高中数学|椭圆顶点连线再证定值:这次乘的是到顶点的距离,恒等式一步拆净

前一日的每日一题里，我们证过”上下顶点引线截x轴、到原点距离之积为定值”。今天这道是它的姊妹篇——顶点换成一个在x轴上、一个在y轴上，交点一条截y轴、一条截x轴，要证的也从”到原点的距离”升级成了”到顶点的距离”。套路相通，但多了一层配方拆解的功夫，正好检验昨天的方法孩子是不是真的会迁移。

已知椭圆的离心率为，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，的面积为1．

第一问：离心率给形状，面积给大小。

，两边平方：，于是，即——整条椭圆缩放自由度只剩一个。

是直角三角形（两条直角边就是OA=a与OB=b），面积，所以a²=4，a=2，b=1：

第二问：还是”设点、求交点、算乘积”三步，但这次乘积里藏着一条恒等式。

设P(x₀,y₀)在C上（P异于A、B，否则PA或PB不存在），即

求两个交点：直线PB过P(x₀,y₀)与B(0,1)，令y=0解得；直线PA过P(x₀,y₀)与A(2,0)，令x=0解得．

算到顶点的距离（这一步是与”到原点”版本的真正区别）：

两个分子一模一样，都是x₀+2y₀−2——这不是巧合，是”两个交点都由同一条动点P控制”的必然。于是

恒等式拆解：把分子展开，x₀²+4y₀²+4+4x₀y₀−4x₀−8y₀，前两项用椭圆关系x₀²+4y₀²=4换成4：

(x₀+2y₀−2)²=8+4x₀y₀−4x₀−8y₀=4[(2−x₀)(1−y₀)],

（把右端乘开2−2y₀−x₀+x₀y₀逐项对照，严丝合缝。）代回乘积：

分母分子整块约掉，与P的位置无关——定值4，恰好又是a²．

边界说明：P=A时直线PA不存在，P=B时PB不存在，均为题目隐含排除的位置；其余椭圆上的点（含下顶点(0,−1)）逐一验证皆得4．

其一，离心率+一个面积/长度条件=定形套餐。离心率给的是a、b的比例，第二个条件给尺度——这套”先定比、再定标”的动作在椭圆定形题里百试百灵，第一问三行收工。

其二，分子相同是信号，不是巧合。|AN|与|BM|的表达式分子都是x₀+2y₀−2，说明两条动直线在”拉着同一根弦”——见到这种结构就别急着通分硬算，先把乘积写成分数，再集中火力处理这一个分子。

其三，椭圆方程是”现成的恒等式发生器”。分子展开后冒出x₀²+4y₀²，它等于4——这一步替换让整个平方式塌缩成4(2−x₀)(1−y₀)，与分母整块相消．定值证明的通用心法：把目标式里出现的二次结构，翻译成椭圆方程的读法，配方方向自然浮现。

回到本题：P在椭圆上跑遍一圈，N、M各自沿着坐标轴滑动，但|AN|·|BM|钉死在4——和前一日那道一样，顶点连线的”动”里藏着坐标方程的”静”，这正是这类题百做不厌的味道。