高中数学|椭圆定点问题套路拆解:一个斜率之积,锁定直线 AB 的定点

定点问题是圆锥曲线大题的常客：不给坐标，只给一个斜率关系，问动直线恒过哪个点。这类题看似玄，路子其实极稳——设线、联立、韦达定理打包，把几何条件翻译成参数方程，剩下的交给因式分解。但得分的关键往往不在算，而在”舍”：解出两条候选直线时，必须回到题目前提把不合法的那条踢出局；斜率不存在的情形还要单独补一刀，结论才站得住。

已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点P(2,1).设点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为k₁，k₂，若，则直线AB过定点__________.

第一步：两个条件定椭圆。双曲线的实轴长为，故椭圆的长轴也为，即a²=8。椭圆过点P(2,1)，代入，得，解得b²=2。所以

（顺带验证：，点P确实在椭圆上，这个事实后面舍根时要用。）

第二步：斜率存在时，设线联立，韦达打包。设AB:y=kx+t，A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)。联立

判别式Δ=64k²t²−4(4k²+1)(4t²−8)=16(8k²−t²+2)>0。由韦达定理，

于是纵坐标的和与积也能打包：

第三步：把”斜率之积”翻译成参数方程。由P(2,1)，，，代入：

去分母整理得2y₁y₂−2(y₁+y₂)+2=−x₁x₂+2(x₁+x₂)−4。把第二步的结果全部代入：

两边同乘4k²+1，分别合并分子：左边2t²−16k²−4t+8k²+2，右边−4t²+8−16kt−16k²−4。移项化简得

第四步：舍根——用题目前提踢掉不合法的解。解得t=1−2k或。

当t=1−2k时，直线为y=kx+1−2k=k(x−2)+1，恒过点P(2,1)。但直线与椭圆至多两个交点，若直线过P，则A、B中必有一点与P重合，与”异于点P“矛盾，舍去。

当时，直线为

恒过定点。回头检查判别式：代入，，其判别式16−4× 68× 17<0，恒为正，交点合法性无虞。

第五步：斜率不存在的情形单独补刀。当AB垂直于x轴时，设AB:x=m（m≠2，否则直线过P）。联立x²+4y²=8得，于是

整理得3m²−8m+4=0，解得m=2（舍去，此时直线过P）或，直线同样过点。

综上，直线AB恒过定点.

定点问题的三板斧就九个字：设直线、联立、韦达定理。真正拉开差距的是三处”合法性检查”：一是解出多解时，舍根的依据必须是题目前提（本题的”异于点P“），而不是凭感觉挑一个好看的；二是求出参数关系后回头看判别式，本题8k²−t²+2恒正，但”回头看”这个动作不能省；三是斜率不存在时直线的情形务必单独验证——很多同学联立时默认y=kx+t，恰恰漏掉了竖直线，而本题竖直线恰好也过同一个定点，两条路汇合，结论才算闭环。另外值得一提：把换成别的常数，定点会随之移动，但”翻译条件—因式分解—按前提舍根—补竖直线”的流程一字不改。套路是死的，前提是活的，按前提办事，定点题就是送分题。