专题02 平面向量
考点
三年考情（2023-2025）
命题趋势
考点1 平面
向量
通常以选择题、填空题的形式出现，
分值一般为 5 分左右。向量的线性运算，
如加法、减法、数乘运算等是基础内容，
常与平面向量基本定理结合考查。例如，
通过已知向量表示未知向量，判断向量之
间的关系等。向量的数量积运算及其应用
是重点，包括数量积的定义、坐标运算、
几何意义等，常涉及求向量的模、夹角，
判断向量的垂直关系等。如 2024 年新高
考 Ⅰ 卷和 Ⅱ 卷都考查了平面向量的垂
直运算，Ⅱ 卷还结合了数量积的综合运算
1。
向量常与解析几何、三角函数、平面
几何等知识相结合。如 2023 年全国甲卷
理科第 12 题，考查了向量与圆的综合问
题
命题主要集中在平面向量基本
定理、坐标运算、数量积运算
及其应用等方面，如证明垂
直、求距离、夹角、模长等。
例如，2023 年全国甲卷考查
了向量夹角，2024 年新课标
全国 Ⅱ 卷考查了向量模长。
整体难度一般不高，以基础题
和中档题为主，注重对基本知
识点和运算能力的考查1。常
与解析几何、三角函数、平面
几何等知识相结合，作为解题
工具出现。如 2023 年全国甲
卷理科第 12 题，考查了向量
与圆的综合问题
考点01 平面向量
一、单选题
1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中
船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和
向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级
风速大小m/s
名称
1
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1)，若(⃗a+ λ⃗b)⊥(⃗a+ μ⃗b)，则（ ）
A．λ+ μ=1
B．λ+ μ=−1
C．λμ=1
D．λμ=−1
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a=(3,1),⃗b=(2,2)，则cos⟨⃗a+⃗b,⃗a−⃗b⟩=（ ）
A．1
17
B．√17
17
C．√5
5
D．2√5
5
4．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC ⋅⃗ED =（ ）
A．√5
B．3
C．2√5
D．5
5．（2023·北京·高考真题）已知向量⃗a，⃗b满足⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1)，则|⃗a|
2−|⃗b|
2=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2，且(⃗b−2⃗a)⊥⃗b，则|⃗b|=（ ）
A．1
2
B．√2
2
C．√3
2
D．1
7．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量⃗a=(0,1),⃗b=(2, x)，若⃗b⊥(⃗b−4⃗a)，则x =（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA 与⊙O相切于点A，直线PB 与⊙O交于
B，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO|=√2，则⃗PA ⋅⃗PD的最大值为（ ）
A．1+√2
2
B．1+2√2
2
C．1+√2
D．2+√2
2
9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a,⃗b,⃗c满足|⃗a|=|⃗b|=1,|⃗c|=√2，且⃗a+⃗b+⃗c =⃗0，则
cos〈⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c 〉=（ ）
A．−4
5
B．−2
5
C．2
5
D．4
5
10．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件B．“x =1+√3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x =0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件
D．“x =−1+√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
11．（2024·北京·高考真题）设 ⃗a，⃗b是向量，则“(⃗a+⃗b)·(⃗a−⃗b)=0”是“⃗a=−⃗b或⃗a=⃗b”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，|⃗OA |=|⃗OB|=√2，|⃗AB|=2.设C(3,4)，则
|2⃗CA +⃗AB|的取值范围是（ ）
A．[6,14 ]
B．[6,12]
C．[8,14 ]
D．[8,12]
二、填空题
13．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量⃗a=( x ,1),⃗b=( x−1,2 x),若⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则|⃗a|=
14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a−⃗b|=√3，|⃗a+⃗b|=|2⃗a−⃗b|，则|⃗b|= ．
15．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC =1，∠A =60
∘，AD
→
= 1
2 AB
→
,CE
→
= 1
2 CD
→
，记⃗
AB =⃗a,⃗AC =⃗b，用a
→
,b
→表示AE⃗= ；若⃗BF = 1
3⃗BC，则⃗AE⋅⃗AF的最大值为 ．
16．（2024·天津·高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，DE
→
=2 EC
→
,若BE⃗= λ BA⃗+ μ BC⃗，其中λ , μ为
实数，则λ+ μ= ；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则⃗AF ⋅⃗DG的最小值为 ．
17．（2025·上海·高考真题）已知f ( x)=¿，⃗a、⃗b、⃗c是平面内三个不同的单位向量．若
f (⃗a⋅⃗b)+ f (⃗b⋅⃗c)+ f (⃗c⋅⃗a)=0，则|⃗a+⃗b+⃗c|的取值范围是 ．
3
4
