AI聊数学:11.2 一元一次不等式(03)(人教社七年级下册)

不断扩容的专业高质知识库，成为学生和教师检索信息、解决问题的智能化工具。特别擅长数学软件GeoGebra相关使用，为数学教与学首选智能体，安全起见，建议到本公众号扫码。

“学生身边的数学”ima知识库

以上“免费播客系列视频结构化链接”知识库极为方便地打开本公众号自创的各个免费数学播客系列视频，每个文件的摘要是掌握学习进度的助手。一年365天订阅费1元。

其他众多免费知识库提供教案、学案、教学PPT、考题、测试卷、专题讲义等大量数学教与学资源，以及英文资料、数学竞赛等拓展性资源，可通过本公众号菜单进入，或到ima中检索“学生身边的数学”知识号。

ima免费领新人算力福利地址：

https://ima.qq.com/copilot-invite-reward-token/assist/V_5sH_yCk-2uWxsf86efmg

同学们好，我是小棠！

我是小昊！经过前两节课的学习，我们已经掌握了解一元一次不等式的五步法，也学会了把实际问题转化成不等式。今天来两道综合题——超市优惠方案比较和樱桃销售，考验一下真功夫！

听起来就有挑战性，来吧！

一、例4——超市优惠方案比较

先看例4。甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品。甲方案：累计购物超过100元后，超出部分九折；乙方案：累计购物超过50元后，超出部分九五折。问顾客到哪家超市购物花费较少？

这道题不能简单列一个不等式就完事。因为两家超市的优惠门槛不一样——甲是100元起，乙是50元起。所以必须分情况讨论。

分哪几种情况？

三种情况！第一，不超过50元——两家都不优惠，花费相同。第二，超过50元但不超过100元——甲不优惠，乙有优惠，所以乙花费少。第三，超过100元——两家都有优惠，这时候就需要列不等式比一比了！

设累计购物为埃克斯元。前两种情况好理解，重点看第三种情况。

甲超市费用：100加上0.9倍括号埃克斯减100。乙超市费用：50加上0.95倍括号埃克斯减50。然后我们要分三种子情况——

情况A：甲比乙少，列不等式：100加0.9倍埃克斯减100小于50加0.95倍埃克斯减50。解得埃克斯大于150。

情况B：乙比甲少，列不等式反过来：100加0.9倍埃克斯减100大于50加0.95倍埃克斯减50。解得埃克斯小于150。

情况C：两家相等：100加0.9倍埃克斯减100等于50加0.95倍埃克斯减50。解得埃克斯等于150。

所以最终结论是——

• 不超过50元或刚好150元：两家一样
• 超过50元但不到150元：乙超市更划算
• 超过150元：甲超市更划算

这个结果很有意思！虽然甲打九折看起来打折力度大，但它的门槛100元比乙的50元高，所以对小额购物来说乙更优；只有当买得很多超过150元时，甲的大折扣才体现优势。

生活小智慧啊！下次购物可以算算。

解题要点：分段讨论的关键是找准"分界点"。这里两家优惠门槛不同，所以要以两个门槛50元和100元为界分成三大段。超过100元后还要再找出临界点150元。

二、练习1——采购奖品

练习第1题。学校买笔记本和中性笔做奖品，笔记本16元一个，中性笔4元一支。一共买100件，总费用不能超过900元。问最多能买多少个笔记本？

这道题简单直接！设笔记本买埃克斯个，那中性笔就是100减埃克斯支。总费用：16埃克斯加4倍括号100减埃克斯小于等于900。去括号：16埃克斯加400减4埃克斯小于等于900。合并：12埃克斯小于等于500。埃克斯小于等于41点6 7。埃克斯取整数且是最大值，所以最多买41个笔记本。

注意！验算一下——如果买41个笔记本，16乘41等于656元，中性笔59支，4乘59等于236元，总共892元，没超过900元！如果买42个笔记本，16乘42等于672元，中性笔58支，4乘58等于232元，总共904元，超了！

对！所以最多41个。这道题不难，但容易忽略100件这个总数限制，有人可能会直接设笔记本埃克斯个，然后只写16埃克斯小于等于900，忘了还有中性笔的数量。

解题要点：当两种物品有总数限制时，设其中一个为埃克斯，另一个用总数减埃克斯表示，再列总费用不等式。

三、练习2——樱桃销售问题

练习第2题有难度了！一家水果店花了10000元购进大樱桃和小樱桃各200公斤。计划大樱桃卖39元每公斤，小樱桃卖29元每公斤。但大樱桃运输中损耗了百分之20。小樱桃售价不变。问为了使总利润不低于预期利润的百分之90，大樱桃售价至少要定为每公斤多少元？

这道题信息量很大！两步走——先算预期利润，再根据条件求大樱桃售价。

第一步，预期利润。按原计划，大樱桃200公斤乘39元等于7800元，小樱桃200公斤乘29元等于5800元，总收入13600元。减去成本10000元，预期利润是3600元。预期利润的百分之90就是3600乘0.9等于3240元。

第二步，实际情况。大樱桃损耗百分之20，实际能卖的是200乘括号1减0.2等于160公斤。小樱桃还是200公斤，售价29元不变，收入5800元。设大樱桃实际售价为每公斤埃克斯元，那么大樱桃收入是160埃克斯元。总利润等于总收入减总成本：160埃克斯加5800减10000等于160埃克斯减4200。这个利润要不低于3240元，列不等式：160埃克斯减4200大于等于3240。移项：160埃克斯大于等于7440。埃克斯大于等于46.5。

所以大樱桃售价至少要定为每公斤46.5元。比原计划的39元高出不少啊！

对！因为损耗了百分之20，实际可卖的数量减少了，为了达到利润目标，单价就得提高。

这道题有四个关键点——第一，算预期利润时别忘了扣除成本；第二，预期利润的百分之90，是乘0.9不是除；第三，损耗百分之20后，实际可售数量是原数量的百分之80；第四，利润等于收入减成本，这个关系不能搞反。

解题要点：含损耗的应用题，先用"原数量乘1减损耗率"算实际可售量。预期利润的百分之90用乘法，别用除法。

四、总结

今天三道题各有特色，小昊来总结一下吧！

第一，例4超市优惠——教会我们分类讨论的方法。当条件在不同区间有不同规则时，必须按临界点分段，每一段独立分析。

第二，练习第1题采购奖品——两种物品总数固定，设一个为埃克斯，另一个用总数减埃克斯，这是方程组思想在不等式中的应用。

第三，练习第2题樱桃销售——综合性强，涉及预期利润、损耗率、售价调整。关键是按步骤来，先算预期利润再列不等式。

三个字概括今天的内容——分段、设元、分步。分段解决优惠问题，设元解决采购问题，分步解决复杂应用问题。

总结得好！一元一次不等式应用的核心就是把生活语言翻译成数学语言。找到不等关系，列出不等式，解出结果，再翻译回生活语言。

我是小棠！

我是小昊！我们下节课再见！