ARTICLE · 1256396
从另一个角度讲初中数学(七十二)、相似三角形——形状一样、大小不同,比例关系才是关键
咱们上一课把全等三角形彻底讲透了：
全等：两个三角形能完全重合，形状一样、大小也一样。
五种判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。
SSA不能判定全等——这是最大的坑。
那今天这一课，咱们来看一种“退一步”的关系：
如果两个三角形形状一样，但大小不一样呢？
比如：你把一个三角形画在纸上，然后拿到复印机里放大2倍复印一份。出来的三角形，形状和原来完全一样，但每条边都变成了原来的2倍。
这时候它们不全等，但相似。
今天这一课，咱们就讲相似三角形。
一、什么叫“相似”？——形状一样，大小可以不同
两个三角形，如果对应角相等、对应边成比例，就叫相似三角形。
“对应边成比例”是什么意思？
就是每条边都按相同的倍数放大或缩小。
比如：△ABC 和 △DEF 相似，AB=2，DE=4，BC=3，EF=6，AC=4，DF=8。
每条边都变成了原来的2倍：
DE/AB = 4/2 = 2
EF/BC = 6/3 = 2
DF/AC = 8/4 = 2
这个“2”，就叫相似比。
相似比 = 对应边的比值。
记作：△ABC ∽ △DEF（“∽”是相似符号）。
相似三角形的核心：对应角相等，对应边成比例。
二、全等和相似的关系——全等是相似的特例
你发现了吗？
全等要求“对应边相等”，相似要求“对应边成比例”。
如果相似比等于1，那对应边就相等了——相似比=1的相似，就是全等。
所以：全等是相似的特殊情况。
相似三角形：
相似比≠1→形状一样，大小不同
相似比=1→全等（形状一样，大小也一样）
全等是“一模一样”，相似是“按比例缩放”。
三、判定方法一：AA（两角对应相等）
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
简称 “两角对应相等”，英文缩写 AA。
为什么两个角就够了？
因为三角形内角和是180°。知道两个角，第三个角自然就知道了。
比如：∠A = ∠D，∠B = ∠E，那 ∠C 一定等于 ∠F（因为都是 180° - ∠A - ∠B）。
三个角都相等，形状就确定了——只是大小可能不同。
符号语言：
∠A = ∠D
∠B = ∠E
所以 △ABC ∽ △DEF（AA）。
四、判定方法二：SAS（两边成比例且夹角相等）
如果两个三角形的两组对应边成比例，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。
注意：必须是“夹角”！
比如：AB/DE = AC/DF，且 ∠A = ∠D（∠A 是 AB 和 AC 的夹角），那这两个三角形相似。
和全等的 SAS 对比一下：
全等 SAS：两边相等，夹角相等。
相似 SAS：两边成比例，夹角相等。
一个是“相等”，一个是“成比例”。这就是全等和相似的核心区别。
五、判定方法三：SSS（三边成比例）
如果两个三角形的三条对应边都成比例，那么这两个三角形相似。
比如：AB/DE = BC/EF = AC/DF，那这两个三角形相似。
和全等的 SSS 对比：
全等 SSS：三边相等。
相似 SSS：三边成比例。
总结一下三种判定方法：
六、相似三角形的性质——相似之后能得到什么
性质一：对应角相等。
性质二：对应边成比例。
性质三：对应线段（高、中线、角平分线）的比 = 相似比。
性质四：周长的比 = 相似比。
性质五：面积的比 = 相似比的平方。
重点说说性质五——面积的比 = 相似比的平方。
这个特别容易错。
比如：相似比是2:1（大三角形是小三角形的2倍），那面积比是 2²:1² = 4:1。
大三角形的面积是小三角形的4倍。
为什么是平方？
因为面积是“二维”的。每条边都放大2倍，面积就放大 2×2=4 倍。
记住：边长比 = k，面积比 = k²。
七、相似三角形的应用——测量楼高、树高
相似三角形最经典的应用，就是测量那些“够不着”的高度。
题目： 你想测量一棵大树的高度，但树太高爬不上去。怎么办？
方法： 利用相似三角形。
你在阳光下竖一根1米长的竹竿，量出竹竿的影长是1.5米。同时量出大树的影长是9米。求大树的高度。
第一步：画图理解。
阳光是平行的，所以竹竿和大树都与地面垂直，太阳光线与地面的夹角相同。
两个三角形相似（AA）：
竹竿和它的影子组成一个小直角三角形。
大树和它的影子组成一个大直角三角形。
两个直角相等，太阳光线的角度相等 → AA相似。
第二步：列比例。
竹竿高度 / 竹竿影长 = 大树高度 / 大树影长
1 / 1.5 = h / 9
第三步：解方程。
h = 9 × (1/1.5) = 9 ÷ 1.5 = 6米
答：大树高6米。
你看，不用爬树，不用砍树，用相似三角形就能算出高度。
八、相似三角形的常见模型
相似三角形在几何题里，经常以几种固定“模型”出现：
模型一：A字型
DE∥BC，则 △ADE ∽ △ABC。
模型二：8字型（X字型）
模型三：一线三等角
一条直线上有三个相等的角，往往能构造出相似三角形。
模型四：母子型（直角三角形斜边上的高）
直角三角形ABC，CD斜边AB的高。则：
△ABC ∽ △CAD ∽ △CBD
这个模型特别重要，后面学勾股定理和三角函数还会用到。
讲到这里，咱们把相似三角形彻底讲清楚了：
相似：对应角相等，对应边成比例。
全等是相似的特例（相似比=1）。
三种判定：AA、SAS、SSS。
性质：对应边成比例，周长比=相似比，面积比=相似比的平方。
应用：测量高度、距离。
常见模型：A字型、8字型、一线三等角、母子型。
好，相似三角形讲完了。下一个问题：直角三角形有一个非常特殊的性质——三条边之间有一个固定的关系。
比如：直角边是3和4，斜边一定是5。
这个关系，就是勾股定理——初中几何最重要的定理之一。
下一课，咱们就讲勾股定理。从它的发现、证明，到应用，一次性讲透。
往期内容
中考高考数学：
中考高考理化生：
中考高考史地政：
西旺快乐学习】亲子教育：
成人教育：
从零开始训练逻辑思维：
滕王阁序精解：
中考高考数学：
重生大明之高考生在徐阁老家当管家：
点击蓝字
关注我们
