初中数学解题技巧——怎样证明条件等式之乘积为零法:因式分解+分类讨论

当条件无法直接解出某个变量时，乘积为零法是第二常用证明手段。

有些条件等式解不出单个变量，或者解出来形式很复杂。这时把条件移项到一边，因式分解成若干因式相乘等于零。

由"若 A·B=0，则 A=0 或 B=0"，分情况讨论：每种情况分别代入待证式，只要每种情况都能推出结论，原命题就成立。

核心：因式分解已学（详见《怎样因式分解》第16-19讲） （点击蓝字可跳转）

因式分解（点击蓝字可跳转）

因式分解之提公因式法与公式法（点击蓝字可跳转）

因式分解之十字相乘法与分组分解法（点击蓝字可跳转）

因式分解之拆添项、配方法与双十字相乘法（点击蓝字可跳转）

因式分解之试根法、主元法与待定系数法（点击蓝字可跳转）

本篇聚焦"分解后怎么证明"

若条件为若干个平方和等于零（如 (a-b)²+(b-c)²=0），由平方非负性，每个平方都必须为零，不需要分情况讨论，直接得到多个等量关系。

推出 (a+b)(b+c)(c+a)=0后，这是条件恒等式中非常常见的分解结果。推出后意味着 a=-b 或 b=-c 或 c=-a，分三种情况讨论，每种情况代入待证式即可。

1. 条件移项到一边；

2. 因式分解（用已学方法：提公因式、分组、十字相乘等）；

3. 列出所有因式=0的情况；

4. 每种情况代入待证式，分别验证；

5. 全部成立则得证。

• 因式分解不彻底，漏掉某个因式，导致讨论不全；

• 分情况讨论时，某种情况代入后不成立就停了，说明分解或推导有误；

• 平方非负性题型，只令部分平方为零，漏掉其它 项；

• 讨论情况书写不规范，没有说清"每种情况都成立"

1、已知 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0，求证 a=b=c

【解析】

平方非负性：三个平方都≥0，和为零则每个都为零。

【答案】

证：∵ (a-b)²≥0，(b-c)²≥0，(c-a)²≥0

又三者之和为0，

∴ (a-b)²=0，(b-c)²=0，(c-a)²=0

即 a=b，b=c，c=a。

故 a=b=c，得证。

2、已知 (a+b+c)²=3(ab+bc+ca)，求证 a=b=c

【解析】

左边恰好是 (x+2y)² 的完全平方结构，直接用条件代入。

【答案】

证：展开左边：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca

移项：a²+b²+c²-ab-bc-ca=0

两边乘2：2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0

配方：(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0

由平方非负性：a-b=0，b-c=0，c-a=0

∴ a=b=c，得证。

3、已知 (a²+b²)(b²+c²)(c²+a²)=0，求证 ab+bc+ca=0。

【解析】 

三个因式相乘为零，分三种情况讨论，每种情况分别推出结论。

【答案】

证：由条件，三个因式至少一个为零。

情况一：a²+b²=0 → a=0 且 b=0，代入待证式：ab+bc+ca=0+0+0=0，成立。

情况二：b²+c²=0 → b=0 且 c=0，同理 ab+bc+ca=0，成立。

情况三：c²+a²=0 → c=0 且 a=0，同理 ab+bc+ca=0，成立。

三种情况均成立，故 ab+bc+ca=0，得证。