吃透函数三要素,打通高中数学函数所有脉络

没有掌握好函数的基本概念和性质，在做题的时候就像往一个漏水的桶里倒水一样？

高中的数学有一个怪异的现象：有些学生做完三本练习册之后，对于函数题就总是出错；有些孩子的题目数量并不算多，但是他们可以把复杂的题目分解为几部分来解决。不同的是不是聪明的问题，在于三个底牌：定义域、对应关系和值域。许多家长只关注分数而忽视了这三句话。小小的“x的范围”，为什么会把整道题目都给搞砸了呢？不要急于去寻找答案。

在家长群中经常会出现两种观点的人。一派认为函数就是刷题，见过太多之后就习惯了。另外一种观点认为，如果不抓住三个基本点的话，那么做题就相当于在地上用沙子建房子了。孩子的感受是这样的：定义域不是指分母不能为0、根号里面的数要大于或等于0嘛？考试的时候忘记写了，只少得了两分罢了。真是两分吗？一个大题中，定义域出错的话后面的一些结论也会受到影响。关于刷题的数量是否更重要、基础规则的重要性如何的问题一直存在。不要站在一边，往下看。

把函数看作是社区快递站。定义域就是收件范围，哪些地址可以接收邮件，要事先确定好。对应的逻辑就是分拣规则，给定一个x之后按照某种方式把x转换为y。值域是指可以送达的地方，并非任意想要送达哪里就可以送达。数学史上也有过类似的情况。1673年莱布尼茨第一次用到“function”的时候，1837年狄利克雷把函数看作是一种对应的关系。经过了上百年的探索之后，数学家们终于把“输入-规则-输出”的过程讲清楚了。

邻居王姐的儿子正在上高中，在做函数题目时会一直做到深夜，并且把错误的答案记录在自己的错题本里，厚厚的一摞就像一本字典一样。之后老师让其完成一件事情：每一题都要先圈出符合输入的形式来，然后再写出相应的逻辑关系，并最后计算出输出的结果范围。两周之后，分数并没有大幅度提高，但是错误类型的题目已经很明确了。其实他经常忽略掉一些关于分式、根式和对数的规定，在后面的计算中越是拼命地去计算，就越会偏离正确的答案。王姐说，过去认为快速完成等于高效，现在已经明白了，在定义域之前就停止前进才是正确的做法。

看来办法找出来了，但是麻烦也就来了。孩子按照步骤来完成任务，小测试也只是增加了几分而已，家长们就开始议论纷纷了：“三个基本的东西难道不重要吗？”“考试中的压轴题怎么就那么难呢？”“抓住这些有用的方面有什么不对的地方呢？”反方的声音也开始出现了：函数题型变化万千，记住三个词语就可以解决问题了吗？此时很容易放松警惕，就好比刚刚修复了水渠，但是发现农田上并没有马上开花了。假性的平静之下，真正的危机正在酝酿之中：并不是因为缺少了三个基本因素就无法解决问题了，而是在于人们并没有把这些三个基本因素当作行动指南来执行，在实际操作中没有把这三个基本因素落实到具体的行动当中去。

反转在其中：三个基本概念并不是初学者应该知道的东西，而更像是函数世界里的操作系统。定义域、对应关系和值域并不是三个孤立的知识点，而是构成一条链条的关系。一旦链条断裂了之后后面的都会崩掉。许多错题本的真实情况并不是题目本身难度大，而是由于输入范围没有被锁定住，或者是对游戏规则的理解不够深入，因此输出结果也就难免会出问题了。

一种逆向思维来解决问题的方法就是不要急于求得解析式，而应该先问一问，“x可以取什么值。”把合法输入画出来，然后看看加工规则是什么样子，最后收网求出结果域。就像查账一样，先确定好账本的范围，然后再去核对流水、查看余额。顺序一变，许多问题就由一团乱麻变成了三条细细的线。

家长能做什么？不对孩子出题目来检查答案，并且给错误的答案打上标签：比如函数的定义域没有写出来、对应法则也搞错了、值域计算有误等等。标签越多，规律也就越容易显现出来。职场人士也可以用上这样的思维方式：首先划定好边界的范围，在此基础上制定相应的规章制度，并且最后来观察一下所得到的结果。老年人带孩子读书的时候，可以把这当作一种烹饪的方式，在家中准备好各种食材之后再去制定具体的制作方法，并且能够确定最终会做出多少道菜肴来供家人享用。危机并不是因为难度大而产生的，而是由于忽略了基础。打好基础之后，问题才会有解决的空间。

有人认为做题是真理。听上去很有气势，好像说只要多走几步就可以把整个地球都转一遍。但是如果是逆向而行的话，走得多一点就越远离目标。也有不少人称赞这三项内容很简单，简单到了不需要花费太多的时间去学习的地步。这样的赞美听起来就像是在说地基很牢固，但是觉得它的外观比不上外墙面漂亮。文中出现的矛盾就是这样的：一方面要取得好成绩，另一方面却忽略了对函数定义域的理解；一方面担心孩子的学习不进位，另一方面又不愿意让孩子把基本的学习规则变成一种习惯。基础不能太慢，但是基础一定要稳固。函数三要素不能代替父母给孩子解答每一题，但是它可以协助孩子把“不确定”的问题分解为可以解决的部分。先划定好边线，然后弄清楚游戏规则，并且做好最后的结果记录工作。考试的内容和形式是经常变化的，但是这个顺序很难改变。稳定住这一方面的话，分数就有可能保持平稳了。

有人认为高中的函数要靠天分，也有人觉得需要多做练习题来掌握知识，还有一些人认为依靠老师的讲解才能把知识点讲透。你的孩子处在什么环节呢？是不是因为定义域总是被忽略掉，对应的函数图像也看不清楚，或者是由于值域计算错误呢？如果你只有一次机会来补充的话，你选择哪一个呢？在评论区聊一聊吧，大多数人的答案可能会帮助到下一个陪读家长。