请点击上方卡片关注我
——两大"等距"知识点的性质判定、辅助线模型与例题精讲适用：人教版 / 北师大版 / 苏科版 / 浙教版 / 沪科版（八年级上册核心内容）初中几何用"距离"串起全篇：全等是"形状大小都一样"，轴对称是"翻折后重合"，圆是"到定点距离相等"。而垂直平分线和角平分线，恰好是两条"等距点的轨迹"——它们把"相等"翻译成"距离"，又把"距离"翻译成"等腰、全等、圆"。这就是它们既是考点、又是工具的原因。
本质
垂直平分线：到线段两端点距离相等的点的集合
角平分线：到角两边距离相等的点的集合
性质定理（由线推距离）
垂直平分线：点在垂直平分线上 ⟹ 到两端点距离相等（PA＝PB）
角平分线：点在角平分线上 ⟹ 到角两边距离相等（PD＝PE）
判定定理（由距离推线）
垂直平分线：到两端点距离相等的点 ⟹ 在垂直平分线上
角平分线：到角两边距离相等的点 ⟹ 在角平分线上
直接产物
垂直平分线：等腰三角形（PA＝PB）、轴对称
角平分线：全等三角形（双垂·HL）、等腰三角形
高级接口
垂直平分线：三角形三边垂直平分线交于一点＝外心（外接圆圆心）
角平分线：三角形三条角平分线交于一点＝内心（内切圆圆心）
中考高频问法
垂直平分线：求周长、求点到两点距离、证三点共圆、折叠求长、坐标求点
角平分线：证线段相等、求线段比、证等腰、求面积、辅助线构造
一句话抓住要害：两条定理都是"线 ⟺ 距离"的互逆双桥。看见"线上一点"就往"距离相等"想；看见"距离相等"就往"某条线上"想。方向一反过来，题就活了。巧用 1
连 PA、PB ⟹ PA＝PB，△PAB 是等腰三角形图上只要有垂直平分线，立刻把它上面的点和线段两端连起来，PA＝PB 就到手，等于白送一个等腰三角形。
这是"求周长"类题的命门：把折线换成直线（如 AE＋EC＝AE＋EB＝AB）。
巧用 2
PA＝PB 且 QA＝QB ⟹ 直线 PQ 就是 AB 的垂直平分线题目给了 PA＝PB，就要想到 P 在 AB 的垂直平分线上。若还能找到另一个满足条件的点 Q，则PQ 就是 AB 的垂直平分线——用"两点确定一条直线"直接下结论。
这是证明"某线是垂直平分线"的标准打法。
巧用 3三角形三边垂直平分线交于一点，这点到三个顶点距离相等，是外接圆圆心（外心）。
常用于"证三点共圆""找一点使它到 A、B、C 距离相等""直角三角形斜边中点"（斜边中垂线交点就是斜边中点）。
巧用 4沿一条线对折，对应点连线必被折痕垂直平分。所以"折叠求线段长"的题，多半要连对应点，用中垂线造出直角和等腰。
这是最容易被忽略、却最省事的一条。
巧用 5
到 A、B 等距的点在 AB 的中垂线上（列 PA²＝PB² 求解）在坐标平面中，"到 A(a₁,b₁)、B(a₂,b₂) 距离相等的点"就是 AB 的垂直平分线，列方程 PA²＝PB² 直接解，比几何法快得多。
也是"尺规作图：作线段中垂线"的理论依据。
巧用 6若一点同时"到两端点等距"又"到两边等距"，它就是两线交点，常用来证明"某条线是垂直平分线"或"某个四边形是菱形"（对角线互相垂直平分）。
见例 2：角平分线一出手，就顺手证明了 OP 垂直平分 CD。
【辅助线训练 · 中垂线篇】遇到中垂线，动作只有两个：① 连两端点（造等腰）；② 补出直角（中垂线本身垂直）。若题中没画中垂线却给了"到两端等距"，就反向补一条垂直平分线。巧用 1 角平分线 ＋ 双垂线 —— 白得两组相等
作 PD⊥OA、PE⊥OB ⟹ PD＝PE，Rt△OPD≌Rt△OPE角平分线上任取一点，往角的两边各作一条垂线，立刻得到：两条垂线段相等 ＋ 一对全等直角三角形（HL）。这是角平分线题目的"标准第一反应"。
辅助线做法：过角平分线上的点 P 作 PD⊥OA 于 D、PE⊥OB 于 E ⟹ PD＝PE（性质定理），且 Rt△OPD≌Rt△OPE ⟹ OD＝OE。
过 P 作 PQ∥OA 交 OB 于 Q ⟹ OQ＝PQ（等腰）口诀："角平分线加平行线，等腰三角形立出现"。原因很简单：角平分线给出"两个角相等"，平行线再给出"内错角/同位角相等"，接力传下来就是"同一个三角形里两个角相等" ⟹ 对边相等。
辅助线做法：① 见角平分线 BD，过 D（或角平分线上任一点）作角的另一边的平行线；② 或反过来，见平行线，把角平分线延长过去。两条路都能造出等腰。若角平分线同时还是高（或中线），由"角平分线＋公共边＋直角"可证两侧三角形全等，从而第三条线自动成立——等腰三角形"三线合一"的判定，就是这一招的产物。
辅助线做法：见角平分线 + 垂直，把垂线补全（延长交另一边），构造关于角平分线对称的两个直角三角形，用 ASA / AAS 证全等。巧用 4 角平分线 ＋ 截长补短 —— 突破"线段和差"
在 AB 上截取 AE＝AC，连 DE ⟹ △AED≌△ACD要证AB＝AC＋BD这类"一条长 = 两条短之和"的结论，角平分线常常就是切入点：在长边上截取一段等于短边（截长），或把短边延长（补短），再借角平分线的等角关系证全等。
辅助线做法：在 AB 上截取 AE＝AC，连 DE（截长法）；或延长 AC 到 F 使 AF＝AB（补短法）。见例 6。巧用 5 三角形中的角平分线定理 —— 求线段比的神器
BD∶DC ＝ AB∶AC（图注：相同记号为一组对应线段）在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D，则BD / DC ＝ AB / AC（角平分线分对边成比例）。它把"角相等"直接换算成"线段比"，凡是题目问"BD∶DC""求某段长"的，优先想它。
记忆：左边比左边，右边比右边——∠A 的两条邻边之比，等于对边被分成的两段之比。证明用面积法（等高点、等底比），见例 7。三角形三条角平分线交于一点，这点到三条边距离相等，是内切圆圆心（内心）。由此可推：∠BIC ＝ 90° ＋ ½∠A；面积 S△ABC ＝ ½(a＋b＋c)·r（r 为内切圆半径）。
辅助线口诀（背下来）：见"垂直平分"连两端，等距等长随手拈；见"角平分"双垂线，截长补短全等现；角平分线加平行，等腰三角形立成；角平分线加垂线，三线合一直接见。核心心法：要造全等，就先造直角；要造等腰，就先造等角。四、例题精讲（8 题 · 基础2 · 中档3 · 拔高3）已知：如图，在 △ABC 中，DE 是边 BC 的垂直平分线，交 AB 于点 E，D 为垂足。已知 AB＝10，AC＝6。求：△AEC 的周长。
图 1（DE 为 BC 的垂直平分线，BE 与 CE 画相同记号）辅助线：本题图已给中垂线，只需连接 CE（其实连的是"线上点与两端点"这条线）。① 读条件E 在 BC 的垂直平分线上 ⟹ 由性质定理，EB＝EC。② 转化△AEC 的周长 ＝ AE ＋ EC ＋ AC，把 EC 换成 EB：＝ AE ＋ EB ＋ AC ＝AB ＋ AC。解：∵ DE 是 BC 的垂直平分线，E 在 DE 上，∴ EB＝EC（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。∴ C△AEC ＝ AE＋EC＋AC ＝ AE＋EB＋AC ＝ AB＋AC ＝ 10＋6 ＝ 16。点睛："求周长"的转化套路——把折线拉直。EB 换成 EC（或反向），折线 AE＋EB 就变成了直线段 AB。看到中垂线，第一步永远先想"哪条线可以换"。已知：如图，OP 平分 ∠AOB，PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D。求证：OP 垂直平分 CD。
图 2（PC＝PD、OC＝OD 各画相同记号；CD 用虚线）辅助线：连接 CD。要证 OP 垂直平分 CD，只需证 O、P 两点都到 C、D 等距（两点确定一条直线）。① 用角平分线OP 平分 ∠AOB ⟹PC＝PD（角平分线上的点到两边距离相等）⟹ P 在 CD 的垂直平分线上。② 用全等在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中：OP＝OP，PC＝PD ⟹ Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）⟹OC＝OD⟹ O 也在 CD 的垂直平分线上。③ 定直线O、P 都在 CD 的垂直平分线上 ⟹ 直线 OP 就是 CD 的垂直平分线，即OP 垂直平分 CD。证明：连接 CD。∵ OP 平分 ∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴ PC＝PD，∴ 点 P 在线段 CD 的垂直平分线上。在 Rt△OPC 与 Rt△OPD 中，OP＝OP，PC＝PD，∴ Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），∴ OC＝OD，∴ 点 O 也在 CD 的垂直平分线上。∴ 直线 OP 垂直平分 CD。点睛：这是"角平分线 ⟹ 垂直平分线"的经典联动。关键在于"两点确定一条直线"——只有一个点满足等距，只能说明它在线上；要证明"某条线"，必须凑出两个点。已知：如图，BD 平分 ∠ABC，交 AC 于点 D。过 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E。求证：BE＝ED。
图 3（∠EBD＝∠DBC 画同色弧；BE＝ED 画相同记号）辅助线：题中平行线已经给好（DE∥BC）——这正是"角平分线＋平行线"模型的典型出场方式。若题目只给角平分线，就自己补一条平行线。① 角平分线BD 平分 ∠ABC ⟹ ∠EBD＝∠DBC。② 平行线DE∥BC，BD 是截线 ⟹ ∠EDB＝∠DBC（内错角相等）。③ 接力→等腰∴ ∠EBD＝∠EDB ⟹ 在 △EBD 中，等角对等边，BE＝ED。证明：∵ BD 平分 ∠ABC，∴ ∠EBD＝∠DBC。∵ DE∥BC，∴ ∠EDB＝∠DBC（两直线平行，内错角相等）。∴ ∠EBD＝∠EDB，∴ BE＝ED（等角对等边）。点睛：模型记法——"角平分线＋平行线，等腰必出现"。角平分线负责"造等角"，平行线负责"传等角"，两个等角落在同一个三角形里，就换来一组等边。这是全章出现频率最高的辅助线模型之一。已知：如图，在 △ABC 中，边 AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 E、D，连接 AD。已知 ∠B＝40°，∠C＝60°。求：∠DAC 的度数。辅助线：连接 AD（把中垂线上的点 D 与端点 A 连起来），立刻得到等腰 △ABD。① 造等腰DE 垂直平分 AB，D 在 DE 上 ⟹DA＝DB⟹ ∠DAB＝∠B＝40°。② 求顶角在 △ABC 中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°。③ 相减∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝80°－40°＝40°。解：∵ DE 垂直平分 AB，D 在 DE 上，∴ DA＝DB，∴ ∠DAB＝∠B＝40°。在 △ABC 中，∠BAC＝180°－40°－60°＝80°，∴ ∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝80°－40°＝40°。点睛：中垂线的两个"见面礼"——送一组等边（DA＝DB）、送一组等角（∠DAB＝∠B）。求角度的题，先用它把角"搬"过去，再在三角形内角和里做减法。已知：如图，AD 平分 ∠BAC，点 M 在 AD 上，过 M 作直线 EF⊥AD（垂足为 M），分别交 AB、AC 于点 E、F。求证：△AEF 是等腰三角形，即 AE＝AF。
图 5（∠EAM＝∠MAF 画同色弧；EF⊥AD 于 M）辅助线：本题的垂线 EF 就是辅助线——它把角平分线 AD 变成了对称轴，△AEF 关于 AD 轴对称。① 找等角AD 平分 ∠BAC ⟹ ∠EAM＝∠FAM。② 找直角EF⊥AD 于 M ⟹ ∠AME＝∠AMF＝90°，且 AM＝AM（公共边）。③ 证全等在 △AME 和 △AMF 中，∠EAM＝∠FAM，AM＝AM，∠AME＝∠AMF ⟹ △AME≌△AMF（ASA）⟹AE＝AF。证明：∵ AD 平分 ∠BAC，∴ ∠EAM＝∠FAM。∵ EF⊥AD，∴ ∠AME＝∠AMF＝90°。在 △AME 与 △AMF 中，∠EAM＝∠FAM，AM＝AM，∠AME＝∠AMF，∴ △AME≌△AMF（ASA），∴ AE＝AF。∴ △AEF 是等腰三角形。点睛："角平分线是天然的对称轴"——凡关于它对称的两部分必然全等。所以遇到角平分线，常"作垂线造对称"，比硬证全等省一半力气。反过来，这也解释了"三线合一"：在等腰三角形中，顶角平分线就是对称轴，因此它自动是底边上的高和中线。已知：如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，且 ∠B＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。
图 6（在 AC 上截 AE＝AB，连 DE；AB＝AE、BD＝DE 画相同记号）辅助线（截长法）：结论是"一条长＝两条短之和"，标准动作是让长边"短"下来：在 AC 上截取AE＝AB，连接 DE，就把 AB 挪到了 AE 的位置。① 造全等在 △ABD 和 △AED 中：AB＝AE，∠BAD＝∠EAD（角平分线），AD＝AD ⟹ △ABD≌△AED（SAS）⟹ BD＝DE，∠AED＝∠B。② 导角∠AED 是 △EDC 的外角 ⟹ ∠AED＝∠EDC＋∠C。又 ∠AED＝∠B＝2∠C，∴ 2∠C＝∠EDC＋∠C ⟹∠EDC＝∠C。③ 换边∠EDC＝∠C ⟹ DE＝EC。∴ AC＝AE＋EC＝AB＋DE＝AB＋BD。证明：在 AC 上截取 AE＝AB，连接 DE。在 △ABD 与 △AED 中，AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，∴ △ABD≌△AED（SAS），∴ BD＝DE，∠AED＝∠B。∵ ∠AED 是 △EDC 的外角，∴ ∠AED＝∠EDC＋∠C。又 ∠B＝2∠C，∴ 2∠C＝∠EDC＋∠C，∴ ∠EDC＝∠C，∴ DE＝EC。∴ AC＝AE＋EC＝AB＋BD，即 AB＋BD＝AC。点睛："ab＝cd＋ef 型"的证明，第一步永远是把两条短边拼成一条：截长（在长边上截取）或补短（把短边延长）。角平分线在这里的作用是"提供一对等角，凑 SAS"。若 AB＞AC，就反过来在 AB 上截取或延长 AC，思路完全一致。已知：如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。求证：BD / DC ＝ AB / AC。
图 7（过 D 作 DE⊥AB、DF⊥AC，DE＝DF）辅助线：过 D 分别作DE⊥AB 于 E、DF⊥AC 于 F。这两条垂线段分别是 △ABD 和 △ACD 的"高"——面积法的基础。① 面积表示S△ABD＝½·AB·DE，S△ACD＝½·AC·DF。② 用角平分线AD 平分 ∠BAC ⟹DE＝DF。两式相除得 S△ABD / S△ACD ＝ AB / AC。③ 换底△ABD 与 △ACD 有公共顶点 A，底边 BD、DC 在同一直线 BC 上 ⟹ 它们的高相同 ⟹ S△ABD / S△ACD ＝ BD / DC。∴ BD / DC ＝ AB / AC。证明：过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。∵ AD 平分 ∠BAC，∴ DE＝DF。S△ABD＝½·AB·DE，S△ACD＝½·AC·DF，∴ S△ABD / S△ACD＝AB / AC。又 △ABD 与 △ACD 同高（顶点 A 到直线 BC 的距离），∴ S△ABD / S△ACD＝BD / DC。∴ BD / DC＝AB / AC。点睛：这就是角平分线定理，证明只说两句话：角平分线送等距（两高相等）→ 面积比 = 底边比 = 邻边比。凡题目问"BD∶DC""求某段长"或涉及"内角平分线"，都可直接套用（选择、填空可当公式用，解答题要写面积法步骤）。已知：如图，在 △ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线交于点 I。求证：∠BIC＝90°＋½∠A。
图 8（BI、CI 分别是 ∠B、∠C 的平分线，交于内心 I）辅助线：本题无需辅助线，但要把"平分"翻译成"半角"，再进 △BIC 用内角和。① 拆半角∠IBC＝½∠ABC，∠ICB＝½∠ACB。② 内角和在 △BIC 中：∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝180°－½(∠ABC＋∠ACB)。③ 代入又 ∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴ ∠BIC＝180°－½(180°－∠A)＝180°－90°＋½∠A＝90°＋½∠A。证明：∵ BI、CI 分别平分 ∠ABC、∠ACB，∴ ∠IBC＝½∠ABC，∠ICB＝½∠ACB。在 △BIC 中，∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝180°－½(∠ABC＋∠ACB)。∵ ∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴ ∠BIC＝180°－½(180°－∠A)＝90°＋½∠A。点睛：点 I 就是 △ABC 的内心（三条角平分线的交点），它到三边距离相等，是一把"万能尺"：① ∠BIC＝90°＋½∠A（本题）；② 若内切圆半径为 r，则 S△ABC＝½(a＋b＋c)·r。这两个结论在中考选择、填空中出现率极高。① 距离 ≠ 端点距离
错解："角平分线上的点到角两边端点的距离相等"
正解：是到角两边（所在直线）的垂线段相等，即"点到线的距离"。角平分线上的点到两边端点的距离一般不相等。
② 一点 ≠ 一条线
错解：只证出"点 P 到 A、B 等距"就说"PA 是 AB 的垂直平分线"
正解：一个点只能说明它在垂直平分线上。要证明某条直线是垂直平分线，必须凑出两个这样的点（两点确定一条直线）。
③ 等腰的"腰"认错
错解："角平分线＋平行线"时，把等腰的底边当成了腰
正解：先写清"在哪个三角形里"：等角所对的边是该三角形的两边，这两边相等。如图 3 中等腰的是 △EBD，BE 与 ED 相等。
④ 截长补短选错边
错解：结论是 AB＝AC＋BD，却在 AB 上截取等于 AC 的段（顺序乱了）
正解：先判断哪条是"最长边"，在最长边上截取，或把两条短边之一延长。截取后务必连接新点，才能造出全等。
⑤ 角平分线定理漏前提
错解：对非三角形的角平分线也套 BD/DC＝AB/AC
正解：定理前提是"三角形中的角平分线分对边"。另外注意是"∠A 的两邻边之比"，别把邻边写反。
六、分层检测卷（6 题 · 难度 1∶2∶2，答案见文末）1（基础）如图（图 4 同款结构），在 △ABC 中，边 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 E。已知 AD＝5，AC＝4，BC＝9。求 △ADC 的周长。基础2（基础）如图，OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PD＝4。求点 P 到 OB 的距离。基础3（中档）在 △ABC 中，∠ABC 的平分线与 ∠ACB 的平分线交于点 I。若 ∠A＝70°，求 ∠BIC 的度数。中档4（中档）如图，AB∥CD，∠BAC 与 ∠ACD 的平分线交于点 P。求证：AP⊥CP。中档5（拔高）如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，连接 EF 交 AD 于 G。求证：AD 垂直平分 EF。拔高6（拔高）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D。求证：AD＝BD＝BC。拔高1.∵ DE 垂直平分 AB，D 在 DE 上，∴ DA＝DB＝5。∴ CD＝BC－BD＝9－5＝4。∴ C△ADC＝AD＋DC＋AC＝5＋4＋4＝13。2.过 P 作 PE⊥OB 于 E。∵ OC 平分 ∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PE＝PD＝4。∴ 点 P 到 OB 的距离为4。3.∠IBC＝½∠ABC，∠ICB＝½∠ACB。∠BIC＝180°－½(∠ABC＋∠ACB)＝180°－½(180°－70°)＝180°－55°＝125°。（也可直接用公式 ∠BIC＝90°＋½∠A＝90°＋35°＝125°。）4.∵ AB∥CD，∴ ∠BAC＋∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵ AP、CP 分别平分 ∠BAC、∠ACD，∴ ∠PAC＝½∠BAC，∠PCA＝½∠ACD。∴ ∠PAC＋∠PCA＝½(∠BAC＋∠ACD)＝½×180°＝90°。在 △APC 中，APC＝180°－(∠PAC＋∠PCA)＝180°－90°＝90°，∴AP⊥CP。5.∵ AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE＝DF。在 Rt△ADE 与 Rt△ADF 中，AD＝AD，DE＝DF，∴ Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴ AE＝AF。∴ 点 A、D 都在线段 EF 的垂直平分线上，∴ 直线 AD 垂直平分 EF。（同理可得 AD 平分 ∠EDF，即 AD 是 EF 的对称轴。）6.∵ AB＝AC，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠C＝(180°－36°)÷2＝72°。∵ BD 平分 ∠ABC，∴ ∠ABD＝∠DBC＝36°。在 △ABD 中，∠A＝∠ABD＝36°，∴AD＝BD。∵ ∠BDC 是 △ABD 的外角，∴ ∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°。在 △BCD 中，∠BDC＝∠C＝72°，∴BD＝BC。∴AD＝BD＝BC。（这个三角形就是"黄金三角形"，AD＝BD＝BC 是它的经典结论。）
往期内容
一句话收尾：垂直平分线与角平分线，本质是"等距点的轨迹"——一条通向"等腰"，一条通向"全等"。做题时记住两条反射：见到中垂线，先连两端点；见到角平分线，先想双垂线。把这两条反射练成本能，几何证明的"辅助线恐惧"就消掉了一大半。—— 更多中考几何专题，关注公众号持续更新 ——特别提醒：如需电子版，请先关注、点赞、收藏、转发，并在评论区留言“垂直平分线与角平分线”
