【习题研讨】131. 分式线性函数专题学习(3)从死算到三次迭代:一道七年级分式变形题的三种解法

1. 月考中的二次迭代与反函数

2. 一试中的分式线性函数的迭代

前面讨论了分式线性函数的迭代周期，现在回头看一道做过的题.

考虑函数

设  是满足  的实数，且  是有理数. 证明  是有理数.

题目中的函数在  时没有定义，因此以下始终有 .

先不想什么技巧. 既然已知 ，就把它写出来，清去分母：

到这里可以先停一下.  肯定是它的一个解，因为原来的等式就是 . 因此，右边一定有因式 , 凡是做过轮换对称式的题目的同学应该都有这种经验！

提取这个因式，得到

如果 ，结论已经成立. 否则，还需要解括号里的二次方程.

这个二次式也能分解. 如果暂时看不出来，就按部就班计算判别式：

判别式恰好是一个完全平方. 既可以继续用求根公式，也可以把二次式写成下面的乘积：

于是，原方程化为

因此

由于  是有理数且不等于 ，这三个数都是有理数，命题得证.

这样做没有问题，学生都是这么干的，值得鼓励！这里的死算也不是完全没有思路，知道可以提取因式，就已经省了一些力气. 

标答的入口完全不同. 对 ，先验证

这两个恒等式都可以直接代入检查. 接着，把两个会让函数值变号的代换组合起来，函数值就不变了，注意力如此惊人！注意到

于是，只要知道  是方程  的一个解，就立即知道

都是它的解.

这里还不能直接结束. 找到三个有理解，并不意味着其他解也一定有理. 我们还得说明：这三个解已经找全了.

先看它们是否会重合. 任取其中两个令其相等，整理后都会得到

但是

所以这三个实数互不相同. 它们也都不等于 ，代入原函数有意义.

另外，由解法一，方程  去分母后是

这是一个首项系数为  的三次方程，至多有三个不同的实根. 现在已经找到了三个互不相同的有理根，其他解便不可能存在，故  是有理数. 

初次看完这个解答，确实太需要注意力了！ 恐怕不少同学还是会问：为什么偏偏想到代入  和 ？

先把原函数拆开. 作多项式除法，再拆分剩下的分式，可得

这部分离其实在直接计算的解法一就可以直接使用出来了，先把两边都分为部分分式，然后再互相作减法.  此时，我们回想起之前讨论过的分式线性函数  . 在  上，它可以连续迭代，并且

这里  表示连续代入  次，不是函数值的  次方. 这个变换不恒等于原数，三次作用却能还原，所以最小迭代周期为 .

原式里已经出现了 、 和 . 给最后一项配上一个 ，就能把第三个迭代值也凑出来：

括号里的三项，正好是  连续经过这个变换得到的三个数.

记它们的和为

现在，把  换成 ，这个和会怎样变化？

三项只是轮流换了位置，和没有变化. 因此，由 ，马上得到

前面那两个看起来很巧的等值代换，现在就有了统一的解释.

对于给定的有理数 ，三个数  都是有理数，并且给出相同的函数值. 再用解法二中已经说明的“互不相同”和“三次方程至多有三个不同实根”，就完成了证明.

这样再看题目，是不是清楚多了？原函数本身并不是分式线性函数，但它可以由一个三次迭代还原的分式线性函数构造出来.

我们甚至可以倒过来编题. 先写出这个三项循环和，通分后得到

再计算 ，便有

题面就出来了. 这至少给出了一种很自然的构造方式：先把三个循环变化的数加起来，再将它整理成一个看不出循环的分式.

当然，求和不变本身还不足以证明原题. 本题还恰好满足：循环给出三个不同的有理解，而去分母后的方程是三次方程. 这两件事配合起来，才保证不会遗漏其他解.

这道题我们一开始死算，后来看到标答觉得很巧，现在再从三次迭代的角度看，原来就是三个数轮流换位置，和不变.

同一道题，看法变了，解法给人的感觉也变了.

很多时候，我们觉得一个解法技巧太强、太不自然，里面有太多“注意到”，可能是因为自己对相关的知识和结构还不够熟悉. 看过的对象多一些，了解它们之间的联系，原来需要猜的那一步，也许就有了明确的来由.

解题者没想到这里的循环关系，是很正常的，所以直接计算的方法肯定是首先要去尝试. 而标答省略了发现过程，过于防御性的写法，只留下最短的证明，解题者看到答案后觉得突兀，觉得自己怎么这么笨，然而这根本不是解题者的问题.

所谓从更高的角度看问题，利用高维降维打击，更有助于我们抓到题目的本质.