初中数学解题技巧——怎样进行分式化简与求值之认识分式

分式的本质是"分母含字母的有理式"。学分式首先要搞清楚三个问题：什么时候有意义、什么时候没意义、什么时候值为零。

判断分式，只看原式，不能用化简后的结果判断；分式基本性质、符号变形，是后续约分、通分的底层工具。

形如 A/B 的式子，其中 B 中含有字母，且 B≠0，叫做分式。A 叫分子，B 叫分母。 

判断关键：分母里有没有字母。分母含字母就是分式，分母不含字母就是整式。 

• 有意义：分母≠0。分母等于零时，分式无意义。

• 无意义：分母=0。

• 值为零：分子=0 且 分母≠0。两个条件缺一不可，只令分子为零、不看分母是最常见错误。

分式的分子和分母同乘（或同除）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 

分子、分母、分式本身三个符号，同时改变其中两个，分式的值不变。 

口诀：负号处理，同变两个，值不变。

1. 看分母：写出分母表达式，令分母 = 0，求出使分式无意义的取值；

2. 看分子：令分子 = 0，解出分子为零对应的未知数；

3. 值为零题型：在分子为零的解中，剔除使分母等于 0 的解；

4. 符号化简 / 变形题型：利用 “两变不变值” 规则调整负号；

5. 区分整式、分式：观察原式分母，判断是否含有字母。

• 值为零只看分子，忘记分母不能为零；

• 混淆 “分式有意义” 和 “分式值为 0” 的条件；

• 符号变形时只修改一处符号，导致分式正负出错；

• 判断分式，误用化简后的式子，误把x²/x判定为整式；

• 把π当成字母，误判定x/π为分式。

1、当 x 取何值时，分式 (x-1)/(x+2) 有意义?

【解析】

分式有意义只需分母≠0

【答案】

解：分母 x+2≠0，即 x≠-2 

当x≠-2时，分式有意义。

2、当 x 取何值时，分式 (x²-1)/(x-1) 的值为零?

【解析】

值为零需要分子 = 0 且分母≠0。先求分子为零的解，再排除使分母为零的。

【答案】

解：分子x²-1=0

解得x=1 或 x=-1 

分母 x-1≠0，即 x≠1 

排除 x=1，故x=-1

3、若分式(|x|-3)/(x+3)的值为零，求 x 的值。

【解析】 

分子含绝对值，先解绝对值方程，再排除分母为零

【答案】

解：分子 |x|-3=0

即 |x|=3，x=3 或 x=-3 

分母 x+3≠0，即 x≠-3 

排除 x=-3，故 x=3