文档文本内容
清单03 高考数学考前解题技巧归纳
技巧01 复数模长与复数相等
技巧02 权方和不等式
技巧03 基本不等式及基本不等式链
技巧04 普通型糖水与对数型糖水不等式
技巧05 奇函数+常函数
技巧06 特定的指对数函数的奇偶性
技巧07 特定的三角函数镶嵌函数的奇偶性
技巧08 函数的单调性
技巧09 函数的周期性
技巧10 函数的对称性
技巧11 函数图象问题
技巧12 最大最小函数
技巧13 两类经典超越不等式
技巧14 泰勒不等式比较函数值大小关系
技巧15 同对称轴
技巧16 唯一零点问题
技巧17 整数解的应用
技巧18 函数中解不等式
技巧19 反函数的应用
技巧20 公切线问题
技巧21 端点效应
技巧22 隐零点问题
技巧23 极值点偏移
技巧24 洛必达法则
技巧25 爪子定理
技巧26 系数和（等和线）
技巧27 极化恒等式
技巧28 向量投影法
技巧29 奔驰定理与三角形四心
技巧30 向量矩形法
技巧31 角平分线定理
技巧32 张角定理
技巧33 圆中的切线问题
技巧34 圆锥曲线中焦点弦
技巧35 圆锥曲线中中点弦×
技巧36 定序倍缩法
技巧37 平均分组分配及部分平均分组分配
技巧38 三项展开式
技巧39 二项式乘积
技巧40 数列放缩法
技巧41 辅助角公式
技巧42 解三角形一题多解
技巧43 数列小题一题多解
技巧44 数列大题一题多解
技巧45 立体几何小题一题多解
技巧46 立体几何大题一题多解
技巧47 概率统计小题一题多解
技巧48 概率统计大题一题多解
技巧49 直线与圆一题多解
技巧50 圆锥曲线小题一题多解
技巧51 圆锥曲线大题一题多解
技巧52 函数小题一题多解
技巧53 导数小题一题多解
技巧54 导数大题一题多解
技巧01 复数模长与复数相等
复数模长问题最简便的方法。利用公式 |
z1
z2)=|z1)
|z2)
，可以直接分别求分子和分母的模，避免了繁琐的复数
除法运算。
1．已知
，则
的值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
2．若复数
，实数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．4
技巧02 权方和不等式
权方和不等式的初级应用: 若
则
当且仅当
时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．9
D．
2．已知正实数
、
且满足
，求
的最小值___________.
3．已知
是一个锐角，那么
的最小值是_____.
4．已知a，b 为正实数，
，且满足
，则
的最小值为__________.
5．已知x>0，y>0，且
，则x+2y 的最小值为____________ .
6．求
的最大值为______________
技巧03 基本不等式及基本不等式链
基本不等式链:
, 当且仅当
时, 等号成立.
1.已知四个数
，
，
，
，其中最小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知
，
，则
，
，
，
中最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（多选）若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.在锐角
中，若
，则
的最小值是________
5.已知
，
，是正实数，且
，则
最小值为__________.
6.对任意的正实数a，b，c，满足
，则
的最小值为_____________.
7.设
，则
的最大值为__________.
8.已知
，
，
，则
的最小值为______.
9.已知
，且
，则
的最小值是__________.
技巧04 普通型糖水不等式与对数型糖水不等式
1. 糖水不等式定理，若
, 则一定有
通俗的理解: 就是
克的不饱和糖水里含有
克糖, 往糖水里面加入
克糖,则糖水更甜;
2. 糖水不等式的倒数形式，设
, 则有:
3. 对数型糖水不等式(1) 设
, 且
, 则有
(2) 设
, 则有
(3) 上式的倒数形式：设
, 则有
1. 已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧05 奇函数+常函数
在定义域内，若
，其中
为奇函数，
为常数，则最大值
，最小值
有
即
倍常数
在定义域内，若
，其中
为奇函数，
为常数，有
即
倍常数
1. 若
（a 为实数且
）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则
_____________
2. 已知函数
，若
，则
__________
3. 已知函数
的最大值为
，最小值为
，则
的值为________
4. 设函数
的最大值为
，最小值为
，则
__________.
5. 若函数
在区间
上的最大值、最小值分别为
、
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6. 设函数
的最大值和最小值分别为M 和m，则
______________.
技巧06 特定的指对数函数的奇偶性
1. 与指数函数相关的奇函数和偶函数
f ( x)=ax+a−x ，（
，且
）为偶函数，
，（
，且
）为奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
为偶函数
2. 与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（
且
）为奇函数，
，（
且
）为奇函数
1. 函数
为奇函数，则
（ ）
A．3
B．-1
C．3 或-1
D．不存在这样的
和
2. 已知函数
，则（ ）
A．函数
是偶函数
B．函数
的值域为
C．存在实数
，使得
D．函数
的图像关于直线
对称
3. 已知非常数函数
是奇函数，则
__________.
4. 已知函数
，
，则
________．
5. 若函数
（k 为常数）在定义域上为奇函数，则
______．
6. 若
是定义在R 上的奇函数，则实数a 的值为______．
7. （多选）已知函数
，
，则（ ）
A．
是
上的奇函数
B．
在
上单调递增
C．
与
的图象有三个不同的交点
D．
有两个不同的解
技巧07 特定的三角函数镶嵌函数的奇偶性
1. 已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
的最大值为2
C．
的最小正周期是
D．
在区间
单调递减
2. （多选）已知函数
，则（ ）
A．
与
的奇偶性相同
B．曲线
关于直线
对称
C．
的最小正周期是
最小正周期的2 倍
D．
在
上单调递减
3. （多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
在
上单调递增
C．函数
在
上有4 个极大值点
D．函数
的最大值为3
4. （多选）对于函数
，
，则（ ）
A．
与
有相同的奇偶性
B．
与
有相同的最小正周期
C．
与
有相同的最大值
D．
与
的图象有相同的对称轴
技巧08 函数的单调性
1. 已知函数
的定义域为
，对任意的
，都有
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 已知函数
的定义域为
，若对于定义域内给定的任意
，
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧09 函数的周期性
1. 周期性（差为常数有周期）
①若f (x+a)=f (x)，则f (x) 的周期为：T=|a|
②若f (x+a)=f (x+b)，则f (x)的周期为：T=|a−b|
③若f (x+a)=−f (x)，则f (x) 的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题）
④若
f (x+a)=± 1
f (x) ，则f (x)的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题）
2. 周期性对称性综合问题
①若f (a+x)=f (a−x)，f (b+x)=f (b−x)，其中a≠b ，则f (x)的周期为：T=2|a−b|
②若f (a+x)=−f (a−x)，f (b+x)=−f (b−x)，其中a≠b ，则f (x)的周期为：
T=2|a−b|
③若f (a+x)=f (a−x)，f (b+x)=−f (b−x)，其中a≠b ，则f (x) 的周期为：
T=4|a−b|
3. 奇偶性对称性综合问题
①已知f (x)为偶函数，f (x+a)为奇函数，则f (x)的周期为：T=4|a|
②已知
f (x)为奇函数，f (x+a)为偶函数，则f (x)的周期为：T=4|a|
1. 已知函数
的定义域为
，若
，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．10
D．20
2. 若定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
3. 若定义在
上的函数
满足
，
是奇函数，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
4. 已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函数，
，则
（ ）
A．1
B．0
C．
D．
5. 已知定义域为
的函数
满足
，且
为奇函数，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧10 函数的对称性
1. 对称性（和为常数有对称轴）
（1）轴对称
①若f (x+a)=f (−x)，则f (x) 的对称轴为
x=a
2
②若f (x+a)=f (−x+b)，则f (x) 的对称轴为
x=a+b
2
（2）点对称
①若f (x+a)=−f (−x)，则f (x)的对称中心为(
a
2 , 0)
②若
f (x+a)+f (−x+b)=c ，则f (x)的对称中心为(
a+b
2
, c
2)
1. 已知函数
是定义在
上的偶函数，
关于
中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
的一个周期为6
B．
C．
D．
2. 定义在
上的函数
满足
，若函数
与
的图象有8 个交点，则交点
横坐标的和为（ ）
A．24
B．12
C．8
D．6
3. 已知定义在
上的函数
满足
，且函数
的图象与直线
有
个交点
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
4. 已知函数
的定义域为
为
的导函数，
，
．若
，则
（ ）
A．2026
B．1013
C．1
D．-1
技巧11 函数图象问题
特值与极限
①
②
③
④
特别地：当
时
例如：
，
当
时
1. 函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 已知函数
的部分图象如图，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间
上的大致图象，则该函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧12 最大最小函数
1. 定义
，对于任意实数
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 设函数
，其中
表示
，
，
中的最小者，下列说法正确的有
（ ）
A．
B．对任意的
，都有
C．对任意的
，有
D．当
时，
的最大值为1
3. 记
，
分别表示函数
在
上的最大值和最小值．则
______．
4. 定义函数
，
，若
至少有
个不同的实数解，则实数
的取值范围是_____．
技巧13 两类经典超越不等式比较函数值大小关系
，
，
，
1．已知
, 则
的大小关系为 ( )
A.
B.
C.
D.
技巧14 泰勒不等式比较函数值大小关系
常见函数的泰勒展开式：
（1）
，其中
；
（2）
，其中
；
（3）
，其中
；
（4）
，其中
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
常见函数的泰勒展开式：
结论1
．
结论2
．
结论3
（
）．
结论4
．
结论5
；
；
．
结论6
；
结论7
结论8
．
结论9
．
1．设
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧15 同对称轴
1．设函数
的图像与
的图像关于直线
对称，且
，则
A．
B．
C．
D．
2．若函数
关于直线
对称，则
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
技巧16 唯一零点问题
1. 若函数
有唯一零点，则
___________．
2. 若函数
有唯一零点，则实数
（ ）
A．2
B．
C．4
D．1
3. 已知函数
有唯一零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧17 整数解的应用
1．已知关于x 的不等式
恰有一个整数解，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧18 函数中解不等式
1. 已知函数
，且
，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 设函数
的定义域为
，导数为
，若当
时，
，且对于任意的实数
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 定义域为
的函数
满足
，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 已知函数
的定义域为
，且
若
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧19 反函数的应用
1. 已知
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 已知
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
3. 已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 已知
，
分别是方程
，
的根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．10
D．5
技巧20 公切线问题
1.若直线
（k 为常数）是曲线
和曲线
的公切线，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
2.已知直线
是函数
与
的两条公切线，式子的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知函数
，若曲线
与
有两条公切线，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.若曲线
与
，恰有2 条公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.已知函数
，
，若曲线
，
存在公切线，则实数
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧21 端点效应
端点效应的类型
1.如果函数
在区间
上,
恒成立,则
或
.
2.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
),则
或
.
3.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
,
则
或
.
1．已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
2.已知函数
.
（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围.
技巧22 隐零点问题
1.已知函数
，
．
(1)若
在
上单调递增，
，求实数
的值；
(2)证明：
．
2.已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的最大值；
(2)当
时，证明：
.
技巧23 极值点偏移
1. 已知
，
是函数
的两个零点，且
，求证：
(1)
；
(2)
．
2. 已知函数
．
(1)求函数
的单调区间和最大值；
(2)设函数
有两个零点
，证明：
．
3. 已知函数
.
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若方程
的两个解为
、
，求证：
.
4. 已知函数
.
(1)若
，当
与
的极小值之和为0 时，求正实数
的值；
(2)若
，求证：
.
5. 已知函数
，其中为自然对数的底数．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若方程
有两个不同的根
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
6. 已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
.
技巧24 洛必达法则
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
1. 18．1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两
函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方
法．如：
，按此方法则有
______．
2.
恒成立,求
的取值范围
3. 已知函数
，如果当
，且
时，
，求
的取值范围．
技巧25 “爪子定理”
1．设
为
所在平面内一点，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
1.
中，若
，
，
，则向量
可用
，
表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧26 系数和（等和线）
如图，
为
所在平面上一点，过
作直线
，由平面向量基本定理知：
存在
，使得
下面根据点
的位置分几种情况来考虑系数和
的值
①若
时，则射线
与无交点，由
知，存在实数
，使得
而
，所以
，于是
②若
时，
（i）如图1，当
在右侧时，过
作
，交射线
于
两点，则
，不妨设
与
的相似比为
由
三点共线可知：存在
使得：
所以
（ii）当
在左侧时，射线
的反向延长线与
有交点，如图1 作
关于
的对称点
，由
（i）的分析知：存在存在
使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中
用
线性表示时，其系数和
只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过
作
边的垂线
，
设点
在
上的射影为
，直线
交直线
于点
，则
(
的符号由点
的位置确定)，因
此只需求出
的范围便知
的范围
1. 已知直角梯形ABCD 中，
，
，且
，
，点P 是△BCD 内（含边界）任意一点，
设
（
，
），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 如图，圆
的内接四边形
的面积为
，已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．2
3. 如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧27 极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形
中,
则
在上述图形中设平行四边形
对角线交于
点, 则对于三角形来说:
1. 如图所示，正方形
的边长为1，点
分别在
轴，
轴的正半轴（含原点）上滑动，则
的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2. 如图，
是以
为直径的半圆和
围成的区域内一动点（含边界），若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．8
B．12
C．18
D．24
3. 将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线
的形状
是如图所示的斜椭圆，
为斜椭圆上任意一点，
，则
的最大值为（ ）
A．15
B．16
C．
D．
技巧28 向量投影法
如图，
对于
，其中
是
在
上的投影，
在Rt△PBH 中
，故
，
考虑到
可能为钝角，故写成
.
1. 已知⊙C 的半径为1，
是⊙C 的一条弦，且
，点
是
上一动点，则
的最大值为
_________.
2. 如图所示，在边长为3 的等边三角形
中，
，且点
在以
的中点
为圆心，
为半
径的半圆上，则
的最大值为______．
3. 如图，
是以
直径的圆
上的动点，已知
，则
的最大值是________.
4. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中
心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图
所示．已知
分米，
分米，点
在正方形
的四条边上运动，当
取得最大值时，
与
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 已知在直角梯形
中，
，
，
，
，设
是
的中点，
是
梯形
内或边界上的一个动点，则
的最大值是（ ）．
A．4
B．6
C．8
D．10
技巧29 奔驰定理与三角形四心
如图，已知P 为
内一点，则有
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
（1）奔驰定理的证明
如图：延长
与
边相交于点
则
（2）奔驰定理的推论及四心问题
推论
是
内的一点,且
,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的
距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的
内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，
它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，
有着决定性的基石作用.
已知点
在
内部，有以下四个推论：
①若
为
的重心，则
；
②若
为
的外心，则
；或
③若
为
的内心，则
；备注：若
为
的内心，则
也对.
④若
为
的垂心，则
，或
1. 平面上有
及其内一点O，构成如图所示图形，若将
，
，
的面积分别记作
，
，
，则有关系式
．因图形和奔驰车的
很相似，常把上述结论称为
“奔驰定理”．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若满足
，则
O 为
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2. 若O 是△ABC 所在平面上一定点，H，N，Q 在△ABC 所在平面内，动点P 满足
，
，则直线AP 一定经过
的____心，点H 满足
，
则H 是
的____心，点N 满足
，则N 是
的____心，点Q 满足
，则Q 是
的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心
B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心
D．外心，重心，垂心，内心
3. 奔驰定理：已知点O 是
内的一点，若
的面积分别记为
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是
的垂心，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4. （多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰
定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是
内一
点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
．以下命题正
确的有（ ）
A．若
，则M 为
的重心
B．若M 为
的内心，则
C．若
，
，M 为
的外心，则
D．若M 为
的垂心，
，则
技巧30 向量矩形法
如图，在矩形
中，若对角线
和
交于点
，
为平面内任意一点，有以下
两个重要的向量关系：①
；②
.
证明：①连接
，根据极化恒等式
，
可得
；
②根据极化恒等式
，可得
.
推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积相等.
1．在矩形
中，
，
，
为矩形
所在平面上一点，满足
，
，则
__________.
2．已知点
为矩形
所在平面上一点，若
，
，
，则
.
3．已知O 为矩形
内一点，满足
，
，
，则
．
技巧31 角平分线定理
角平分线定理
（1）在
中，
为
的角平分线，则有
（2）
（3）
（库斯顿定理）
（4）
1. 在
中，
的角平分线交
于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 在
中，
为
的角平分线，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．6
技巧32 张角定理
张角定理
1．如图，已知
是
中
的角平分线，交
边于点
.
（1）用正弦定理证明：
；
（2）若
，
，
，求
的长.
2．在
中,角
所对的边分别为
,已知点
在
边上,
,则
__________
技巧33 圆中的切线问题
过圆( x−a)2+( y−b)2=r2
上任意一点P(x0, y0)的切线方程为( x0−a)( x−a)+( y0−b)( y−b)=r2
圆x2+ y2+Dx +Ey +F=0 的切点弦方程为
x0 x+ y0 y+ x0+x
2
D+ y0+ y
2
E+F=0
1. 过圆
上一点
的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 过点
作圆
的两条切线，切点分别为
和
，则切点弦AB 所在直线的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 过点
作圆
：
的切线，则的方程为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
技巧34 圆锥曲线中焦点弦
倾斜角为
的直线过焦点
与椭圆相交于
两点.
焦点弦长
.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
倾斜角为
的直线过焦点
与双曲线相交于
两点.
焦点弦长
抛物线焦点弦：
.
抛物线
的数量关系：
，
.
抛物线三角形
的面积
.
1. 已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
和
，过
且倾斜角为
的直线与
交于
，
两点，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 已知椭圆
，过右焦点
且斜率为
的直线交椭圆
于
两点，若
，则
______．
3. 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过点
且斜率为
的直线与
的右支交于
，
两点，且
在第四象限，
，则
__________.
4. 已知双曲线
，焦点到一条渐近线的距离为
，离心率
，过左焦点F 的直线l 交
双曲线C 的同一支于A，B 两点，若
，则
__________．
5. 过双曲线
的右焦点
的直线与双曲线
交于
两点，若
，则
______.
6. 过抛物线
的焦点F 作倾斜角为
的直线，与抛物线分别交于A，B 两点（点A 在x 轴下
方），则
______．
7. 抛物线的顶点在原点，以
轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为
的直线被抛物线所截得的弦长为8，
则该抛物线的方程为______.
8. 已知
为坐标原点，抛物线
上一点
到其焦点的距离为5，过
的焦点
的直
线交
于
两点，当
时，
的值为__________.
技巧35 圆锥曲线中中点弦
1. 设直线l 与椭圆
相交于A，B 两点，且
的中点为
，则直线l 的斜率为______.
2. 过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，若
为
中点，则直线的方程为
____________.
3. 已知椭圆
的右焦点为
，过点
的直线交椭圆于
，
两点，若
的中
点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 已知直线与双曲线
交于
两点，线段
的中点为
，则点
的坐标可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 设
为双曲线
上两点，若线段AB 的中点是
，则直线
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6. 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于
两点，若
中点的横
坐标为
，则此双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧36 定序倍缩法
定序倍缩法是一种在排列组合问题中常用的技巧，尤其在处理具有特定顺序要求的元素排列时显得尤
为有效。该方法的核心在于，当某些元素需要按照特定顺序排列时，我们可以通过“倍缩”这些元素来考
虑其排列方式，从而简化问题。掌握这一技巧对于提高排列组合问题的解题能力具有重要意义。
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
对于某些顺序一定的元素(m 个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n 个)进行排列，然后用总
排列数A 除以m 个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A.
1. 春节期间，某人计划去
六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求
在
之
前，
与
相邻，则不同的游览顺序有（ ）
A．24
B．60
C．120
D．240
2. 现有12 件商品摆放在货架上，摆成上层4 件下层8 件，现要从下层8 件中取3 件调整到上层，若其他
商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400
B．11760
C．13440
D．20160
3. 22．2025 年4 月23 日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3 这些数字排成一排组成一个七
位数，则不同的七位数有（ ）个．
A．480
B．600
C．720
D．840
技巧37 平均分组分配及部分平均分组分配
这类问题在排列组合中较为常见，其核心在于理解“平均”与“部分平均”的概念。平均分组即指将
元素均等地分配到各个组中，不考虑组内的排列顺序；而部分平均分组则是在平均分组的基础上，允许部
分组内的元素数量有所不同，但仍需遵循一定的分配规则。常在小题中考查，需强加练习。
平均分组、部分平均分组
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以
A(n 为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除
以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排
列数．
1. 甲、乙、丙、丁、戊、己6 人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m 短跑、400m 短跑和
1000m 长跑这3 项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（ ）
A．450
B．540
C．630
D．900
2. 某学校派5 名同学参加“市长杯”足球比赛中4 个场次的志愿服务，每场比赛至少派1 名同学，每名同
学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（ ）
A．180
B．240
C．320
D．360
3. 全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1 月1 日，“中国体育彩票”2026 年全国新年登高健身大会（江西
分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5 名同学到甲乙丙三个服务点
､
､
做志愿者，每名同学只去1 个服务点，每个服务点至少1 人，则不同的安排方法共有（ ）
A．25 种
B．150 种
C．300 种
D．50 种
技巧38 三项展开式
三项展开式在模拟题中经常考查，通常涉及到求系数，需强加练习。
三项展开式的解题技巧是不要用二项式定理去解两次，而应该从数学意义的角度看做多少个式子相乘，
直接当做排列组合求解，可秒解。
1.
的展开式中的常数项是（ ）
A．352
B．
C．1120
D．
2. 在
的展开式中常数项为（ ）
A．721
B．-61
C．181
D．-59
3.
展开式中常数项为（ ）
A．
B．
C．1
D．481
技巧39 二项式乘积
二项式乘积的解题技巧是先相乘，再结合二项式定理的通项公式求解即可。
1. 已知
展开式各项系数之和为64，则展开式中
的系数为（ ）
A．31
B．30
C．29
D．28
2. 已知
（
为常数）的展开式中各项系数之和为，则展开式中
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.
的展开式中
的系数为______．
技巧40 数列放缩法
1．分组放缩
先将数列
的前n 项和
分成若干组，再对每组单独确定放缩或不放缩．
2．等比放缩
如果数列
满足
，则有
，
因此数列
的前n 项和
满足
．
3．裂项放缩
（1）分式裂项放缩：若数列
的通项是一个分式，譬如
，
，…，
则可将
放缩成一个可以分式裂项相消求和的式子，
如
，
，
等．
（2）根式裂项放缩：若数列
的通项是含根式的，譬如
，
，…，
则可将
放缩成一个可以根式裂项相消求和的式子．下面就是根式裂项放缩中比较常用的两个放缩式．
①
．
②
．
（3）指分结构裂项放缩：若数列
的通项公式为
，则
．
证明: 因为
，
，所以
，
所以
，即
．
4．基本不等式放缩
如果数列
的某些项的和符合基本不等式的形式，可以直接利用基本不等式来进行放缩，这种放缩方式
称为基本不等式放缩．
5．递推放缩
如果题目只给了递推关系式
，而根据这个递推关系式没办法直接求出
的通项，然而又需要
我们证明一个不等式，此时就需要直接利用递推关系式
，构建一个放缩式．这种利用题目中给
出的递推关系式直接进行放缩的放缩方式称为递推放缩．
一般来说我们采用以下两种思路处理这类问题：
①写出递推关系式
，然后通过恒等变形得到放缩式．
②写出
，
，然后将
与
这两个关系式进行加减乘除（更多的
是相减和相除），再恒等变形得到放缩式．
1. 记
为递增数列
的前
项和，
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和；
(3)记
的前
项和为
，证明：
.
2. 已知数列
满足
．
(1)证明：求
的值，并证明数列
为等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)设
，求证：
．
技巧41 辅助角公式
1．已知
，
为
的最大值，
，当
时，则
______.
2．若
时，函数
取得最小值，则
________．
3．已知
，则
__________.
4．已知
，函数
的最大值为1，则
______.
5．
中，
的最大值为________.
6．设
、
、
是一个三角形的三个内角，则当
取得最大值时，
______.
7．设
是一个三角形的三个内角，则
的最小值为__________.
技巧42 解三角形一题多解
8．在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，点
在边
上，且
是
的平分线，求
的面积.
9．记
的内角
、
、
所对边分别为
、
、，面积为，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，
边上的高为
，求
．
10．在
中，角A，
，
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)若
，
，求角
(2)设
的角平分线
交
于点
，若
面积为
，求
长的最大值．
11．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
.
(1)求
的值；
(2)若
是边
上一点，
，
，求
的周长.
技巧43 数列小题一题多解
12．记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．120
B．85
C．
D．
13．记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
14．已知
为数列
的前
项和，若
，则
等于（ ）
A．2026
B．2025
C．0
D．1013
15．记等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则正整数
的值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
16．若一个等比数列的各项均为正数，且前4 项的和等于4，前8 项的和等于68，则这个数列的公比等于
_________.
17．已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
______.
技巧44 数列大题一题多解
18．已知正项数列
的前
项和为
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)若数列
满足
，且
，求数列
的通项公式．
19．已知等差数列
的前
项和为
，
，对任意正整数
，均有
.
(1)求
和
；
(2)若数列
满足
，且
，求数列
的通项公式；
(3)记数列
的前
项和为
，证明：
.
20．在①
，②
，③
这三个条件中选择两个，补充到下面问题中，并给出
解答．已知数列
的前
项和为
，___________，___________，设等比数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和为
．
21．已知数列
的各项均为正数，其前
项和记为
，
，
，其中
为非零常数.
(1)证明：
；
(2)若
，求
；
(3)是否存在
，使得数列
为等差数列？若存在，求出
的通项公式；若不存在，请说明理由.
技巧45 立体几何小题一题多解
22．在四面体
中，
，
，
，
，若异面直线
与
所成
的角为
，则
________．
技巧46 立体几何大题一题多解
23．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，底面
为等腰梯形，
且
为
的中点．
(1)求直线
与平面
的夹角；
(2)若
，平面
与
交于点
，求线段
的长度．
24．如图，直四棱柱
的底面
是菱形，
为锐角，
分别为棱
的中点，
点
在棱
上，且
，点
在直线
上.
(1)证明：
平面
；
(2)若直四棱柱
的体积为
，当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求
的
长.
25．如图，在三棱台
中，
平面
，
，
，
，
，
是棱
上一点（不含端点）．
(1)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值．
(2)是否存在点
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
26．如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
底面
，
，
为线段
中点，
为线段
上的动点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设直线
与平面
所成角为
，求
的取值范围．
技巧47 概率统计小题一题多解
27．某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则
丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．
的展开式中常数项为（ ）
A．
B．
C．0
D．20
29．将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲､乙､丙三人，其中数学书和英语书不能分
给同一个人，则不同的分配方法种数是__________.（用数字作答）
30．有5 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3 次，每次取1 个球.记X 为这5
个球中至少被取出1 次的球的个数，则X 的数学期望
_________.
31．把5 个相同的乒乓球放入编号为1-7 号的盒子里，其中编号为1-5 号的盒子，每个盒子至多放1 个球，
编号为6-7 号的盒子，每个盒子至多放3 个球，则不同的放法有___________种.
技巧48 概率统计大题一题多解
32．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1 个红球和3 个白球，乙袋内有2 个红球和2 个白球．根据下列
规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1 个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均
选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球3 次．当第1 次选中的是甲袋，求摸到红球的个数
的分布列及期望
；
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2 次红球则停止摸球．求3 次之内（含3 次）停止摸球的概率．
33．抽屉里有相同规格的3 块充电电池和2 块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，
充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下充电电池时则停止电
池的随机抽取．
(1)求在第2 次抽取的是干电池的条件下第1 次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2 块干电池用完．记抽取第
次时恰好抽到最后一
块干电池的概率为
，求
．
34．在n 重伯努利试验中，用X 表示事件A 发生的次数，则称随机变量X 服从二项分布，它关注试验成功
的总次数；用Y 表示事件A 第一次发生时已经进行的试验次数，则称随机变量Y 服从几何分布，它关注的
是首次成功发生的时机.在某篮球训练的投篮环节中，运动员甲每次投篮均相互独立，每次投篮命中的概率
为p.
(1)当
时，求运动员甲进行4 次投篮，命中次数不少于2 次的概率；
(2)设
表示运动员甲首次命中时的投篮次数.
（i）求
及此概率取得最大值时
的值；
（ii）若甲最多投篮n 次，第n 次未命中也结束投篮，利用（i）中的p 值，求Z 的数学期望
.
35．记数列
前k 项的最大值
依次构成一个新的数列
，称数列
为
的“生成子列”，数列
所有项组成的集合为A．
(1)已知数列
为7，6，5，8，求数列
；
(2)若
，且A 中恰有5 个元素，求实数a 的取值范围；
(3)若
，
的“生成子列”
的前n 项和为
，从
中任
取Y 个数，记其中能被2 整除且不能被4 整除的个数为X，
①若
，求X 的数学期望
；
②若
，求使
取得最大值时的m 值．
36．一个不透明的袋子中装有编号分别为
的4 个小球，每次从袋中随机摸出1 个小球并记录编号后
放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为
.记第
次摸到
的小球编号为
.
(1)求
与
；
(2)设
，求
与
；
(3)当
时，
为随机变量，若
是奇数，则
，若
是偶数，则
，
求
.
技巧49 直线与圆一题多解
37．已知直线l：
，则直线m：
关于直线的对称直线
的方程为______．
38．过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
39．已知
是离心率为
的椭圆
(
)的右焦点，过坐标原点O 作直线l 交椭圆于
A，B 两点(点A 位于第一象限)，若
，则直线BF 的斜率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧50 圆锥曲线小题一题多解
40．过点
作倾斜角为
的直线l 与椭圆
交于A、B 两点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
41．设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
在椭圆上，
为
的平分线与
轴的交
点.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
42．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与
交于点
，
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
多选题
43．双曲线
的左、右焦点分别为
，左、右顶点分别为
，以
为直
径的圆与C 的一条渐近线交于M，N 两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．C 的离心率为
D．当
时，四边形
的面积为
44．已知点P(0，1)，椭圆
(m>1)上两点A，B 满足
，则当m=___________时，点B
横坐标的绝对值最大．
45．已知椭圆
，过右焦点
且斜率为
的直线交椭圆
于
两点，若
，则
______．
技巧51 圆锥曲线大题一题多解
1．已知圆心在
轴上移动的圆经过点
，且与
轴､
轴分别交于
两个不同的动点.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)直线与曲线
交于
两点，点
，直线
与
的斜率分别为
，
，且
，求证：
直线过定点.
2．已知
为抛物线
上一点.
(1)求
的准线方程；
(2)若点
与
关于
轴对称，过点
且斜率为2 的直线交
于另一点
，设
.
（i）求数列
的前
项和
；
（ii）求
的面积.
3．已知双曲线
：
的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，
使得C 存在且唯一.
条件①：
的离心率为2；
条件②：
的渐近线方程为
；
条件③：
的右焦点与点A 的距离为1.
(1)求
的方程；
(2)若过点
的直线交C 的右支于点M，且
的面积为3，求的方程.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0 分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组
解答计分.
4．已知圆
为原点，
为圆
上的动点，
，点
的轨迹为曲线
，
过点
作点作圆
的切线交曲线
于A、B 两点，过点
作圆
异于的切线
交曲线
于另一点
，过
点
作圆
异于
的切线
交轨迹
于另一点
．
(1)求点
的轨迹曲线
的方程；
(2)当
斜率都存在时，求
的斜率之积；
(3)求四边形ABCD 面积的取值范围．
5．已知椭圆
的短轴长为2，焦距为2，过
的左焦点
作斜率之和为1 的两条直
线和
，与
交于
两点，
与
交于
两点，线段
的中点分别为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)求点
的轨迹方程；
(3)直线
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由．
6．在直角坐标系
中，已知点
和
，点
是
轴上方的一个动点，且直线
与
的
斜率之积为定值
．
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)当
时，直线
与
轴交于点
，求点
的坐标；
(3)设
的垂心为
，求
的面积的最大值．
7．已知抛物线
的焦点为
.抛物线
上一点
满足
，
为直线
上的动点，过
作曲线
的两条切线
，
，其中
为切点．
(1)求抛物线
的方程；
(2)求证：直线
恒过定点；
(3)求
面积的最小值．
技巧52 函数小题一题多解
8．若函数
在区间
上的最大值、最小值分别为
、
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若函数
的图象关于点
对称，则
______．
10．设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
11．已知函数
的定义域均为
，若
为偶函数，
为奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
为奇函数D．
为奇函数
12．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧53 导数小题一题多解
13．若直线
（k 为常数）是曲线
和曲线
的公切线，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
14．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
多选题
15．已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
16．设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
技巧54 导数大题一题多解
17．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的值．
18．已知函数
，
.
(1)若存在
使得
成立，求
的取值范围；
(2)当
时，
在定义域内恒成立，求
的取值范围.
19．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有且仅有一个零点，求
的值.
20．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
在
上有两个不等实根
和
，
①求m 的取值范围；
②证明：
．
21．已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两根，求a 的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
22．已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)设函数
的零点为
，设曲线
在
处的切线为
，求证：
(3)当
时，设
，且满足
，求证：
.
23．已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
有两个零点.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
