高中数学｜双曲线上支双交点：斜率之比恒为

今天讲一道双曲线题，三问一环扣一环。很多学生一上来就硬算交点坐标，算到一半直接被字母淹死。

第一问先定双曲线方程。上焦点在 y 轴正半轴，离心率 e=2，算出 a=2、b=4，方程是 4y²−x²=16，顶点 A₁(0,2)、A₂(0,-2)。

第二问要证 k₁/k₂ 是定值。设过 (0,4) 的直线 y=kx+4，联立双曲线。关键一步：把方程写成 x²=4(y-2)(y+2)，再代入斜率。全程不求交点，直接用韦达定理整体消元，算出 k₁/k₂=-1/3。

第三问求两直线交点 P。联立 y=k₁x+2 和 y=k₂x-2，把刚证的 -1/3 代进去，纵坐标直接消成 y=1。横坐标随 k 变，但 y 永远是 1——所以 P 在定直线 y=1 上。

这类题别急着解交点。遇到斜率比，先把纵向距离因式化，再用韦达定理整体代。定值和定直线本来就是同一件事的两面。