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大家都知道，上海高考数学当中特别喜欢考一些抽象函数或者抽象数列的题目，尤其前两年，很喜欢弄一些“嵌套数列”题目，就是那种在递推数列的下标中，也出现的数列题目，通俗来讲就是研究或者说

这种题目可以说是学生们的噩梦了，很多学生恐怕连题都读不懂，一般的尖子生估计也看不懂答案，抄都抄不明白，这就是其可怕之处

总是对这种题束手无策？不要担心，我已经给大家汇总整理出了此类问题所有的可能考察形式以及相应的高考题目，供各位练习，这便是五年前爆火的《抽象杯》趣味试题

前段时间我们公众号上讲解了第六题，今天就来讲解一下第五题，至于前面四个题目由于实在太过于基础了，所以这里我们就不单独讲了，相信读者不难自行完成

• 当然，如果剩下的题目不会做，可以来报班学习一下，即便有的题上课没讲，你也可以问我哟

问题与解析

设数列  满足 ，且

证明：当  时，， 且

第一问

记

同时归纳证明

前20项为

可直接检查结论成立。

设 ，此前下标的结论均成立。由于 ，，相邻两项的递推式相减，得到

特别地，。

简记 ，，，。归纳假设给出 ，。又因 ，故 。

注意到恒等式

第一个等式直接来自差分定义；第二个等式来自

若 ，因为 ，由  第二个表达式及已知各项的单调性，。再由第一个表达式，

故两项结论均成立。

若 ，因为 ，由  有 。因此只须排除 ：一旦 ， 便给出 。

假设 ，由  必有

按递推式展开，并利用 ，得

于是

故 。再由 ，得到 。但此时 ，，对下标  应用 ，便得 ，矛盾。

同时归纳完成。因此

第二问

我们稍加强上界，同时归纳证明

当  时，由前面列出的数值直接核验。

设 ，且较小下标的  成立，仍记 ，。由第一问及 ，有 。

首先，由归纳假设及单调性，

所以 。

其次，由第一问，，，故 。而归纳假设中的下界又给出

将归纳假设中的上界用于 ，得到

移项即得  的上界，归纳完成。最后，由 ，得到题目所要求的

这样我们就完成了证明，要知道高考数学题再难它也有高考数学解法，我们这几个题目自然也不例外，感受到我们初等解法的魅力所在了吗？

觉得我讲的好，想要看清题目本质，用初等方法和同济高数知识解决一切难题，或者希望在2026年的各大关键性考试中一鸣惊人，逆天改命，就来报名我们的数海考研竞赛全年班学习吧。

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作者：柯西永远爱你