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初中数学解题技巧——怎样化简二次根式并运算之二次根式的性质
怎样化简二次根式并运算
认识二次根式
前言
本讲学习二次根式两条核心性质，是根式化简的基础。区分(√a)2和√(a)2的适用条件与运算结果，是考试高频易错点，熟练掌握才能避免化简符号出错，为后续根式运算打好基础。
核心思路
(√a)2的前提是a≥0，运算结果直接等于a；
√(a2)不需要预先限制a的范围，结果等于a的绝对值|a|，再根据字母正负去掉绝对值符号。
补充：做题先看形式，再判断适用公式；遇到√(a)2，一定要先写绝对值，再分类讨论去符号。
性质一：(√a)2=a（a≥0）
只有√a本身有意义(a≥0)时，才能使用这个式子；根号与平方可以抵消。
性质二：√(a2)=|a|
a（a≥0）
-a（a＜0）
任意实数a都成立；开平方的结果一定是非负数，所以必须加绝对值。
拓展：
(√a)2：先开方、再平方，前提：a≥0
√(a2)：先平方、再开方，a取全体实数
解题步骤
识别式子是(√a)2还是√(a2)
(√a)2=a：先确认被开方数非负，直接化简等于被开方数
√(a2)：第一步先写成|a|
根据题干给出的字母取值、数轴信息、隐含条件，判断字母正负；
去掉绝对值符号，整理最终结果。
常见易错点
混淆两个公式，直接写√(a2)=a，忽略负数情况；
使用(√a)2=a时，忽略a≥0这个前提；
化简带字母的根式，不看条件直接去掉绝对值，符号写反；
数轴类题型，看错字母大小关系，正负判断出错。
示例
1、计算：(√7)2、(√0.2)2、[√(m+1)]2 (m≥-1)
【解析】
符合(√a)2形式，且满足a≥0，直接等于被开方数。
【答案】
解：(√7)2=7
(√0.2)2、=0.2
[√(m+1)]2 =m+1 (m≥-1)
2、化简√[(-5)2]、√[(x-2)2]，其中x＜2
【解析】
属于√(a2)类型，先转化为绝对值，再结合条件去绝对值。
【答案】
解：√[(-5)2]=|-5|=5
√[(x-2)2]=|x-2|
∵x-2＜0
∴原式=2-x
3、实数a、b在数轴上位置：a<0<b，化简√(a2)-|a-b|
【解析】
先把根式化为绝对值，再根据数轴判断a、a-b正负，分段去掉绝对值。
【答案】
解：原式=|a|-|a-b|
由a＜0，得|a|=-a
由a＜0，b＞0，a-b＜0，得|a-b|=b-a
原式=-a-(b-a)=-a-b+a=-b
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