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【高中数学】＂1 的代换＂求最值 · 知识点总结与题型精讲
基本不等式作为高一数学的重要考点，题型也是千变万化，其中有一个非常重要的解题技巧---“1 的代换”。它通过巧妙地转化给定条件，从而利用基本不等式求出最值。
01
什么是“1 的代换”
“1 的代换”不是新公式，而是把已知条件当成“1”乘进目标式里，展开后凑出能用基本不等式的结构。它专门解决一类题：已知一个线性（或倒数线性）等式条件，求一个分式和式的最值。
核心一句话：目标式 × 1 = 目标式 ×（条件式）。
“1 的代换”的灵魂是把一个等于 1 的条件式乘到目标式上，展开后出现互为倒数的两项，从而用基本不等式求出定值。
判定使用信号：条件是一个“和式 = 常数”的等式，而目标是“分式之和”。
02
牢固解题底座
（一）基本不等式
（二）三个硬条件（一正、二定、三相等）
一正：
参与不等式的每一项都必须是正数，否则要先讨论符号。
二定：
和为定值求积的最大值，或积为定值求和的最小值；没有“定值”则右边是变量，计算无效。
三相等：
等号必须能取到，否则算出的“最值”是错误的，需改用单调性。
（三）乘“1”法的操作模板
03
常见题型与解析
题型1
标准乘“1”型（最常见）
关键：系数不对称时等号点往往不是中点，必须解出来验证。
题型2
条件倒数型、目标和型（反过来乘）
注意：谁不是“1”，就把“1”乘到谁头上。
题型3
条件不是“=1”，先除一下变成1
处理等价：要么归一化条件，要么给目标式补系数，后者更省事。
题型4
三项及以上（两两配对）
注意：在连续使用基本不等式时，每次的取等条件必须相同
题型5
先配凑再代换（拆项、添项、换元）
特征：分子分母次数不匹配或变量不在同一层，先换元统一变量再看能否凑出定积。
题型6
恒成立/求参数范围（本质求最值）
04
高频易错点
1
多次用不等式，等号条件矛盾
同时对多组式子取等号时，必须检查它们能否同时成立。只要有一组不能同时取等，则答案不成立。
2
等号点不在定义域内
3
忘了“正数”前提
4
展开后漏掉常数项
05
自检清单
1
看正负：所有字母是否明确为正？不是就先处理。
2
找“1”：有没有等式条件？没有"=1"就先除一下造出来。
3
乘进去：目标式 × 条件式，展开后是否出现互为倒数的两项？
4
验等号：解出取等时的变量值，确认它是正数、在定义域内、且所有不等式能同时取等。第4步不做，前面三步可能全部没用，这也是本题型丢分最多的地方。
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