
区中磁感应强度大小为
Ⅱ
（3）离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为
离子在z 轴的正方向做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式可得
联立解得
区的长度为
Ⅱ
（
，
，
）
当
时，II 区的最小长度为
考向3 带电粒子在立体空间中的偏转
例3（2025·湖北襄阳·模拟预测）（多选）如图，在
坐标系内存在匀强磁场和匀强电场，电场方向
沿轴负方向，磁场方向沿轴正方向。一电子从点（L，0，0）处沿
轴正方向入射，其轨迹与轴的第
1 个交点坐标为（0，0，L）。已知电子的比荷为，入射速度大小为
，不计电子所受的重力，则
（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度大小
B．匀强电场的电场强度大小
C．电子轨迹与轴交点的坐标之比为
D．电子轨迹与轴交点的坐标之比为
【答案】BC
【详解】A．电子在电场力作用下，沿z 轴正方向做初速度为0 的匀加速直线运动，在洛伦兹力的作用
下，在xoy 平面内做匀速圆周运动，由几何关系可知，电子做圆周运动的半径为
由洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力，有
解得
，故A 错误；
B．电子从入射到与轴的第1 个交点过程经历的时间为
沿z 轴方向有
解得
，故B 正确；
CD．电子轨迹与z 轴第1 次相交后，每隔2t 时间再与z 轴相交，则第n 次与z 轴相交时，在z 轴上有
（n=1，2，3…）
故电子轨迹与轴交点的坐标之比为
，故C 正确，D 错误。
故选BC。
【变式训练2·变情境】利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，立体空间
内有沿轴高度为
、沿
轴足够长的匀强磁场区域
和
，磁感应强度大小为
Ⅰ
Ⅱ
，磁场方向
与
轴平行且指向
轴正方向区域
同时存在指向
Ⅱ
轴负方向的匀强电场。位于
处有一离子
源，离子源释放出质量为
、电荷量为、速度方向平行于
平面与轴正方向夹角
的正离子束。
不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
(1)若离子源释放离子速度大小
判断离子能否进入区域
；
Ⅱ
(2)若离子源释放离子速度大小
，求离子进入区域
时与区域
上边界的夹角
Ⅱ
Ⅱ
；
(3)在（2）的情况下，离子继续在区域
运动，已知离子进入区域
瞬间电场力做功瞬时功率是离子离开
Ⅱ
Ⅱ
区域
瞬间电场力做功的瞬时功率的
Ⅱ
3 倍，求电场强度
的大小。
【答案】(1)离子不能进入区域 Ⅱ
(2)
(3)
【详解】（1）该离子进入磁场和电场区域时，可看作在xoz 平面的运动，如图甲所示，当离子的运动
轨迹与边界相切时
则由几何关系
解得
根据
解得
离子速度大小
，离子不能进入区域 Ⅱ
（2））粒子进入区域
，运动轨迹如图乙
Ⅰ
由
解得
圆心
到
区域边界的距离
Ⅱ
联立解得
进入区域
速度夹角为
Ⅱ
θ1 = 37°
（3）离子进入区域
瞬间电场力做功瞬时功率
Ⅱ
离子离开区域
瞬间电场力做功的瞬时功率
Ⅱ
离子离开区域
时，
Ⅱ
x 轴方向的速度为
，y 方向的速度
，在区域
任意
Ⅱ
Δt 时间，由动量定理可得
qvyBΔt = mΔvx
两边累和得
由动能定理得
，
解得
考点
二
带电粒子在交变场中的运动
知识点1 交变场的常见类型
1）电场周期性变化、磁场不变。
2）磁场周期性变化、电场不变。
3）电场、磁场均周期性变化。
知识点2 分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路
1. 先读图：看清并且明白场的变化情况
2. 受力分析：分析粒子在不同的变化场区的受力情况
3. 过程分析：分析粒子在不同时间段内的运动情况
4. 建模：粒子在不同运动阶段,各有怎样的运动模型
5. 找衔接点：找出衔接相邻两过程的物理量
6. 选规律：联立不同阶段的方程求解
考向1 带电粒子在交变电磁场中的运动
例4（2025·广东广州·模拟预测）如图（a），长为L、间距为
的A、B 两平行金属板水平放置，右侧
有一垂直于纸面的匀强磁场，两板中心最左侧a 处有一粒子源随时间均匀向板间水平发射速度v0的电子。
两金属板上加如图（b）所示的交变电压，电压的最大值为
，周期为
（未知），电子穿过极板的时
间极短，该过程中板间电压视为不变。当板间电压
时，从a 点进入电场的电子经过磁场偏转后，
恰能返回到a 点。已知电子质量m，电荷量e，不计重力及电子间的相互作用，极板间电场可视为匀强电
场，不考虑边缘效应。求
(1)当电压
时，电子从板间飞出时沿电场方向的侧移量y；
(2)磁感应强度的大小B 和交变电压
的周期
。
【答案】(1)
(2)
，
（
，，
）
【详解】（1）在偏转电场中，有
，
根据牛顿第二定律，有
代入
，解得
（2）设电子进入磁场时速度方向与水平方向的夹角为α，如图所示
出电场时，则有
解得
所以出电场时的速度为
根据几何关系可知，在磁场中，粒子做圆周运动的半径为
根据洛伦兹力充当向心力，有
解得
电子在磁场中运动时间
由于电子能返回a 点，所以电子返回极板间时
对应
（
，，
）
解得
（
，，
）
【变式训练2·变考法】（2025·山东泰安·模拟预测）在如图1 所示的xOy 平面内，存在方向沿y 轴正方向
的电场和方向垂直xOy 平面向外的磁场，电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2 所示。O 点放置
一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为
、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，
图中物理量均为已知量。求：
(1)
时刻释放的粒子，在
时刻的速度大小；
(2)在
时间内，静电力对t=0 时刻释放的粒子所做的功；
(3)在
之间的t 时刻释放粒子，第一次到达直线
时的位置到x 轴的距离为y，写出y 与t 的
关系式。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）（1）作出粒子运动轨迹如图所示
令
，在
时间内，根据动量定理有
在
时间内，粒子在磁场中运动的周期
在
时间内，根据动量定理有
解得粒子在
时刻粒子的速度
（2）在
时间内，根据动量定理有
解得粒子在
时刻的速度
在
时间内，静电力对粒子的做功大小为
解得
（3）在
之间的t 时刻释放粒子，粒子运动轨迹如图所示
在
时间内，根据动量定理有
粒子在电场中的位移
在
时间内，粒子圆周运动的半径
在
时间内，根据动量定理有
粒子在电场中的位移
在
时间内，粒子圆周运动的半径
解得
所以第一次到达直线
时到轴的距离
解得
【思维建模】 带电粒子在交变场中运动的解题关键和应注意的问题
1)这类问题一般都具有周期性，注意分析带电粒子的运动周期与电场周期、磁场周期的关系。
2)带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量
守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相同。
1．（2025·海南·高考真题）（多选）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系
所在空间中
区域
Ⅰ
存在沿x 轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小
为
,Ⅱ区域
存在沿z 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
，在
有一足够大的接
收屏P，原点O 处的粒子源在
平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为
，甲
和乙的速度方向与x 轴正方向夹角分别为
和
，两粒子沿x 轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间
到达
（d,d,0）点进入
区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（
Ⅱ
）
A．两粒子不能同时到达接收屏P
B．两个区域磁感应强度大小之比
C．乙粒子通过
点时沿x 轴方向速度分量
D．甲乙粒子在接收屏P 上位置的z 坐标之差
【答案】BD
【详解】BC．两粒子在
区域运动过程，两粒子在
Ⅰ
轴方向做匀加速直线运动，在
平面做匀速圆
周运动，根据题意甲粒子和乙粒子在x 轴方向的分速度相等，均为
甲粒子在轴方向的分速度
根据几何关系
可得
乙粒子以最短时间到达
（d,d,0），则乙在
区域运动的时间为做圆周运动的周期的一半，其半径为
Ⅰ
根据洛伦兹力提供向心力
联立可得
在
区域运动的时间
Ⅰ
沿着正方向，根据运动学公式
解得乙粒子通过
点时沿x 轴方向速度分量为
乙粒子进入
区域后，沿
Ⅱ
轴负方向做匀速直线运动，在
平面做匀速圆周运动，根据题意进乙粒子
入
区域后恰好到达接收屏并被吸收，则乙粒子在
区域做圆周运动的半径为
Ⅱ
Ⅱ
根据洛伦兹力提供向心力
解得
可得
，故B 正确，C 错误；
AD．两粒子在
区域运动过程，两粒子在
Ⅰ
轴方向的速度分量相同，则在
区域运动时间相等，根据
Ⅰ
可知甲粒子在
区域也是运动半个周期，即两粒子刚进入
区域时
Ⅰ
Ⅱ
轴坐标均为零，沿轴负方向做匀
速直线运动，在
平面做匀速圆周运动的情况也相同，所以运动时间相等，即两粒子能同时到达接
收屏P，两粒子在
区域的运动时间
Ⅱ
甲乙粒子在接收屏P 上位置的z 坐标之差
联立解得
，故D 正确，A 错误。
故选BD。
2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控
法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒
足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为
的电子，某时刻起筒内加大小可调节且
方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，
恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
(1)电子的比荷
;
(2)当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当磁场的磁感应强度为
时，电子刚好不会落到筒壁上。
则电子以速度
垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径
为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（2）磁感应强度调整为
后，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设
，电子
将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离粒子源的最
远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
由射出到相切，经过半个周期，用时
根据速度的合成与分解可知
平行轴线方向运动距离
结合对称性，被电子击中的面积
3．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框
，置于
始终竖直向下的匀强磁场中，
边与磁场边界平行，
边中点位于磁场边界。导体框的质量
，电
阻
、边长
。磁感应强度B 随时间t 连续变化，
内
图像如图（b）所示。导体框中
的感应电流I 与时间t 关系图像如图（c）所示，其中
内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方
向。
(1)求
时
边受到的安培力大小F；
(2)画出图(b)中
内
图像（无需写出计算过程）；
(3)从
开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度
，
求ad 边离开磁场时的速度大小
。
【答案】(1)0.015N
(2)
(3)0.01m/s
【详解】（1）由法拉第电磁感应定律
由闭合电路欧姆定律可知，
内线框中的感应电流大小为
由图（b）可知，
时磁感应强度大小为
所以此时导线框
的安培力大小为
（2）
内线框内的感应电流大小为
，根据楞次定律及安培定则可知感应电流方向为顺时针，
由图（c）可知
内的感应电流大小为
方向为逆时针，根据欧姆定律可知
内的感应电动势大小为
由法拉第电磁感应定律
可知
内磁感应强度的变化率为
解得
时磁感应强度大小为
方向垂直于纸面向里，故
的磁场随时间变化图为
（3）由动量定理可知
其中
联立解得
经过磁场边界的速度大小为
