高中数学|双曲线右支双弦:−1/3 的定值,7 倍面积圈出的斜率窗口

这道题三问是一条完整的台阶：第一问定斜率范围，第二问证斜率比是定值，第三问直接拿第二问的结论当杠杆去撬面积不等式。双曲线的”交右支两点”判据和椭圆方向相反，是老坑；而第三问藏着一块好料——两线的交点R恰好钉在一条定直线上。

已知双曲线的渐近线方程为，C与x轴的正、负半轴分别交于M₁，M₂两点，过点A(2a,0)的直线l与C的右支交于P，Q两点．

第一问：定形之后，“交右支两点”翻译成两根同正。

渐近线给出，又b²=1，所以b=1、a=2：

设l:y=k(x−4)，代入x²−4y²=4：

(1−4k²)x²+32k²x−(64k²+4)=0.

判别式Δ=192k²+16>0恒成立——两点存在性从不卡k，卡的是落在哪支。曲线上x>0的点自动有x≥2（右支），所以”右支两点”就是”两根同为正”：

两个条件同敛散，都归结为4k²−1>0，即。（时平行渐近线只剩一个交点；时一根在一支一根在另一支，如k=0.4时两根为−16.6与2.38。）竖直线x=4与右支也交于两点，但斜率不存在，被题设排除。故。

第二问：比值里约去k，剩下的交给韦达。

记P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂)，y₁=k(x₁−4)，y₂=k(x₂−4)，则

k已约干净，只乘下x₁、x₂与韦达定理的对手戏。计算3r+1的分子：

3(x₁−4)(x₂−2)+(x₂−4)(x₁+2)=4x₁x₂−10(x₁+x₂)+16.

代入，：

分子恰为0，所以3r+1=0，即为定值。

顺带说明：把P、Q的标记互换，比值变成，展开后3r+1的分子仍是4x₁x₂−10(x₁+x₂)+16——定值与谁叫P无关，结论稳。

第三问：用第二问”接生”R，面积比靠共角缩成两个比值。

记，由第二问。两条线：

联立（u≠0：P在右支上非顶点，纵坐标不为零）：u(x+2)=−3u(x−2)得x=1，于是

R=(1,3u)

——R的横坐标恒为1，钉在定直线x=1（它恰是A(4,0)关于C的极线）上。

P在直线RM₂上，Q在直线RM₁上。写成向量：，比较横坐标x₁−1=−3μ得；，x₂−1=ν得ν=x₂−1。两个三角形共用顶角R，面积比就是两边乘积之比：

于是条件化为

分母4k²−1>0（第一问已保证），去分母：12k²+1≥28k²−7，即。与取交集：

时面积比恰为7，等号可取。R的存在性由u与−3u不等保证，两线不平行。

其一，“交右支两点”的判据与椭圆方向相反。本题A(4,0)藏在右支张口内（x轴上方下方渐近线之间），过这点的直线：才交右支两点，穿两支各一点——与”过定点交两支”的直觉正好拧着，判据的来源是两根同正这个硬条件，不是背口诀。

其二，定值有通式。对双曲线，过的弦，同样的算法给出

套路一模一样：计算(t+a)r+(t−a)的分子，展开为2t x₁x₂−(t²+a²)(x₁+x₂)+2a²t，韦达代入后两块恰好对消。本题t=2a，；通式已在x²/9−y²/4=1取A(6,0)、A(4,0)与x²/16−y²/9=1取A(8,0)共五组数值核验。A越远，比值越靠近−1——两条线趋于”平行感”，几何上很讲道理。

其三，共角面积比是免坐标的杠杆。第三问全程没写R的纵坐标进面积：两个三角形共享顶角，面积比=|μν|，只碰横坐标。而R钉在极线上这件事，是”顶点弦交点”家族的公共性质——考场上先证R在定直线上，再用共角比，比硬解R坐标省一半算力。